数列求和的基本方法例题

1、v1.0可编辑可修改数列求和的基本方法归纳教师：王光明数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础.在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位.数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外， 大部分数列的求和都需要一定的技巧.下面，就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数 列求和的基本方法和技巧.、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法1、等差数列求和公式：Snn(a1 an)2najn(n 1)d2、等比数列求和公式：Sinaa1(1qn)aia.q3、SnSn5、Snnk3k 12叩(n 1)(q 1)(qk2k 11)訥 1)(2n

2、 1)例1已知log3 xlog 2 3x2X3的前n项和.解：由log3 xlog23 lOg3xlog 3 2由等比数列求和公式得Snxx3xn（利用常用2211公式）x(1 xn)2(1丄)愛=1_丄1 1 2n 2例2设 S =心彳+ +n, ne N，求 f(n)的最大值.解：由等差数列求和公式得Sn丄n（n 1）， Sn1(n1)( n 2)（利用常用公式）v1.0可编辑可修改23f( n) (n 32)Sn1nn2 34n 641 _c, 64 _ n 34 (Jnn_ 丄50 508当亦乔,即 n_8时，f （叽150这种方法是在推导等比数列的前 an bn的前n项和，其中 a

3、例3求和：Sn 13x5x2、错位相减法求和n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列 、 b n 分别是等差数列和等比数列.7x3(2n1)xn 1解：由题可知,(2n八 n1)x1的通项是等差数列2n - 1的通项与等比数列1的通项之积设 xSn 1X3x25x3 7x4(2n 1)xn （设制错位）一得(1 x)Sn 1 2x 2x2 2x3 2x2xn 1(2n1)xn（错位相减）再利用等比数列的求和公式得：（1 x）Sn 12x1 xn11 x(2n1)xnS (2n 1)xn 1(2n 1)xnSn“2(1 x)(1 x)例4求数列2,您g,，甲，前n项的和.2 22 23 2

4、n 2n42*3,解:由题可知,的通项是等差数列2n的通项与等比数列 的通项之积2位）减）2n正2n12n（设制错-得(1 1)Sn222222322422n2n2* 1（错位相v1.0可编辑可修改1 2n2 2Snn 24盯19. （2014?濮阳二模）设a n是等差数列，bn是各项都为正数的等比数列，且ai=bi=1, a3+b5=21, a5+b3=13求an、bn的通项公式;求数列的前n项和S.34考点：专题：计算题；压轴题.分析:（I）设an的公差为d, bn的公比为q，根据等比数列和等差数列的通项公式，联立方程求得和q,进而可得an、bn的通项公式.（n）数列 p的通项公式由等差和

5、等比数列构成，进而可用错位相减法求得前n项和Sn .解答:解：（I）设a n的公差为d, b n的公比为q,则依题意有q> 0且丄+4十I+2d-+ <4=21 2点评:解得 d=2, q=2.所以 an=1+ (n- 1) d=2n- 1, bn=qn 1=2n 1(n)1n2】2?2一2 2口一22阮一3 2讥一2-得5门二2+2+舟+貞十+2本题主要考查等差数列的通项公式和用错位相减法求和._ 1卫壬心2天1-j产占T""21. （2014?天津模拟）在等差数列an中，ai=3,其前n项和为Sn,等比数列b n的各项均为正数，bl=1 ,公比为q，且b2+

6、S2=12, q莘(I)求 an 与 bn；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的求和.v1.0可编辑可修改44设Cn=an? bn,求数列C n的前n项和Tn.考点：等比数列的通项公式；等差数列的通项公式；数列的求和.专题：综合题；等差数列与等比数列.分析:（1）根据b2 + S2=12, bn的公比q旦，建立方程组，即可求出an与bn；（2）由an=3n,bn=3n- 1,知Cn=an?bn=n?3n,由此利用错位相减法能求出数列cn的前n项和Tn.解答:解：（1 ）在等差数列an中，ai=3,其前n项和为S,等比数列b n的各项均为正数，b1=1，公比为q，且b2+S2=12,

7、邑 b2=biq=q,（3 分）解方程组得，q=3或q=- 4 （舍去），a2=6 （5 分）- an=3+3 （ n- 1） =3n, bn=3n- 1. （7 分）（2）. an=3n, bn=3n 1,Cn=an? bn=n? 3 ,二数列Cn的前n项和23nTn=1X 3+2X3 +3X3 + +nX3 ,234n+1 3Tn=1X3 +2X3 +3X3 + +nX3- 2Tn=3+32+33+3n nX3n+1点评:=号（31）- nX3n+1卫X3n+13本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性质和错位相减法的合理运用.三、倒序相加法

8、求和v1.0可编辑可修改这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序） 再把它与原数列相加，就可以得到 n个（印an）.例 5求证：c0 3cn 5C：(2n 1)C；(n 1)2n证明：设 Sn c0 3cn 5C2(2ni)cn.56把式右边倒转过来得Sn (2n1)cn (2n "Cn13cnC0（反序）又由cmcnm可得Sn (2n1)C0(2n1)cn3Cnn1.+得 2Sn(2n2)(c0 cnCn)2(n1) 2n（反序相加）Sn(n1) 2n例 6求sin21 sin2 2 sin2 3sin2 88sin2 89的值解：设 S sin2

9、1 sin 2 2 sin2 3sin2 88sin2 89 .将式右边反序得序）S sin2 89sin2 882 2 2sin 3 sin 2 sin 1 -.（反又因为sinxcos(90 x),sin2x cos2 x 1（反22S (si n212 2 2cos21 ) (sin2 2 cos2 2 )2(sin2 892cos 89 ) = 89+得序相加）.S =四、分组法求和1例7求数列的前n项和：1 1,-a有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个 等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.17,77 3n 2，av1.0可编辑

10、可修改67组）求和）解:、几11设 Sn（1 1） （- 4）（aa将其每一项拆开再重新组合得1Sn (1-a1F)a7)(1例8当a= 1时,当a 1时,Sn求数列n(n+1)(2 n+1)解:设 akk(k 1)(2k1-1a-3n3n2)2)（分1)n2(3n1)n2（分组(3n 1)n2(3n 1)n的前n项和.1) 2k3 3k2 k3k2nk)Sn k(k 1)(2k 1) =(2k3k 1k 1将其每一项拆开再重新组合得（分组）求和）=2(13 232 2 n (n 1)2n(n 1)2(nn3) 3(1222n(n 1)(2 n 1)2)n(nn2)(1k3k2n)（分组27.

