抛物线地性质归纳和证明

1、抛物线的常见性质及证明概念焦半径：抛物线上一点与其焦点的连线段；焦点弦：两端点在抛物线上且经过抛物线的焦点线段称为焦点弦性质及证明过抛物线y2= 2px (p> 0)焦点F的弦两端点为A(xi, yi), B(x2, y2),倾斜角为，中点为C(xo,y o),1.求证:垂足为 A'、B'、C .pp焦半径|BF |=X2;21+ cosa分别过A、B、C作抛物线准线的垂线，焦半径| AF |=论 p二 p ；11121 _COSG，7".= 2；弦长 I AB| = X1 + X2+ p= 2 p ;特别地，当 X1=X2( : =90 ) I AF I I

2、BF I Psin :2时，弦长|AB|最短，称为通径，长为鸟卩：厶AOB的面积Saoab=p2sin :-证明：根据抛物线的定义，| AF |= | AD |= X1+ p, | BF |= | BC |= X2 + 2,| AB |= | AF 汁 | BF |= xi + X2+ p如图2,过A、B引x轴的垂线AA1、BB1，垂足为A1、B1，那么 | RF |= | AD | FA1 |= | AF | AF |cosr,| RF | ：1 cos V1 cos V同理,| BF |=| RF |1 + cosp1 + cos V | AB |= | AF |+ | BF |=p丄p2

3、P_1 cos 1 + cost sin v111 p /(Saoab Soaf + &obf ?| OF | y1 |+ OF | y1 | ? ''(|1|+1 y1 |)t y1y2 p2,贝V y1、y2 异号，因此，| y1 |+ | y1 | | y1 y2 | 2 2 Saoab 4| y1 y2 | p(y1 + y2)2 4y1y2 4 ；4m2p2+ 4p2 ； . 1 + m2 22.求证：必弓；wp2； |7T|+ FBT|=p.当AB丄x轴时，有AF = BF = p,成立；当AB与x轴不垂直时，设焦点弦AB的方程为：y = k X-卫代入抛物

4、线方程:I 2丿/ 2k2 V化简得:2k2x2 - p k2 2 x 号k2 =0方程1 ）之二根为xi , X2 ,- xik2x2盲1_ _1_ _ _1_ _1aF "BF"Bb1x-x2pxiX22x1x2 号x1 x2 :x-ix2p22PT 子 xi x2f为x2p _ 2子 XiX2p P3.求证：AC'B=/A'FB'= RtZ .先证明：Z AMB = Rt Z【证法一】延长 AM交BC的延长线于E,如图3, 则 ADM ECM , I AM |= | EM |, | EC |= | AD | I BE |= | BC 汁 | C

5、E |= | BC 汁 | AD |图3=| BF |+ | AF |= | AB | ABE为等腰三角形，又 M是AE的中点, BM 丄 AE,即/ AMB = Rt /【证法二】取 AB的中点N，连结MN，贝U| MN |= 2(| AD 汁 I BC |)= 2(| AF |+ | BF |) = | AB | MN |= | AN |= | BN | ABM为直角三角形，AB为斜边,故/AMB = Rt / .【证法三】由已知得 C( 2, y2)、D( 2,%),由此得m(2,y + y2 丁).y1 + y2y12y1 y2p(y1 y2)y+ p-kAM kBM= Pyi'

6、;= 2 =2-2p+p2 2卫1= = 2=- 1 y2 y1y2 p2pp(y1帀)2y+ p卫yi,同理kBM = Py2 BM 丄 AE,即/AMB = Rt / .【证法四】由已知得ppC(-2, y2)、d(-2，y“,p y1 + y22，2). MA = (Xi + 2,y1 y2"p2 ), MB =(X3+ 2, "ma 1Mb =(xi + 2)(x2+ 2)+ 此y2)(y2yi)由此得y2 y1)2 )4丄p丄p2 (y1 y2)2=X1X2 + 2(X1 + x2)+ 4 42 y2p2 y1+ y2 2y1y22p) + 4 42 p2+ =

