电磁场与电磁波习题答案

1、第二章2-1 若真空中相距为d的两个电荷q1及q2的电量分别 为q及4q，当点电荷q位于qi及q?的连线上时，系统处 于平衡状态，试求q的大小及位置。要使系统处于平衡状态，点电荷q受到点电荷qi及q2的力应该大小相等,方向相反，即Fq1qFq2q。那么，qgq2q,FFr24 0r14 0r22r1，同时考虑到r,2d，求得r 1d1- d,3可见点电荷q可以任意，但应位于点电荷q1和r2-d3q?的连线上，且与点电荷q1相距Id。32-2 已知真空中有三个点电荷，其电量及位置分别qi q2 q31C, P（0,0,1）1C, P2（1,0,1）4C, P3（0,1,0）习题图2-2试求位于P

2、(0, 1,0)点的电场强度。解 令r1,r2,r3分别为三个电电荷的位置P,P2,P3到P点的距离，则r1 迈，r2 43，r3r2利用点电荷的场强公式E -er，其中er为点电4 0荷q指向场点P的单位矢量。那么，erier 2er3qi在P点的场强大小为Eii?2ey ezq2在P点的场强大小为E2iF= exeyez 。V3q3在P点的场强大小为ey则P点的合成电场强度为E Ei E2 E3qii4 ori28 0q2i4 02212 0q3i40324 0ii4ey842，方向为，方向为，方向为E3i茁ezii/32-3 直接利用式（2-2-14 ）计算电偶极子的电场强度。解令点电荷

3、q位于坐标原点，r为点电荷q至场点P的距离。再令点电荷q位于+z坐标轴上，ri为点电荷q至场点P的距离。两个点电荷相距为I，场点P的坐标为(r,）。根据叠加原理，电偶极子在场点P产生的电场为J!3 rieri = er，2 2rir22 err ririI cos，那么上式变为(rir)(rir) e2 2err ri11 f r 1 r22-cosr1式中r1 1 r2 I2 2rl cos 2以-为变量，rl2并将1r2-cosr12在零点作泰勒展开。由于l略去高阶项后，得1ril1lcos2 cosrrr利用球坐标系中的散度计算公式，求出电场强度为1 I2' cosr r3 ee

4、 orql cos e ql sinT 3 er 20r 42-4已知真空中两个点电荷的电量均为2 10 6 C,相距为 2cm，如习题图2-4所示。试求：P点的电位；将电量为2 10 6C的点电荷由无限远处缓慢地移至P点时，外力必须作的功。解根据叠加原理，P点的合成电位为q622.5 10 V4 0r因此，将电量为2 10 6C的点电荷由无限远处缓慢地移到P点，外力必须做的功为W q 5J2-5 通过电位计算有限长线电荷的电场强度。解 建立圆柱坐标系。令先电荷沿z轴放置，由于结构以z轴对称，场强与无关。为了简单起见，令场点位于yz平面。设线电荷的长度为L，密度为I，线电荷的中点位于坐标原点，

5、场点P的坐标为r，2，z。y利用电位叠加原理，求得场点习题图2-5P的电位为L迈L20dl式中r0 JzI 2 r2-In0Jz I2 r2LL2EzzHn =4 0 L ( Lz 2 V z 22L 2 z r2 2r2可知电场强度的z分量为七J1 nr4 0 z Lz 2 V2L 2z r22L 2 z r24 01L .2 r2iz 2 rL 22r2i114 orI z L2 2j!z L2 2Yrrirr11lz4 orL./2 2z L/2 2sini .Sin 24 or电场强度的r分量为Er=ln丨 2JL 2J Z r 2VzL/2 2r zL'2 V z L 2 2

6、 r27 z L/2 2 r2L/2 Jz L/22 r2i4 or/亠2 4(12Vrr Yr式中1可见，2-6z L/2rz 2i4 orI1V tan 1丄1斗tan 1tan 1l'1_1tan21tan 21tan2 2亡1i4 orCOSarcta n-zcos1 COScosr"T'2sinarcta n ，z 2sin1 ezcos 2那么，合成电强为cos 1 er0,则合成电场强度为l2 orer这些结果与教材2-2节例4完全相同。已知分布在半径为a的半圆周上的电荷线密度i osin ,0，试求圆心处的电场强度。xxy解 建立直角坐标，令线电荷位于

