中考数学折叠问题

1、2016年中考专题：折叠问题折叠型问题是近年中考的热点问题，通常是把某个图形按照给定的条件折叠，通过折叠前后图形变换 的相互关系来命题。折叠型问题立意新颖，变幻巧妙，对培养学生的识图能力及灵活运用数学知识解决问 题的能力非常有效。图形折叠问题中题型的变化比较多，主要有以下几点：1 .图形的翻折部分在折叠前和折叠后的形状、大小不变，是全等形；2 .图形的翻折部分在折叠前和折叠后的位置关于折痕成轴对称；3 .将长方形纸片折叠，三角形是否为等腰三角形；4 .解决折叠问题时，要抓住图形之间最本质的位置关系，从而进一步发现其中的数量关系；5 .充分挖掘图形的几何性质，将其中的基本的数量关系，用方程的形式

2、表达出来，并迅速求解，这 是解题时常用的方法之一。折叠问题数学思想：(1)思考问题的逆向(反方向)，(2)从一般问题的特例人手，寻找问题解决的思路；(3)把一个复杂问题转化为解决过的基本问题的转化与化归思想；(4)归纳与分类的思想(把折纸中发现的诸多关系归纳出来，并进行分类)；(5)从变化中寻找不变性的思想.用“操作”、“观察”、“猜想”、“分析”的手段去感悟几何图形的性质 是学习几何的方法。折叠问题主要有以下题型：题型1:动手问题此类题目考查学生动手操作能力，它包括裁剪、折叠、拼图，它既考查学生的动手能力，又考查学生 的想象能力，往往与面积、对称性质联系在一起.题型2:证明问题动手操作的证明

3、问题， 既体现此类题型的动手能力，又能利用几何图形的性质进行全等、相似等证明.题型3:探索性问题此类题目常涉及到画图、测量、猜想证明、归纳等问题，它与初中代数、几何均有联系.此类题目对 于考查学生注重知识形成的过程，领会研究问题的方法有一定的作用，也符合新课改的教育理论。典型例题一.折叠后求度数BC、BD为折痕，则/ CBD的度数为()900D. 950例1.将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，A. 600B. 750C.练习1 .如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D'、C'的位置，若/ EFB=65°,则/ AED'与于()A. 50B.

4、 55C. 60°D. 65°2 .把一张长方形纸片 ABCD沿EF折叠后ED与BC的交点为 G, D、C分别在M、N的位置上，若/ EFG=55° ,贝U/ 1=: , / 2=；3.用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图（ 所示的正五边形 ABCDE其中/ BAC=度。1）所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图（二.折叠后求面积例2.如图，有一矩形纸片 ABCD,AB=10,AD=6将纸片折叠，使 AD边落在AB边上，折痕为 AE,再将 AED以DE为折痕向右折叠，AE与BC交于点F,则4 CEF的面积为（）A. 4B. 6C. 8D. 10练习1.如图，

5、正方形硬纸片 ABCD勺边长是4,点E、F分别是AR BC的中点，若沿左图中的虚线剪开，拼成 如下右图的一座“小别墅”，则图中阴影部分的面积是（）A. 2B . 4 C . 8 D . 102.如图a, ABC虚一矩形纸片， AB= 6cm, AD= 8cm, E是AD上一点，且 AE= 6cm。操作：（1）将AB向AE折过去，使 AB与AE重合，得折痕 AF,如图b; （2）将 AFB以BF为折痕向右折过去，得图 c。则4 GFC 的面积是（）三.折叠后求长度例3.如图，已知边长为5的等边三角形ABC纸片，点E在AC边上，点F在AB边上，沿着EF折叠，使点A落在BC边上的点 D的位置，且 E

6、DBC ,则CE的长是（(A) 1073 15 (B) 10 573(C) 5出 5(D) 20 1073练习1 .如图，在矩形 ABCD中，AB = 6, BC=8o将矩形 ABCD沿CE折叠后，使点 D恰好落在对角线 AC上的点F处。求EF的长；（2）求梯形ABCE的面积。八E D2 .如图，折叠长方形（四个角都是直角， 对边相等）的一边AD,点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm ,BC=10cm .求 EC 的长.3.如图，将边长为8 cm的正方形纸片 为MN ,求线段CN的长.ABCD折叠，使点D落在BC中点E处，点A落在点F处，折痕:I 4 心上折 右折右下方折沿虚翳剪开 图1四