11、已知等比数列an满足32=2,且283+34=85 , an > 0.（1）求数列an的通项公式;(2)设 bn= (- 1) n3an+2n+1,数列bn的前项和为 Tn，求 Tn.考点：等比数列的前 n项和；数列的求和.v1.0可编辑可修改78专题：计算题；等差数列与等比数列.分析:（I）设等比数列an的首项为ai,公比为q，则，解方程可求ai, q结合等比数列的通项公式即可求解（n）由bn= （- 1） n3an+2n+仁-3?（- 2） n- 1+2n +1，禾U用分组求和，结合等比与等差数列的求和公式即可求解解答:（本小题满分12分）解：（I）设等比数列an的首项为ai,公比为

12、q,则aj Q-22也二2整理得 q - q - 2=0，即 q= - 1 或 q=2, an> 0, q=2 .代入可得ai=1(n)v bn= (- 1) n3an+2 n+仁-3? (- 2) n-1+2 n+1，( 9 分) Tn=- 31 - 2+4 - 8+ (- 2) n-1+ (3+5+2n+1)=-3X-f 一 2 n-_4-n+2n= (- 2) n+n2+2 n- 1.(12 分)1 2点评:本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的应用,分组求和方法的应用，属于数列知识的简单综合五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项

13、（通项） 分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.通项分解（裂项）女口：(1) anf(n 1)f(n)sin 1tan(n 1) tanncos n cos(n 1)(3) an1n(n 1)2a(2n)an(2n 1)(2 n 1)(5) ann(n 1)(n 2)人n 1)(n 1)(n 2)v1.0可编辑可修改89 ann(n 1)2(n1) n 1nn(n1) 2(n站,则Sn1(n 1)2n例9求数列1T-Jn 1项）和）例解：设an10的和.（裂项）和）例 11解:Sn1 11 42 42 43在数列an中,解:anan求证:的前n项和.（裂1Tn（裂项求(73

14、42)(jn 1 4n)数列bn的前n项和Sn 8(1an求数列b n的前n项an 1bn8(-n1) (2 3) (18nn 1cosO cos1cos1 cos2设Scos0 cos1cos1 cos24)（丄nn 1)（裂项求cos88 cos89cos1sin21cos88 cos89sin1cos n cos(n 1)tan(n1) ta nnv1.0可编辑可修改100（裂项）二 Scos0 cos1cos1 cos 2cos88 cos89（裂项求和）-(ta n 1sin1tanO ) (tan2tan 1 ) (tan 3tan 2 ) tan 89tan 88 -(ta n8

15、9si n1tan0) = -sin1cot1 二黑sin 1原等式成立解:如：an是公差为d的等差数列,1 akak 1由一1一ak ' ak 1ak ak丄丄d akak 11丄akak 1 k 1 d akak 1a1a2a?a3anan 11d a1 an 1合并法求和针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的 和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求Sn.例 12 求 cos1 ° + cos2 ° + cos3 ° + + cos178 ° + cos179 ° 的值.八、解：设 S= co

16、s1 ° + cos2 ° + cos3 ° + + cos178 ° + cos179 °cos n cos(180 n )（找特殊性质项） S=(cos1 ° +cos179 ° ) + ( cos2 ° + cos178 ° ) + (cos3° + cos177°)+ -+(cos89°+ cos91°) + COS90°（合并求和）例 13数列a n: a1 1,a23, a32,an 2 an 1 an，求 S2002-v1.0可编辑可修改io

17、io解军：设$002= aia2 a3a2002由 ai i,a23, a32,an 2 anan可得a4i, a53, a62,a7i, a83,a92,aio1, aii3, ai22,a6k i i, a6k 23, a6k2,a6k 4i, a6k53,a6k 6a6k ia6k 2a6k 3a6k4a6k 5a6k 60项）SoO2 = aia2a 3a 2002求和）=(aia2a3a6) (a7a8ai2)(ai993ai994ai998 )ai999a2000= ai999a2000a200ia2002=a6kia6k 2 a6k 3 a6k 4=5例 i4在各项均为正数的等比

18、数列中,右a5a69,求 log 3 ai解：设 Sn log3 ailog 3 a2log 3 aio由等比数列的性质m n pq a mana paq项）和对数的运算性质log a M loga N log aMN 得Sn(log 3 ailog 3aio) (log 3 a2log 3 a9)(log 3 a5a200iia6ka2002log 3 a2log 3 a6)=(log 3 a1aio ) (log 3 a2 a9 )(log 3 a5 a6 )（找特殊性质（合并a6k 6)log3 aio 的值-（找特殊性质（合并求和）=log39log3 9log3 9v1.0可编辑可修改n项和,是一个重要的方法.例 15求1 11 111111n个 1征）和）解：由于111k个 11 11 111=1(101 1)=1(101 1029999k个 1111 1n个1-(10291)1039 (10'9139(10 1)10n)1)-(10n91)1)（找通项及特（分组求七、禾