7、平面，且以y轴为对称，如习题图2-6所示。那么，点电荷idl在圆心处 产生的电场强度具有两个分量&和Ey 0由于电荷分布以y轴为对称，因此，仅需考虑电场强度的Ey分量，即dEdEyidl .Sin4 oa考虑到d| ad , |oSin，代入上式求得合成电场强度E eysin2 d0 4 oa2-7已知真空中半径为a的圆环上均匀地分布的线电荷密度为i，试求通过圆心的轴线上任一点的电位及电场强度。解 建立直角坐标，令圆环位于坐标原点，如习题图2-7 所示。那么，点电荷I dl在z轴上P点产生的电位为idl4 or根据叠加原理，圆环线电荷在P点产生的合成电位为1z 4l 2 adl dll

8、aC22 owa z因电场强度，则圆环线电荷在P点产生的电4 or 0场强度为2-8设宽度为ez z a2'：232W面密度为S的带状电荷位于真空中，试求空间任一点的电场强度。(a)(b)习题图2-8解 建立直角坐标，且令带状电荷位于XZ平面内，如习题图2-8所示。带状电荷可划分为很多条宽度为dx的无限长线电荷，其线密度为sdx。那么，该无限长线电荷产生的电场强度与坐标变量z无关,er式中J X X 2 y2那么ex4In0erdE2-9x x yex ey -rrsdx 220 x xw2 w22°2w22 y2w2x ? y1-ex xrex x ysdx2x xsey厂

9、2 0x arcta n eyVeyVeyywx 2arctany已知均匀分布的带电圆盘半径为a ,面电荷密度为S，位于z =0平面，且盘心与原点重合，试求圆盘轴线上任一点电场强度E 0习题图2-9解 如图2-9所示，在圆盘上取一半径为r，宽度为dr的 圆环，该圆环具有的电荷量为dq 2rdrs o由于对称性，该圆环电荷在z轴上任一点P产生的电场强度仅的r有z 分量。根据习题2-7结果，获知该圆环电荷在P产生的电场强度的z分量为dEzzr sdr322 0 r2 z2 那么，整个圆盘电荷在P产生的电场强度为s a zr d rs zez2 0z/ 2 亍Vz a2-10 已知电荷密度为s及s的

10、两块无限大面电荷分别位于x = 0及x = 1平面，试求x 1, 0 x 1及x 0区Eez270 z2 r232域中的电场强度。解 无限大平面电荷产生的场强分布一定是均匀的，其电场方向垂直于无限大平面，且分别指向两侧。因此，位于x = 0平面内的无限大面电荷S，在x <0区域中产生的电场强度E1exE1，在x > 0区域中产生的电场强> 1区域中度E1exE1。位于x = 1平面内的无限大面电荷x < 1区域中产生的电场强度E2exE2，在x产生的电场强度E2exE2 。由电场强度法向边界条件获知，0E10E10E20 E20E10E10E2 0E2由此求得E1E2根

11、据叠加定理，各区域中的电场强度应为E1E2ex E1exE20,E1E2exE1exE22-11 若在球坐标系中，电荷分布函数为0, 100,试求0 r a, a rb区域中的电通密度D 。解作一个半径为r的球面为高斯面，由对称性可知D r4 r式中q为闭合面S包围的电荷。那么a区域中，由于q = 0 ，因此D = 0。b区域中，闭合面S包围的电荷量为因此，因此，2-12若带电球的内外区域中的电场强度为匚r2 'E erqrJa试求球内外各点的电位。a区域中，电位为aE dr E drrra区域中， r rE dr2aqr2-13已知圆球坐标系中空间电场分布函数为33a一er rb区域

12、中，闭合面S包围的电荷量为6433q dv 10-bav361 3310 b aD2er3 rr3, r aEera5,r a r试求空间的电荷密度。解利用高斯定理的微分形式-，得知在球坐标0系中0 py r dr那么，在r a区域中电荷密度为1 dr 0r dra区域中电荷密度为r5r2Er5 or1 dr 0飞丁2-14r d r已知真空中的电荷分布函数为r2,0 ra(r)0,ra式中r为球坐标系中的半径，试求空间各点的电场强度。解 由于电荷分布具有球对称性，取球面为高斯面，那么根据高斯定理在0 r a区域中2r2drEer144 r2 5Eer144 r2 5在r a区域中2r2dr5