7、02 2 2=7+=p!+ yiy2 p2 , - P2十 "ma 丄 Pb，故/ AMB = Rt/ .【证法五】由下面证得/ DFC = 90，连结FM，贝U FM = DM.又 AD = AF，故 ADM AFM，如图 4 / 1 = Z 2，同理/ 3=Z 4/ 2+Z 3 = 2x 180 = 90/ AMB = Rt 厶接着证明：/ DFC = Rt /【证法一】如图 5,由于| AD |= | AF |, AD / RF, 故可设/ AFD =Z ADF =Z DFR =:-, 同理，设/ BFC =Z BCF = Z CFR =：, 而/ AFD + Z DFR +

8、Z BFC +Z CFR = 180 2(:+ '-) = 180，即:+ '= 90，故/ DFC = 90【证法二】取CD的中点M，即M( P, y1#2)由前知 kAM = P , kcF =yi, p , p丁 2 丁 2y2 = pp yi二 kAM = kcF, AM / CF，同理，BM / DF/ DFC =Z AMB = 90 .【证法二】 DF = (p， yi), CF = (p, y2), "DfCF = p4 * 2 + y1y2 = 0 IDF 丄"Cf，故/ DFC = 90 .【证法四】由于 | RF |2= p2= yiy2

9、= | DR | | RC |,即DRJ =1 RF 1，且/ DRF = Z FRC = 90 DRF FRC/DFR = Z RCF，而/ RCF+Z RFC = 90 / DFR + Z RFC= 90图8 / DFC = 90与抛物线方程 卜2px联立消去x得2 2 y yi=*(2p2p)，整理得 y2 2yiy+= 0可见= (2y-4y2 = 0,故直线AM与抛物线y2= 2px相切，同理BM也是抛物线的切线，如图 8.【证法二】由抛物线方程y2= 2px,两边对x求导，(f)x= (2px)x,得2y yx= 2p, yx = p故抛物线y2= 2px在点Ag, yj处的切线的

10、斜率为 k切=yx| yp=y1 .yi又kAM = p, k切=kAM，即AM是抛物线在点 A处的切线，同理 BM也是抛物线的yi切线.【证法三】过点 A(xi, yi)的切线方程为yiy= p(x+ xi)，把M(号,芈严)代入22左边=yi =pxi yi + y2 yi + yiy2 2pxi p 2 = 2 = 22A的切线经过点M ,右边=p( 2 + xi)= p + pxi,左边=右边，可见，过点即AM是抛物线的切线，同理 BM也是抛物线的切线5. C 'A、C 'B分别是/ A'AB和/ B'BA的平分线.【证法一】延长AM交BC的延长线于E,

11、如图9,则厶 ADM ECM，有 AD / BC, AB= BE,/ DAM = Z AEB = Z BAM ,即AM平分/ DAB,同理 BM平分/ CBA.【证法二】由图 9可知只须证明直线 AB的倾斜 角是直线AM的倾斜角 泊勺2倍即可，即: =2 ；且 M(-，宁)y2 yiy2 yi2p-tan ： = kAB =2 才=.X2 Xiy2y1yi 十 y22p 2pyi+ y2tan - kAM = y 理工xi + PP2P(yi帀)p=2=T =2=yi力十pyi十pyi2命十p2pyi_ = py、=2ta n :-tan 2 2 -1 tan P 1 (P)2 y2 P(yi

12、)：= 2 '-,!卩 AM 平分/ DAB,同理 BM 平分/ CBA.2pI = tan、； yi + y26. AC ' A '、y轴三线共点，BC ' B '、y轴三线共点【证法一】如图10,设AM与DF相交于点Gi,由以上证明知| AD |= | AF |, AM平分/ DAF，故AGi也是DF边上的中线,/ G1是DF的中点.设AD与y轴交于点Di，DF与y轴相交于点易知，| DDi |= | OF |, DDi / OF ,故厶 DDiG2= FOG2I DG2 |= | FG2 则 G2也是 DF 的中点/ G1与G2重合（设为点 G）,

