随机过程考试及解答

1、随机过程考试及解答作者：日期：22016 随机过程（ A）解答1、（15 分）设随机过程 X (t) U t V ，t (0, ) ，U ，V 是相互独立服从正态分布 N (2,9) 的随机变量。1) 求 X (t ) 的一维概率密度函数；2) 求 X (t ) 的均值函数、相关函数和协方差函数。3) 求 X (t ) 的二维概率密度函数；解：由于 U ， V 是相互独立服从正态分布N (2,9)的随机变量，所以X (t )U tV 也服从正态分布，且：m(t )EX (t)E UtVtE UE V2t2D(t )DX (t)DUtVt 2D UD V9t 291x 2t22故： (1)X (

2、t) 的一维概率密度函数为：ft (x)3t 2 1e 18( t 21) ,x2(2) X (t) 的均值函数为： m(t ) 2t 2 ；相关函数为：R(s,t )E X (s) X (t)E (U sV ) (U tV )st E U 2( st ) E U VE V 2st 13(st) 413协方差函数为：B(s,t)R( s, t)m(s) m(t )9st9（ 3）相关系数：B( s, t)(s,t )D (t)D ( s)X (t) 的二维概率密度函数为：1fs,t ( x1 , x2 )1 118s2 1 t 29st9st19s29 9t 29s21 t 211(x2 s

3、2) 22( x 2s2)( x22t2) (x22t2) 211e2(1 2)9( s2 1)9s21t 214( t 21)22、（ 12 分）某商店8 时开始营业，在8 时顾客平均到达率为每小时4 人，在 12 时顾客的平均到达率线性增长到最高峰每小时80 人，从 12 时到 15 时顾客平均到达率维持不变为每小时 80 人。问在 10:00 14:00 之间无顾客到达商店的概率是多少？在 10:00 14:00 之间到达商店顾客数的数学期望和方差是多少？解：到达商店顾客数服从非齐次泊松过程。将 8 时至 15 时平移到 0 7 时，则顾客的到达速率函数为：(t)419t,0t480,4

4、t7在 10:0014:00 之间到达商店顾客数X (6)X (2) 服从泊松分布，其均值：646m(6) m(2)(t )dt(419t)dt80dt 2822243在 10:0014:00 之间无顾客到达商店的概率为：P X(6) X(2) 0(282) 0e 282e 2820!在 10:0014:00 之间到达商店顾客数的数学期望和方差相等，均为：m(6)m(2)2823、（ 13 分）设移民到某地区定居的户数是一个泊松过程，平均每周有8 户定居，如果一户4 人的概率为0.2，如果一户3 人的概率为0.3，一户 2人的概率为0.3，一户 1人的概率为 0.2，并且每户的人口数是相互独立

5、的随机变量，求在8 周内移民到该地区人口数的数学期望与方差。解：已知移民到某地区定居的户数N (t) 是一个强度8 的泊松过程，第i 户的人口数Yi （ i 1,2, ）是相互独立同分布的随机变量，在t 周内移民到该地区人口数：N ( t )Yi 1234X ( t )Yi是一个复合泊松过程，Yi的分布为：0.30.30.2i 1P 0.2EY2.5EY 27.3由公式： E X ( t )tEY ,D X ( t )tEY 2可得在 5 周内移民到该地区人口数的数学期望与方差为：E X(5)88 2.5160,DX(5) 88 7.3 467.24、（ 15 分）设马尔可夫链的转移概率矩阵为

6、：0.20.30.5P 0.1 0.5 0.40.6 0.2 0.2（ 1） 求马尔可夫链的平稳分布及各状态的平均返回时间。（ 2） 求两步转移概率矩阵 P(2) 及当零时刻初始分布为：P X 010.2, P X 020.2, P X 030.6,时，经两步转移后的绝对分布。解：（1）此马尔科夫链为非周期、不可约、有限状态，存在平稳分布T1,2,3 满足：10.2120.3130.51123解得： 132 ,234 ,337103103103故平稳分布T323437,1031031030.10.50.412220.60.20.2333各状态的平均返回时间：11103 ,21103 ,3110

