导数及其运用

1、叮叮小文库导数及其应用一、相关概念1 .导数的概念函数y=f(x),如果自变量x在x0处有增量 x,那么函数y相应地有增量y =f (x0+ x)f ( x 0),比值_y叫做函数y=f ( x)在x 0到x 0 + x之间的平均变化率，即 x上=fx_x)_乂旬。如果当 x 0时，/有极限，我们就说函数y=f(x)在点x0 xxx处可导，并把这个极限叫做f (x)在点x0处的导数，记作f' (x0)或y' I x x0。即 f (x0) =lim y = lim fxx)-乂。x 0 x x 0x求函数的增量 y =f (x0+ x) - f (x0)；求平均变化率 工=fx

2、x)一f(M ； xx取极限，得导数f' (x 0)= lim -y 。x 0 x2.导数的几何意义函数y=f (x)在点x0处的导数的几何意义是曲线y=f (x)在点p (x0, f (x0)处的切线 的斜率。也就是说，曲线 y=f (x)在点p (x0, f (x0)处的切线的斜率是 f' (x0)。相应地，切线方程为 yy0=f/ (x0) (x x0)。3.导数的物理意义如果物体运动的规律是 s=s(t),那么该物体在时刻 t的瞬间速度v= s (t)。如果物体运动的速度随时间的变化的规律是v=v (t),则该物体在时刻t的加速度a=v' (t)。二.求导数的方

3、法1 几个常用函数的导数1 .若 f(x) c,贝U f (x) ;2 .若 f(x) x,则 f(x) ;2 13 .右 f(x) x ,贝u f (x) ; 4 .若 f (x) 一，贝u f (x) 。 x2 基本初等函数的导数n*1.右 f(x) c,则 f(x) ；2 .右 f(x) x ( n Q),则 f(x) ；3.若 f(x) sin x ,贝U f (x) ； 4 .若 f (x) cosx,贝U f (x) ;5.若 f(x)ax,则 f(x) (a 0); 6 .若 f(x)ex,则 f (x) 7.若 f(x) log：,则 f(x) ( a 0且 a 1);8.若

4、f(x) In x ,则 f (x) _3 .导数的四则运算 (u v) = Cf (x)=(uv) =, Gu) = (v 0)4 .复合函数的导数设u (x)在点x处可导，y f(u)在点u (x)处可导，则复合函数f (x)在点x处可导， 且f (x)=,即 yxy u Ux导数的应用1 .函数的单调性求函数f(x)的单调区间 的一般步骤：求出f (x)的导数f (x)；求出方程f (x) 0的根；f (x) >0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；f (x) <0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间.特别提醒：首先注意定义域，其次区间不能用“或"(U)连接.

5、已知函数的单调性，求参数取值范围求使函数(解析式中含有参数)为增函数(或减函数)的参数的取值范围：先求使f (x) 0(或f (x) 0)成立的参数的取值范围；把参数取值范围的端点值代回函数解析式检验；综合，得参数的取值范围.f (x) 0 f(x)增函数 f (x) 0恒成立；f (x) 0 f(x)减函数 f (x) 0恒成立.边界代入检验！2 .函数的极值求函数y f(x)极值的步骤：(最好通过列表法)求导数f (x);解方程f (x) 0的根x0;检查f (x)在方程f (x) 0的根x0左、右 两侧的符号，判断极值.“左正右负”f(x)在处取极大值；“左负右正” f(x)在处取极小值

6、.特别提醒：若X。点是y=f(x)的极值点，则f' (x0)=0，反之不一定成立；如函数f(x)=|x|在x=0 时没有导数，但是，在 x=0处，函数f(x)=|x|有极小值.3 .函数最值定义：函数f (x)在一闭区间上的最大值是此函数在此区间上的极大值与其端 点值中的“最大值”；函数f (x)在一闭区间上的最小值是此函数在此区间上的极小值与其 端点值中的“最小值”。求函数y f (x)在a,b上的最值的步骤：求函数y f (x)在(a,b)内的极值；将y f(x)的各极值与f(a), f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最 小值。四，考点例1,变化率已知函数f(x)