13、a5r2 0 er2-15 已知空间电场强度E 3ex 4ey 5ez，试求（0,0,0 ） 与（1,1,2 ）两点间的电位差。）,P点的坐标为（0,0,0,） , P2点的坐标为（1,1,2,那么，两点间的电位差为P2P1E dl式中3ex4ey5ez, dl exdx eydy ezdz，因此电位差为2-161,1,20, 0,03dx4d y 5dz 3 V已知同轴圆柱电容器的内导体半径为a，外导体的内半径为b。若填充介质的相对介电常数r 2。试求在外导体尺寸不变的情况下，为了获得最高耐压，内外导 体半径之比。解 已知若同轴线单位长度内的电荷量为，则同轴线内电场强度E。为了使同轴线获得最

14、高耐压，应在 保持内外导体之间的电位差V不变的情况下，使同轴线 内最大的电场强度达到最小值，即应使内导体表面r a处的电场强度达到最小值。因为同轴线单位长度内的电 容为C1q12.bIn a则同轴线内导体表面ra处电场强度为bV ab , b ln aVE（a） a l n a令b不变，以比值b为变量，对上式求极值，获知当比a值-e时，E a取得最小值，即同轴线获得最高耐压。 a2-17 若在一个电荷密度为，半径为a的均匀带电球 中，存在一个半径为b的球形空腔，空腔中心与带电球中心的间距为d,试求空腔中的电场强度。习题图2-17解此题可利用高斯定理和叠加原理求解。首先设半径为a的整个球内充满电

15、荷密度为 的电荷，则球内P点的电场强度为EiP143r-03r er式中r是由球心0点指向P点的位置矢量,再设半径为b的球腔内充满电荷密度为的电荷， 则其在球内P点的电场强度为E2p 3 r 3 er r4or33 0式中r是由腔心0点指向P点的位置矢量。那么，合成电场强度EiP E2P即是原先空腔内任点的电场强度，即Ep EiP E2p r r d3 03 0式中d是由球心0点指向腔心0点的位置矢量。可见，空腔内的电场是均匀的。2-18 已知介质圆柱体的半径为a，长度为I，当沿轴线方向发生均匀极化时，极化强度为P ,试求介质中束缚电荷在圆柱内外轴线上产生的电场强度。解 建立圆柱坐标，且令圆柱

16、的下x习题图2-18端面位于xy平面。由于是均匀极化，故只考虑面束缚电荷。而且该束缚电荷仅存在圆柱上下端面。已知面束缚电荷密度与极化强度的关系为s P en式中en为表面的外法线方向上单位矢量。由此求得圆柱体上端面的束缚电荷面密度为S1 P，圆柱体下端面的束缚面电荷密度为s2由习题2-9获知，位于xy平面，面电荷为s的圆盘在其轴线上的电场强度为因此，圆柱下端面束缚电荷在z轴上产生的电场强度为而圆柱上端面束缚电荷在z轴上产生的电场强度为z I丿=ez讥Z I)2a2那么，上下端面束缚电荷在z轴上任一点产生的合成电 场强度为2-19已知内半径为a，外半径为b的均匀介质球壳的介电常数为，若在球心放置

17、一个电量为q的点电荷，试求： 介质壳内外表面上的束缚电荷；各区域中的电场强解 先求各区域中的电场强度。根据介质中高斯定理r a区域中，电场强度为E D -e 匚，260 4 0 rr b区域中，电场强度为D亠e4 r2 rb区域中，电场强度为D宀0 4 0r再求介质壳内外表面上的束缚电荷。由于P0 E，则介质壳内表面上束缚电荷面密q4 a2度为s n Per P外表面上束缚电荷面密度为s n Per Pq4 b2q4 b22-20将一块无限大的厚度为d的介质板放在均匀电场E中，周围媒质为真空。已知介质板的介电常数为，均匀电场E的方向与介质板法线的夹角为1，如习题图2-20所示。当介质板中的电场

18、线方向2时，试求角4度1及介质表面的束缚电荷面密度。n2解 根据两种介质的边界条件获知，边界上电场强度切向分量和电通密度的法向分量连续。因此可得E sin 1 E2 sin 2 ；D cos 1 D2 cos 2已知DoE, D2 E2，那么由上式求得tan 1 tan 1 tan 2tan 2arctan -0已知介质表面的束缚电荷s en Pen(DoE），那么，介质左表面上束缚电荷面密度为0 E cos 1s1en1 P2en11 D21 en1D2介质右表面上束缚电荷面密度为s2en2 P2en2 1-0 D21 6.2 D?0Ecos 12-21 已知两个导体球的半径分别为6cm及1