13、贝U AM、DF、线共点,同理BM、CF、y轴也三线共点.2【证法二】AM的直线方程为y yi = *（x 鲁）,令x= 0得AM与y轴交于点Gi（0, y1又DF的直线方程为y= f（x 2）,令x = 0得DF与y轴交于点G2（0， AM、DF与y轴的相交同一点 G（0,；），贝AM、DF、y轴三线共点,同理BM、CF、y轴也三线共点 H .由以上证明还可以得四边形MHFG是矩形7. A、0、B'三点共线，B、0、A'三点共线.【证法一】如图"，k0A =沽昔=寻，2p._y2_koc=_ p22y2_ 2py2_ 2py2 _ 2pp p _ - yi y2 y

14、i二 koA = koc，贝y A、0、C 三点共线,同理D、0、B三点也共线.【证法二】设 AC与x轴交于点 0；t AD / RF / BC.J_R0J_ | C0H | BF | 0F | CB | | AD | = | CA | = | AB |， | AF 厂 | AB |，又| AD |= | AF |, | BC |= | BF |,. IRI= Q1|AF |AF |0、A三点共线，同理共线.RO' | = | OF |,则 0 与 0 重合，即 C、D、0、B三点也【证法三】设 AC与x轴交于点0； RF/ BC,10FJ= 1AFJ| CB | AB |，.| 0F

15、 |= I CB 丨 AF | BF 丨 | AF |I AB | AF |+ | BF |1 +1_ 2【见证】I AF | BF |.0与0重合，则即C、0、A三点共线，同理 D、0、B三点也共线.【证法四】 5c = (-p,y2), 0A = (xi, yi),2叫吐=02 2p8.若| AF |： | BF |= m： n,点A在第一象限m n动直线AB的倾斜角.则cos 土 ；【证明】如图14,过A、B分别作准线I的垂线，垂足分别为D,C,过B作BE丄AD于 E,设 | AF |= mt,| AF |= nt,则| AD |= | AF |,| BC |= | BF |, | AE

16、 |= | AD |- | BC | = (m n)t亠 人亠,| AE | (m n)t m n.在 Rt abe 中,cos/ bae=祐=r=mn/ cos 0= cos/ BAE= m_n. m+ n【例6】设经过抛物线 y2= 2px的焦点F的直线与抛物线相交于两点A、B,且| AF I： | BF |= 3: 1,则直线AB的倾斜角的大小为【答案】60或120 .9.以AF为直径的圆与y轴相切, 相切；A' B'为直径的圆与焦点弦以BF为直径的圆与y轴相切；以AB为直径的圆与准线AB相切.yA'C'kyA/ /C/ K B'O干x、【说明】如

17、图15,设E是AF的中点,则E的坐标为（+ X1y12),则点E到y轴的距离为d =+ Xi12l AF I故以AF为直径的圆与y轴相切， 同理以BF为直径的圆与y轴相切.【说明】如图15,设M是AB的中点，作 MN丄准线I于N,则I MN |= *1 AD 汁 I BC |)= 2(| AF |+ | BF |)=弓 AB |1则圆心 M到I的距离| MN |= 2| AB |,故以AB为直径的圆与准线相切10. MN交抛物线于点 Q,则Q是MN的中点.2 2【证明】设 A(2p, yi), B(2p, yi)，则 c( p , y2), D(yi),2 . 2 p yi + y2yi + y2M( 2，亍)，N(右设MN的中点为Q，贝U Q'(yi + y2)2 )，2 i2p yi + y2 -2+ 4p22 2 p . yi 十 y2 2十 4p22 2 22p + yi+ y28pyi + y2 丁)2 22yiy2+ yi + y28pyi+2 222p点Q在抛物线y2= 2px上，即卩Q是MN的中点.4. C ' A、C'