随机变量及其分布测试题

1、随机变量及其分布综合检测时间 120 分钟，满分150 分。一、选择题 ( 本大题共10 个小题，每小题5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1给出下列四个命题： 15 秒内，通过某十字路口的汽车的数量是随机变量；在一段时间内，某侯车室内侯车的旅客人数是随机变量；一条河流每年的最大流量是随机变量；一个剧场共有三个出口，散场后某一出口退场的人数是随机变量其中正确的个数是（） 1 2 3 42已知随机变量X满足 D( X) 2，则 D(3 X2) ()A 2B 8C18D203设服从二项分布 (， ) 的随机变量X的均值与方差分别是 15 和45，则n、p的X B

2、 np4值分别是 ()1133A 50， 4B 60， 4C50，4D60， 4.4某次语文考试中考生的分数X N(90,100)，则分数在70 110 分的考生占总考生数的百分比是 ()A %B% C %D %5某市期末教学质量检测，甲、乙、丙三科考试成绩近似服从正态分布，则由如图曲线可得下列说法中正确的是（）甲学科总体的方差最小丙学科总体的均值最小乙学科总体的方差及均值都居中甲、乙、丙的总体的均值不相同6两台相互独立工作的电脑，产生故障的概率分别为a， b，则产生故障的电脑台数的均值为（） abab 1ab 1ab7甲、 乙两歼击机的飞行员向同一架敌机射击，设击中的概率分别为、，则恰有一人

3、击中敌机的概率为()ABCD8盒中有10 只螺丝钉， 其中有 3 只是坏的， 现从盒中随机地抽取4 个，那么概率是310的事件为 ()A恰有 1只是坏的B 4 只全是好的C恰有 2只是好的D至多有 2 只是坏的2149若 X 是离散型随机变量，P( X x1) 3，P( X x2) 3，且 x1 x2. 又已知 E( X) 3，D( X)2的值为() 9，则 x x12D 310利用下列盈利表中的数据进行决策，应选择的方案是()自然状况A1A2A3A4S5070 20981S265265282S3261678 10B 2C 3D 4AAA二、填空题( 本大题共5 个小题，每小题5 分，共25分

4、)11将一颗骰子连掷100 次，则点6 出现次数X 的均值E( X) _.12一离散型随机变量X的概率分布列为X0123Pab且 E( X) ，则 a b _.13某学校要从5 名男生和 2 名女生中选出2 人作为上海世博会志愿者，若用随机变量 表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望( 均值 ) E( )_( 结果用最简分数表示)114. 在高三某个班中，有 4的学生数学成绩优秀，若从班中随机找出5 名学生， 那么其中X B5，1k1k35 k取最大值时 k 的值为数学成绩优秀的学生数4 ，则54·4P( X k) C_15甲罐中有 5 个红球， 2 个白球和3 个黑球，乙罐中有4

5、 个红球， 3 个白球和 3个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以 A1，A2 和 A3 表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件； 再从乙罐中随机取出一球，以 B 表示由乙罐取出的球是红球的事件则下列结论中正确的是_( 写出所有正确结论的编号) 2 P( B) 5；5 P( B| A1) 11；事件 B 与事件 A1 相互独立； A1， A2，A3 是两两互斥的事件； P( B) 的值不能确定，因为它与A1，A2， A3 中究竟哪一个发生有关三、解答题 ( 本大题共6 个小题， 共 75 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16 ( 本题满分12 分 ) 袋中有 5 个大小相

6、同的小球，其中1 个白球和4 个黑球，每次从中任取一球， 每次取出的黑球不再放回去，直到取出白球为止求取球次数X 的均值和方差17 ( 本题满分12 分)9 粒种子种在甲，乙，丙3 个坑内，每坑3 粒，每粒种子发芽的概率为 . 若一个坑内至少有1 粒种子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没有发芽，则这个坑需要补种(1) 求甲坑不需要补种的概率；(2) 求 3 个坑中恰有 1 个坑不需要补种的概率；(3) 求有坑需要补种的概率 ( 精确到18 ( 本题满分12 分 ) 某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制， 当第一次烧制合格后方可进进入第二次烧制，两

7、次烧制过程相互独立根据该厂现有技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为、，经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为、，. 求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率；. 经过前后两次烧制后，合格工艺品的个数为X，求随机变量X 的均值19 ( 本题满分12 分)(2010 ·浙江杭州高二检测) 甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到 A， B， C， D四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者(1) 求甲、乙两人同时参加 A 岗位服务的概率；(2) 求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；(3) 设随机变量 X 为这五名志愿者中参加 A岗位服务的人数，求 X