19、2cm，电 量均为3 10 6 C，相距很远。若以导线相连后，试求： 电荷移动的方向及电量；两球最终的电位及电量。解 设两球相距为d，考虑到d >> a, d >> b，两个带电球的电位为1 q1q21 ；40 ad1 q2q12 一4 0 bd两球以导线相连后，两球电位相等，电荷重新分布,但总电荷量应该守恒，即12 及 q1 q2q 6 10 6 C，求得两球最终的电量分别为a d bq1 qad bd 2abb d aq2 qad bd 2abiq 2 10 632 6 -q 4 10 6 C 3可见，电荷由半径小的导体球转移到半径大的导体球，移动的电荷量为1 10

20、 6 C 。两球最终电位分别为1丄虫3 105 V40 a2 北 3 105V2-22 已知两个导体球的重量分别为 m=5g, m=10g,电量均为5 10 6C，以无重量的绝缘线相连。若绝缘线的长度I = 1m,且远大于两球的半径，试求；绝缘线切断的瞬时，每球的加速度；绝缘线切断很久以后，两球的速度。解 绝缘线切断的瞬时，每球受到的力为F 晋 T0" °-225 N因此，两球获得的加速度分别为Fa1m102 45 m/s2Fa2m2器 22.5 m/s2当两球相距为I时,两球的电位分别为1q1q21 4 01Iq22此时，系统的电场能量为绝缘线切断很久以后，12两球相距很

21、远(I >>a, I >>b)，iqi12 2q2那么，两球的电位分别为q14 0 r1q22402由此可见，绝缘线切断很久的前后，系统电场能量的变 化为241 2汽严宀 0-225(J)这部分电场能量的变化转变为两球的动能，根据能量守 恒原理及动量守恒定理可得下列方程：m1v1m2v20W1212W - m1v1-m2v2 ，2 2由此即可求出绝缘线切断很久以后两球的速度v1和v2:v17.74 m/s ;V23.87 m/s2-23 如习题图2-23所示，半径为a的导体球中有两 个较小的球形空腔。若在空腔中心分别放置两个点电荷qi及q2，在距离r a处放置另一个点电

22、荷q3，试求三个点电荷受到的电场力。r习题图2-23解 根据原书2-7节所述，封闭导体空腔具有静电屏蔽 特性。因此，qi与q2之间没有作用力，q3对于qi及q2也 没有作用力。但是qi及q2在导体外表面产生的感应电荷-qi及-q2，对于q3有作用力。考虑到r>>a,根据库仑定律获知该作用力为fqiq2 q3f；24 or2-24 证明位于无源区中任一球面上电位的平均值等于 其球心的电位，而与球外的电荷分布特性无关。解 已知电位与电场强度的关系为EE -，由此获知电位满足下列泊松方程利用格林函数求得泊松方程的解为r vGo r，rdv o Go r, rS0r Go r, r d s

23、式中Gor, r14 |r r。考虑到Gor,r1 r r3，代入上式得dv 4r|r rJ r r ds若闭合面S内为无源区，那么若闭合面S为一个球面，其半径为a，球心为场点，则a，那么上式变为1r r,r o r r ds4 S aa3考虑到差矢量r r的方向为该球面的半径方向，即与ds的方向恰好相反，又E,则上式变为1 r Q E d s4 a S由于在S面内无电荷，则。ESds 0，那么1r o4 a2 S由此式可见，位于无源区中任一球面上的电位的平均值等于其球心的电位，而与球外的电荷分布无关。2-25 已知可变电容器的最大电容量Cmax 100 pF,最小电容量Cmin10 pF，外

24、加直流电压为300V，试求使电容器由最小变为最大的过程中外力必须作的功。解在可变电容器的电容量由最小变为最大的过程中，电源作的功和外力作的功均转变为电场储能的增量，即W电源 W外We式中W电源 V 勺 V(CmaxV CminV) 8.1106(J)因此，外力必须作的功为W外4.05 10 6 J2-26若使两个电容器均为C的真空电容器充以电压V后，断开电源相互并联，再将其中之一填满介电常数为r 的理想介质，试求：两个电容器的最终电位；转移 的电量。解 两电容器断开电源相互并联，再将其中之一填满相对 介电常数为r理想介质后，两电容器的电容量分别为CiC,C2 rC两电容器的电量分别为qi,q2

25、 ,且qi q2 2CV由于两个电容器的电压相等，因此qi q2CiC2qiq2联立上述两式，求得2CVqi LI r2CV r q2因此，两电容器的最终电位为V 虫 Sl2VCiC2i r考虑到q2 qi，转移的电量为q q2 CVr2-27 同轴圆柱电容器的内导体半径为a，外导体半径为b，其内一半填充介电常数为4的介质，另一半填充介质的介电常习题图2-27数为2，如习题图2-27所示。当外加电压为V时，试求：电容器中的电场强度；各边界上的电荷密度；电容及储能。解 设内导体的外表面上单位长度的电量为q，外导体的内表面上单位长度的电量为q。取内外导体之间一个同轴的单位长度圆柱面作为高斯面，由高