7、2x2 1的图象上一点(1, 1)及邻近一点(1+ x,1 + 4 y ),则一y等于x()A. 4B. 4xC. 4 2 xD. 4 2 x2例2导数的定义，已知某运动物体的位移y(米)与其运动时间t (秒)的函数关系为y=t3+t求y=f(t),利用导数定义求f (t)(2)求物体在t=2秒时的瞬时速度。例3.导数的计数3n _x1.(1)y x iog2 x y x ex2 1.(4) f (x) 2xsin(2x 5) sin x(5) f (x) x 1x2112 .设 f(x)=-=,则 f' (1)=()3 x2x.x3.(2009宁夏银川)已知函数y=f(x) 的图像在

8、点(1. f(1)处的切线方程是想 x-2y+1=0, 则 f(1)+2f '(1)的值4.(2008 山东)若函数 f(x)=1/3 x3f (-1) x2+x+5，则 f "(1)=例4.几何意义21已知曲线C:y x x,则过点P(1,1)的曲线的切线方程.1，2 .函数y f(x)的图像在点 M(1, f (1)处的切线万程是 y -x 2,f f / (1)=. 2 23 .(全国卷)设曲线y ax在点(1, a)处的切线与直线 2xy60平行，则a 324 .已知函数f xx 3ax 3bx在x 1处的切线为12xy10 ,求函数fx的解析式.5 . (2009江

9、西卷理)设函数/=g。)+工'曲线"式工)在点名口处的切线方程为 尸2工+ 1,则曲线外/在点(1JCD)处切线的斜率为 例5单调性问题1 .设f(x)=x 2(2-x),则f(x)的单调增区间是()D.(-00,0) U( l,+ oo)3A.(0,勺B.(±+oo)c.(-00,0)332 .(2008全国I卷文、理)已知函数f(x)(I)讨论函数 f(x)的单调区间；21(n)设函数f (x)在区间2 , 1内是减函数，求 a的取值范围.3 33.已知函数f(x)x3 3ax2 2bx在点x 1处有极小值-1,试确定a, b的值，并求出f(x)的单调区间例6.

10、极值点和极值1 .(2011安徽)设f(x)=ea/(1+ax2),其中a为正实数,当a=4/3时,求f(x)的极值点和极值。2 .设函数 f(x)=-x(x-a)2(x R),其中 a R.(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(2, f(2)处的切线方程;(2)当aw。时，求函数f(x)的极大值和极小值.3 .已知f (x) x3 ax2 bx c在点x1处有极值且和曲线g(x) x2 3x 2在交点(0,2)处有公切线.求a、b、c的值；(2)求y f (x)在R上的极大值和极小值.例7最值 _331 .已知函数f(x) x 3x. (1)求函数f (x)在3,上的最大值和最小值 22

11、 .函数f (x) = x+2cosx在区间 0, 上的最大值为 ;在区间0 , 2兀上最大值为3 .已知函数f(x)=ax3+x2+bx(其中常数abc为R) , g(x)=f(x)+f (x)是奇函数。(1)求f(x)G勺解析式；(2)讨论g(x)的单调性，求g(x)在1,2上的最值.4 .函数y=x4-2x2+5在区间-2,2 上的最大值与最小值5 .已知函数f(x)=x 3+ax2+bx+c,曲线y=f(x )在点x=1处的切线为l:3x-y+1=0 ,若x=-时, y=f(x )有极值.(1)求a,b,c的值；(2)求y=f(x )在-3 , 1上的最大值和最小值例8.综合运用.(2

12、009 江西 17)设函数 f(x)=x3 9/2 x2+6x a(1)对于任意实数 x, f (x)>=m恒成立，求 m的最大值；(2)若方程f(x)=0有且仅有一个实根，求 a的取值范围;例9.实际运用1 . (2007重庆文)用长为18 m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽 之比为2:1,问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？2 .(湖南文)某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量x(吨)与每吨产品的价格 p (元/1 2吨)之间的关系式为：p 24200 - x，且生广x吨的成本为R 50000 200x (元)。问5该产每月生产多少吨产品