7、313223433740.20.30.50.20.30.50.370.310.32（1） P(2)P P0.10.50.40.10.50.40.310.360.330.60.20.20.60.20.20.260.320.42已知初始分布：PT (0)(0.20.20.6)，所以经两步转移后的绝对分布为：0.370.310.32PT (2) PT (0)P(2)(0.20.20.6)0.310.360.33(0.292 0.326 0.382)0.260.320.425、（ 10 分）假定在路口只有红、绿灯（没有黄灯），开车时这个路口如果红灯则下个路口仍红灯的概率为 0.1，而如果这个路口绿灯则

8、下个路口仍绿灯的概率为 0.6，试求路口遇红灯的极限概率，以及红灯和绿灯状态的平均返回时间。解：设红灯为状态1，绿灯为状态2 ，可以求出其转移概率矩阵为：P0.10.90.40.6此马尔科夫链为非周期、不可约、有限状态，存在平稳分布T 1, 2 满足：10.110.4220.910.62121解得： 149,21313故平稳分布T 4 ,9 13134路口遇红灯的极限概率为113113 ,113红灯和绿灯状态的平均返回时间：1214296、（ 15 分）设马尔可夫链的状态空间I 1,2,3,4,5 ，转移概率矩阵为：0.00.30.00.70.00.10.20.30.20.2P0.00.00.

9、40.00.60.00.40.00.60.00.00.00.20.00.8（1）试对 状态 进行分类，并说明各状态的类型；（2）求各常返闭集的平稳分布，及各状态的平均返回时间。解：马尔可夫链的状态空间I 1,2,3,4,5 可以分解为 C11, 2, 4 和 C23,5 的并。其5中 C1 为非常返状态；C2 为不可约、非周期、正常返闭集，从而存在平稳分布。0.40.6对于 C23,5 ，转移概率矩阵为：，其平稳分布满足：0.20.830.430.250.630.8351解得：31,534455故 C23,5 的平稳分布T1, 0,30, 0,44各常返状态的平均返回时间：14,1435335

10、7、（10 分）一质点在 1，2 ，3 点上作随机游动。 若在时刻 t 质点位于这三个点之一，则在 t, th)内，它都以概率5ho(h) 分别转移到其它两点之一。试求质点随机游动的柯尔莫哥洛夫微分方程，转移概率pi j (t ) 及平稳分布。解：质点随机游动 t时刻的位置 X (t) 是一个马尔科夫过程，其状态空间：I 1,2,3 ，Q 矩阵元素为： qijlimpij(h)5h o(h)(i j )hlimh5,h 0h 0qii( qi ,i1qi ,i1 )10，（其中约定状态：0=3， 4=1）1055即：Q51055510柯尔莫哥洛夫向前微分方程为：pi , j (t)5( pi,

11、 j1 (t )pi , j 1 (t )10 pi , j(t )由于： pi, j1 (t)pi, j (t )pi , j1 (t )1得到： pi, j(t )5(1pi, j(t )10 pi , j (t )15 pi , j (t)5解此一阶线性微分方程得：pi , j (t )Ce 15t1 ，C 为待定常数。0,ij3又因： p(0)i , j1,ij1 e故转移概率 pi j (t ) 为： pi , j (t )32e315 t15t1 ,ij31,ij36limpi j (t)1( j1,2,3)平稳分布为：j,t38、（ 10分）设随机过程X (t )sin 2 (t) ,t，其中是服从区间 0, 上的均匀分布的随机变量。试回答：X (t ) 是否为（宽）平稳过程？研究X 的均值函数和相关函数是否具有各态历经性。解：E X (t)Esin2 (t)1 sin 2 (t) d102E X (t )X (t-)Esin 2 (t)sin 2 (t)1 sin 2