8、的分布列20.( 本题满分13 分 ) 坛子里放着5 个相同大小， 相同形状的咸鸭蛋，其中有 3 个是绿皮的， 2 个是白皮的如果不放回地依次拿出2 个鸭蛋，求：(1) 第一次拿出绿皮鸭蛋的概率；(2) 第 1 次和第 2 次都拿到绿皮鸭蛋的概率；(3) 在第 1 次拿出绿皮鸭蛋的条件下，第2 次拿出绿皮鸭蛋的概率21( 本题满分14 分)(2010 ·山东理，20) 某学校举行知识竞赛，第一轮选拔共设有A、B、 C、 D四个问题，规则如下：每位参加者计分器的初始分均为10 分，答对问题A、 B、 C、D 分别加1分、2分、3分、 6 分，答错任一题减2 分；每回答一题，计分器显示累

9、计分数，当累计分数小于8 分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于14 分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍不足14分时，答题结束，淘汰出局；每位参加者按问题A、B、 C、 D顺序作答，直至答题结束3111假设甲同学对问题A、 B、 C、D 回答正确的概率依次为4， 2， 3，4，且各题回答正确与否相互之间没有影响(1) 求甲同学能进入下一轮的概率；(2) 用 表示甲同学本轮答题结束时答题的个数，求 的分布列和数学期望E .参考答案一、选择题：1、D2、C3、B4、B5、A6、B7、D8、C9、D10、C二、填空题：50411、 312 、013 、714、1 15、三、解

10、答题：16.解析取球次数 X 是一个随机变量，X 的所有可能值是1、 2、 3、 4、 5. 为了求 X的均值和方差，可先求X 的分布列1P( X 1) 5，41P( X 2) 5× 4，431P(X3) × × ，5434321P( X 4) 5× 4× 3× 2，P( X5) 4×3×2×1×1.54321于是，我们得到随机变量X 的分布列X12345P由随机变量的均值和方差的定义可求得：E( X) 1× 2× 3× 4× 5××

11、(1 2 34 5) 3，D( X) (1 3) 2× (2 3) 2× (3 3) 2× (4 3) 2× (5 3) 2×× (2 2 12 02 12 22) 2.3117. 解析(1) 因为甲坑内3 粒种子都不发芽的概率为(1 8，1 7所以甲坑不需要补种的概率为1 8 8 .(2)3 个坑恰有一个坑不需要补种的概率为1712C3×8× 8.7373(3) 因为 3个坑都不需要补种的概率为8，所以有坑需要补种的概率为1 8.18. 解析分别记甲、乙、丙经第一次烧制后合格为事件A、A、A.123. 设 E 表

12、示第一次烧制后恰好有一件合格，则P( E) P( A1·A2·A3) P(A1· A2·A3) P(A1·A2· A3) ××××××. 解法一：因为每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为p，所以X B(3,，故E( X) np3× .解法二：分别记甲、乙、丙经过两次烧制后合格为事件A、 B、 C，则P( A) P( B) P( C) ，所以 P( X 0) (1 3，P( X 1) 3×(1 2×，P( X 2) 3××，P

13、( X3) .于是， E( X) 1× 2× 3× .19. 解析(1) 记甲、乙两人同时参加A岗位服务为事件A331EA，那么 P( EA) 2 4 .C5A440A岗位服务的概率是1即甲、乙两人同时参加40.(2) 记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件A441E，那么 P( E) 24.C A1054所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是9P( E )1P(E) .10(3) 随机变量X可能取的值为1,2 ，事件“2”是指有两人同时参加A岗位服务，则X233C5A3 1X的分布列为：( 2) 24 .所以(1)1 ( 2) ，P XP XP X4C A 4

14、54X12P314420. 解析 设第 1 次拿出绿皮鸭蛋为事件，第 2 次拿出绿皮鸭蛋为事件，则第 1AB次和第 2次都拿出绿皮鸭蛋为事件 AB.(1) 从 5 个鸭蛋中不放回地依次拿出2 个的基本事件数为2( ) A 20.5( A)1231 1又 ( A) A3×A4 12. 于是 P( A) ( ) 20 5.2( AB) 6 3(2)因为 ( AB) A3 6，所以 P( AB) ( ) 20 10.(3)解法一：由 (1)(2)可得，在第1 次拿出绿皮鸭蛋的条件下，第2 次拿出绿皮鸭蛋的概率为3P( AB)101P(B| A) P(A) 3 2.5解法二：因为( AB) 6， ( A) 12，所以 P( B| A)( AB)61 ( A) 12 2.21. 解析 (1) 因为甲同学能进入下一轮与淘汰出局互为对立事件，所以甲同学能进入下一轮的概率为11112312131