13、才能使利润达到最大？最大利润是多少？(利润 =收入成本)练习1 .(全国卷I文)函数f(x) x3 ax2 3x 9,已知f(x)在x 3时取得极值，则a=()(A) 2(B) 3(C) 4(D) 52 .(海南、宁夏文 /f(x) xlnx,若 f'(x0) 2,则 x0()2 ln 2. _A. e B. e C. D. ln 23 _23 .(广东)函数f(x) x 3x1是减函数的区间为()A. (2,) B. (,2)C. (,0) D. (0, 2)、八一，1，4 .(安徽文)设函数 f(x) 2x - 1(x 0),则 f(x)()xA .有最大值B .有最小值 C .是

14、增函数D .是减函数5.(福建文、理)已知对任意实数 x有f( -x)= - f(x) , g(-x)=g(x),且x>0时，f ' (x)>0g'(x)>02.则x<0时(A f ' (x)>0g'C f ' (x)<0g'(2009宁夏银川)A.(0,2)(x)>0(x)>0若函数B.(1,3)B f 'x)>0, g' (x)<0D f ' (x)<0g' (x)<0f (x)=x2 4x+3,则函数f(x+1)单调递减区间C.( 4,

15、2)D.( 3, 1)7.(浙江文)(A)-2一32f(x) x 3x 2在区间 1,1上的最大值是()(B)0 (C)2(D)48.(湖南文科)若函数f(x)=x2+bx+c的图象的顶点在第四象限，则函数yy/BAf/(x)的图象是(xDC9.(全国卷n理科)函数y=xcosx sinx在下面哪个区间内是增函数(A)(-, 2，、“、3)(B) (, 2 )(C)(25, 、)(D) (2210.(浙江理科)设f (x)是函数f(x)的导函数，y= f (x)的图象如图所示，则 y= f(x)的 图象最有可能的是()二、填空题：(每小题5分，计20分)3211 .(浙江文)曲线y x 2x

16、4x 2在点(1 , 一 3)处的切线方程是 12 .(重庆文科)曲线y x3在点(1,1)处的切线与X轴、直线X 2所围成的三角形的 面积为. 313 .(江苏)已知函数f(x) x 12x 8在区间3,3上的最大值与最小值分别为M,m,则M m;14 . (2008北京文)如图，函数f(x)的图象是折线段 ABC淇中A,B,C 的坐标分别为(0, 4), (2, 0), (6, 4),则 f(f(0)= ； 函数f(x)在x=1处的导数f' ( 1) = 16 . (2007宁夏)曲线y=ex在点(2, e2)处的切线与坐标轴所围三角 形的面积为17 .(2009宁夏)曲线y=xe

17、a+2x+1在点(0, 1)处的切线方程为 18 . (2008湖北)若f(x)= 1x2 bln(x 2)在(-1,+)上是减函数，则b的取值范围是 19 . (2010全国n T7)若曲线y x2 ax b在点(0, b)处的切线方程是 x y 1 0,则 a= b=x2120 . ( 07全国n又)已知曲线 y 的一条切线的斜率为 一，则切点的横坐标为 4221 .(全国I)曲线y x3 2x 4在点(1,3)处的切线的倾斜角为三、解答题：22 .偶函数f (x) =ax4+bx3+cx2+dx+e的图象过点P (0, 1),且在x=1处的切线方程为 y=x-2 , 求y=f (x)的解

18、析式.23 .(北京理科、文科) 已知函数f(x)= x3+3x2+9x+ a.(I)求f(x)的单调递减区间；24.(安徽文)设函数f x (i)求b、c的值。(II)若f(x)在区间 2, 2上的最大值为20,求它在该区间上的最小值.3.2x bx cx(x R),已知 g(x) f (x) f (x)是奇函数。(n)求g(x)的单调区间与极值。25. (福建文科) 已知函数f(x) x3 bx2 cx d的图象过点P (0, 2),且 在点M ( 1, f ( 1)处的切线方程为 6x y 7 0.(I)求函数yf(x)的解析式；(n)求函数 y f(x)的单调区间.26. (2010湖北)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的房顶和外墙需要建造隔热层，某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元，该建筑物每年的能源消耗费用为C (单位：万元)与隔热层厚度x (单位：cm)满足关系：kC (x) = (0 x 10),若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万兀。设f (x)为隔3x 5热层建造费用与20年的能源消耗费用之和。(I )求k的值及f(x)的表达式；(n)隔热层修建多厚时，总费用 f (x)达到最小，并求最小值3227. (2008