7、.折叠后得图形例4.将一张矩形纸对折再对折（如图），然后沿着图中的虚线剪下，得到、两部分，将展开后得到 的平面图形是（）A.矩形 B.三角形 C.梯形 D.菱形练习1 .如图，把一个正方形三次对折后沿虚线剪下，得到的图形是（2 .如图，把矩形 ABCD寸折，折痕为 MN（图甲），再把B点叠在折痕 MN±BB B'处。得到RtAB'E （图乙），再延长EB'交AD于F,所得到的 AEF是（）A.等腰三角形图甲B.图乙3 .如图，已知BC为等腰三角形纸片 ABC的底边，AD）± BC, AD=BC.将此三角形纸片沿 AD剪开，得到两个三角形，若把这两个三

8、角形拼成一个平面四边形，则能拼出互不全等的四边形的个数是（）A. 2 B. 3 C. 4D. 5五.折叠后得结论例5.把 ABC纸片沿DE折叠，当点 A落在四边形BCD的部时，则/ A与/ 1+/2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（）A. /A=/ 1 + /2B. 2ZA=Z 1 + /2C. 3 ZA=2Z 1+Z 2D. 3 /A=2（ / 1+Z 2）1 .从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形（如图1）,然后将剩余部分剪拼成一个矩形（如图2）,上述操作所能验证的等式是（）A.a2- b2 =（a+b）（a-b） B .（a - b）2 =

9、a 2- 2ab+ b2C.（a+b） 2 = a2 +2ab+ b2 D .a2 +ab = a（a+b）2 .如图，一张矩形报纸 ABCM长AB= a cm,宽BC= b cm, E、F分别是AR CD的中点，将这张报纸沿着 直线EF对折后，矩形 AEFD勺长与宽之比等于矩形 ABCM长与宽之比，则 a ： b等于（）A. V2 ：1 B . 1： V2 C . <'3:1 D . 1： J3六.折叠和剪切的综合应用.李颖同学按照取两组对边中点的方法折出菱例6.在一弓长12cm宽5cm的矩形纸片内，要折出一个菱形形EFGH见方案一），张丰同学沿矩形的对角线AC折出/ CAE=

10、 DAC /ACFW ACB勺方法得到菱形 AECF（见方案 二），请你通过计算，比较李颖同学和张丰同学的折法中，哪种菱形面积较大？（方案二）练习1.已知如图，矩形 ABCD中（图1）, AD>AB,。为对角线的交点，过 。作一 直线分别交于 BC、AD于N、Mo（1）求证：梯形 ABNM的面积等于梯形 CDMN的面积；（2）如图2,当MN满足什么条件时， 将矩形ABCD以MN为折痕，翻折后能使C点恰好与A点重合？（只写出满足的条件，不要求证明）（3）在（2）的条件下，若翻折后重叠部分的面积是总覆盖部分面积的一半，图2求BN : NC的值。2 .如图，矩形 AOBC ,以O为坐标原点，O

11、B、OA分别在x轴、y轴上，点A坐标为(0, 3), / OAB二 60° ,以AB为轴对折后，使 C点落在点D处，求D点坐标。3 .图是由五个边长都是 1的正方形纸片拼接而成的，过点 图被直线MN分成面积相等的上、下两部分.,、，、11求的值；MB NB求MB、NB的长； 图沿虚线折成一个无盖的正方体纸盒(图)后，求点M、N间的距离.Ai的直线分别与 BCi、BE交于点 M、N,且4 .将一矩形纸片 OABC放在平面直角坐标系中，O(0,0), A(6,0) , C(0,3).动点Q从点。出发以每秒1个单位长的速度沿 OC向终点C运动，运动-秒时，动点P从点A出发以相等的速度沿 A

12、O向终点O运动.当3其中一点到达终点时，另一点也停止运动.设点 P的运动时间为t (秒).(1)用含t的代数式表示 OP, OQ;(2)当t 1时，如图1,将4OPQ沿PQ翻折，点。恰好落在CB边上的点D处，求点D的坐标；图1图2(3)连结AC, WAOPQ沿PQ翻折，得到ERQ,如图2.问：PQ与AC能否平行？ PE与AC能否 垂直？若能，求出相应的t值；若不能，说明理由.巩固练习1、如图所示，有一块直角三角形纸片，C 90°, AC 4cm , BC 3cm ,将斜边AB翻折，使点B 落在直角边 AC的延长线上的点 E处，折痕为AD,则CE的长为.2、如图，一圆柱高 8cm,底面