26、斯定理求得r D1D2 q已知D11E1, D22E2，在两种介质的分界面上电场强度的切向分量必须连续，即E1 E2，求得E1E2 Eqr 12内外导体之间的电位差为bV E draL|n2 a即单位长度内的电荷量为 q2V7In - a故同轴电容器中的电场强度为Verrl n a 由于电场强度在两种介质的分界面上无法向分量，故此边界上的电荷密度为零。内导体的外表面上的电荷面密度为e E丄；aln-a外导体的内表面上的电荷面密度为s22erE2Valnb a匚1Vs1 1er Ebldas22er E2Vblda单位长度的电容为C1 2b In a电容器中的储能密度为2-28We1 1E2dV

27、1V1 21 2E2dv2V2 2V211Inba平板电容器的结构如习题图2-28所示，间距为d，极板面积为I I。试求： 接上电压V时，移去介质前后电容器中的电场强度、 电通密度、各边界上的电荷密度、电容及储能； 断开电源后，再计算介质移去前后以上各个参数。1/=V习题图2-28解接上电源，介质存在时，介质边界上电场强度切向V0 d。由电荷面密度分别为V0 d分量必须连续，因此，介质内外的电场强度E是相等的， 即电场强度为E V。但是介质内外的电通密度不等，介 d质内D E V，介质外D。0Ed两部分极板表面自VSOd，电容器的电量sOI2V0 2d电容量为2d度为电容器储能为若接上电压时，

28、rVJ2V20 4d移去介质,VE d那么电容器中的电场强电通密度为极板表面自由电荷面密度为电容器的电量为 q I2 sI2V0 d电容量为l20刁电容器的储能为12qVI2V202d断开电源后，移去介质前，各个参数不变。但是若移去介质，由于极板上的电量q不变，电场强度为V 02d 0电通密度为oEV 02d极板表面自由电荷面密度为V 02d两极板之间的电位差为电容量为C VI2 0d电容器的储能为8dT2-29 若平板电容器的结构如习题图2-29所示，尺寸同 上题，计算上题中各种情况下的参数。d/d/l习题图2-29解 接上电压，介质存在时，介质内外的电通密度均 为D吉，因此，介质内外的电场

29、强度分别为E0两极板之间的电位差为V2eE0qd 02l2 0则电位移矢量为2V2V2V2V 0极板表面自由电荷面密度为2V2V 00 d介电常数为的介质在靠近极板一侧表面上束缚电荷面密度为0E s2V 00 d介电常数为与介电常数为0的两种介质边界上的束缚电荷面密度为2V此电容器的电量l2l22Vl200 d则电容量为C2l207d电容器的储能为-qV 空丄2 2接上电压时，移去介质后： 电场强度为E Vd电位移矢量为D 0E 0Vd极板表面自由电荷面密度为电容器的电量ql2 s|2V0电容量为C Vl2电容器的储能为W 2qV|2V20 2d 断开电源后，介质存在时，各个参数与接上电源时完

30、全相同。但是，移去介质后，由于极板上的电量q不变，电容器中电场强度为E予2V2V，电通密度为0 d极板表面自由电荷面密度为两极板之间的电位差为VEd2V电容量为电容器的储能为2qV2V2l2:200 2d2-30 已知两个电容器Ci及C2的电量分别为qi及q2， 试求两者并联后的总储能。若要求并联前后的总储能不 变，则两个电容器的电容及电量应满足什么条件？解并联前两个电容器总储能为W前 Wi % 2 严2 Ci2q2C2并联后总电容为CClC2，总电量为qqi q2 ,则总储能为2 C1 C2要使W前 W后，即要求2q2C221 q1 q22 C1 C2方程两边同乘C1 C2,整理后得C2 2C7q1CC1q22 2q1q2C2方程两边再同乘CiC2 ,可得Cq Cq/ 2C1C2q1q22C2q1 cq0由此获知两个电容器的电容量及电荷量应该满足的 条件为q1 C1q2 C22-31 若平板电容器中介电 常数为（X）-x 1d平板面积为A,间距为d，如习题2-31所示。试求平板电习题图2-31容器的电容。解 设极板上的电荷密度分别为则由高