13、半径2cm, 一只蚂蚁从点 A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程( 取3)是.3、矩形纸片ABCD中, DE=cm.18-1方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF,则AD=4cm, AB=10cm,按如图FA3题5题4、在 RtAABC 中,BAC 90°, AB 3, M为边BC上的点，联结AM .如果将zABM沿直线AM翻折后，点B恰好落在边 AC的中点处，那么点M到AC的距离是5、如图，在一块砖宽 AN = 5cm,长ND = 10cm, CD上的点B距地面 BD=8cm,地面上 A处的一只蚂蚁 到B处吃食，需要爬行的最短路径是 。6、如图，折叠矩形纸片 ABCD ,先折出折痕(

14、对角线)DG,若 AB = 2 , BC = 1 ,求 AG.BD,再折叠，使 AD落在对角线BD上，得折痕7、如图，把矩形纸片 ABCD沿对角线AC折叠，点B落在点E处，EC与AD相交于点F.(1)求证： FAC是等腰三角形；BC(2)若AB=4 , BC=6 ,求 FAC的周长和面积8、如图，将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上F点处，已知CE 6cm , AB 16cm , 求BF的长.C9、矩形纸片 ABCD的边长AB=4, AD=2.将矩形纸片沿 EF折叠，使点 A与点C重合，折叠后在其一面 着色（如图），求着色部分的面积。10、如图，在边长为2的菱形ABCD中，/

15、B=45 0, AE为BC边上的高，将A ABE沿AE所在直线翻折得AABiE,求A AB iE与四边形AECD重叠部分的面积。11、如图、在矩形 ABCD中，AB=6, CB=8,将矩形沿对角线 BD折叠，点C落在Ci处，再将所得图形 对折，使点D与点A重合，设折痕为 MN ,求折痕MN的长。1D12、如图，一副三角板拼在一起，。为AD的中点，AB =一动点，则AM的最小值为Aa.将 ABO沿BO对折于ABO, M 为 BC 上BlMD45C13、已知矩形纸片 ABCD, AB 2,AD 1。将纸片折叠，使顶点(1)如果折痕FG分别与AD, AB交于点F, G (如图(1),) AFA与边C

16、D上的点2，求DE的长。3E重合。BC相切，求折痕0),点D的坐标为(2)如果折痕FG分别与CD, AB交于点F, G (如图(2),),AED的外接圆与直线FG的长。14、如图1,在平面直角坐标系中，O是坐标原点，DABCD的顶点A的坐标为(-2,(0, 2q13),点B在x轴的正半轴上，点 E为线段AD的中点，过点 E的直线l与x轴交于点F,与射线 DC交于点G.(1)求/ DCB的度数；(2)当点(3)连结交点为H.如图F的坐标为(-4, 0)时，求点G的坐标;OE,以OE所在直线为对称轴，2,当点G在点H的左侧时，求证:若 EHG的面积为3、回，请直接写出点OEF经轴对称变换后得到 O

17、EF',记直线EF,与射线DC的 DEGsDHE;F的坐标.15、如图，在一面积为在P点的位置，折痕为1的正方形纸片 ABCD43, M, N分别是AD BC边的中点，将 C点折叠至MN±,落则MP=;(2)则 PQ=BQ 连结 PQ (1)16、如图，一张长方形的纸片ABCD其长AD为a,宽为b（a>b）在BC边上选取一点 M,将力ABMgAM翻折后B至B1的位置，若B1为长方形纸片 ABCM对称中心，则 且的值是b17、如图，在平行四边形 ABCD中，点E在边AD上，以BE为折痕，将ABE向上翻折，点 A正好落在CD上的点F,若FDE的周长为8, NFCB的周长为2

18、2,则FC的长为18、正方形纸片 边长为8,那么19、如图，已知ABCD E为AD的中点，将正方形纸片折起，使C点与E点重合，折痕为 HF,若正方形的FC=。折痕HF=ABC虚一矩形纸片，有是 AB上一点，且BE: EA=6 3, EC=15V3 ,把BCE沿折痕EC向上翻折，若点B恰好落在AD上，设这个点为 F,(1) AB=.。（2）BC=OO20、如图，矩形ABCDy&DF折叠后，点C落在AB边上的点E处，DE、 形ABFD的中位线的长为 .DF三等分/ ADC,21、已知如图，矩形 OABC勺长OA=/3 ,宽OC=1将 AOCgAC翻折得 APG(1)填空：/ PCB=度，P点坐标为（2）若P, A两点在抛物线y= 4x2+bx+c上，求b, c的值，并说明点 C在此抛物3（3）在（2）中的抛物线 CP段（不包括C, P点）上，是否存在一点 M,使得四边形MCAP勺面积最大？若存在，求出这个最大值及此时M点的坐标；若不存在，请说明理由。22、如图所示，在完全重合放置