用空间向量解立体几何问题方法归纳

1、用空间向量解立体几何题型与方法平行垂直问题基础知识C3), v = (a4, b4, C4)直线I的方向向量为a=(ai,bi,Ci).平面a,p的法向量u= (a3,b3,(1)线面平行:l / a? a丄 u? a u = 0? aia3 + bibs + ciC3= 0(2)线面垂直:l 丄 a? a / u? a= ku? ai = kas, bi = kbs, ci = kcs(3)面面平行:a/ 传 u / v? u= kv? a3= ka4, bs = kb4, C3= kc4a丄传 u 丄 v? u v = 0? a3a4+ b3b4 + C3C4= 0(4)面面垂直：例i、如

2、图所示，在底面是矩形的四棱锥 P-ABCD中，PA丄底面ABCD ,PDFtiE, F分别是PC,的中点，PA= AB= i, BC= 2.(i)求证：EF/平面PAB;(2)求证：平面PAD丄平面PDC.证明以A为原点，AB,AD, AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空"f)亠三I kJ:、间直角坐标系如图所示，则A(0,0,0), B(i,0,0), C(i,2,0), D(0,2,0), P(0,0,i),所以 e2, i,iuuiriF 0, i, 2 , ef = 2，0,uuuuuurDC = (i,0,0), ab = (i,0,0).uuuuuiuuuuuuur

3、PB = (i,0, - i), PD = (0,2, - i), AP = (0,0,i), AD = (0,2,0),uuuri uuur(i)因为EF = 2AB，所以uuur EF /uuurAB，即 EF / AB.所以EF /平面PAB. uuk uuur因为 AP DC = (0,0,i) (i；0,0)= 0, AD -DC = (0,2,0) (i；0,0) = 0, uuu uuur uuuruuir所以AP丄DC , AD丄DC，即AP丄DC , AD丄DC.又AB?平面PAB, EF?平面uuu uuurPAB,又APn AD = A, AP?平面PAD, AD?平面P

4、AD，所以DC丄平面PAD.因为DC?平面PDC, 所以平面PAD丄平面PDC.使用空间向量方法证明线面平行时，既可以证明直线的方向向量和平面内一条直线的方向向 量平行，然后根据线面平行的判定定理得到线面平行，也可以证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；证明面面垂直既可以证明线线垂直， 然后使用判定定理进行判定，也可以证明两个平面 的法向量垂直.例 2、在直三棱柱 ABC-AiBiCi 中，/ ABC = 90° BC = 2, CCi = 4,点 E在线段 BBi 上,且EBi= 1, D, F, G分别为求证：(1)BiD丄平面ABD;CC1, C1B1, C1A1 的中点.(2

5、)平面EGF /平面ABD.证明：(1)以B为坐标原点,BA、BC、BBi所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角D(0,2,2), B1(0,0,4),设 BA= a,则 A(a,0,0),uuuu 所以 BA = (a,0,0), BD = (0,2,2), BQ = (0,2,- 2), uuuu uuu uuuu uuurB1D -BA = 0, B1D BD = 0+ 4 4= 0,即 B1D 丄 BA, B1D 丄 BD.坐标系，如图所示，则B(0,0,0),uuuuuu又BAG BD = B,因此BiD丄平面 ABD.我I”C,uuLr,ef =B1D 丄 EF.auuur

6、a由(1)知，E(0,0,3), G 2，1, 4 , F(0,1,4),则 EG = , 1, 1 (0,1,1),uuur uuuuuuu uuurB1D -EG = 0 + 2-2 = 0, B1D EF = 0 + 2-2 = 0, 即卩 B1D丄EG,又EGA EF = E,因此BiD丄平面EGF.结合(1)可知平面EGF /平面ABD.利用空间向量求空间角基础知识(1) 向量法求异面直线所成的角：若异面直线a, b的方向向量分别为a, b,异面直线所成的角为la blB,则 cos = |cosa, b|=旧|何.(2) 向量法求线面所成的角：求出平面的法向量n,直线的方向向量a,

7、设线面所成的角为0,则|n a|sin 0= |cos <n, a|=丽.(3) 向量法求二面角：求出二面角a- I P的两个半平面a与P的法向量n1, n2,若二面角a I - P所成的角|n1 n2|B为锐角，贝U cos 0= |cosn1, n2匸丽j；0为钝角，贝U cos 0=- |cos < n1, n2|=- |：1&：|.在直三棱柱 A1B1C1-ABC 中，AB丄AC, AB = AC = 2, A1A= 4,点D是BC的中点.若二面角例1、如图,a- I P所成的角(1)求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；求平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正

8、弦值.解(1)以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系uuunC(0,2,0), D(1,1,0), A1(0, 0,4), C1(0,2,4),所以 AB = (2,0,- 4),uuun uuuuA1B C1DA-xyz，贝U A(0,0,0), B(2,0,0), uuuuC1D二(1,uuua uuun因为 cos A1B , C1D= |uB7CD厂伍X 伍=10，183/10所以异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为色罟.uuuuuuu(2)设平面 ADC1 的法向量为 nu(x, y, z),因为 AD = (1,1,0), AC1 =uuuuuuu(0,2,4),所以 n1

9、 -AD = 0, n1 AC1 = 0, 即卩 x + y= 0 且 y+ 2z= 0,取 z-1,- 4).%C J1,得x= 2, y=-2,所以，n1 = (2,- 2,1)是平面ADC1的一个法向量. 向量为n2= (0,1,0).设平面ADC1与平面ABA1所成二面角的大小为 0.丄n1 n222 ,口/5由|cos 片 丽=/9Xn=2,得sin 0= 3.因此，平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值为才.取平面ABAi的一个法例 2、如图，三棱柱 ABC-AiBiCi 中，CA= CB, AB= AAi,/ BAAi = 60°(1)证明：AB丄 AiC;若平面

10、ABC丄平面AA1B1B, AB = CB,求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值.解(1)证明：取AB的中点O,连接OC, OA1, A1B.因为CA= CB,所以OC丄AB.由于AB = AAi,/ BAAi = 60°故 AAiB为等边三角形，所以 OAi丄AB. 因为OCn OAi = O,所以AB丄平面OAiC.设n = (x, y, z)是平面BBiCiC的法向量,uuLr n -BC = 0, 则UULUn BBi = 0.UULU故 COS n, AiC|n |AiC|所以AiC与平面BBiCiC所成角的正弦值为晋.又AiC?平面OAiC，故AB丄AiC.(2)

11、 由(i)知OC丄AB, OAi丄AB.又平面ABC丄平面AAiBiB,交线为AB,阻 所以OC丄平面AAiBiB，故OA, OAi, OC两两相互垂直.丿脸空N旳UUUUUU以O为坐标原点，OA的方向为X轴的正方向，|OA|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系 O-xyz.由题设知 A(i,0,0), Ai(0，羽,0), C(0,0, 3), B( i,0,0).UUULUULU UULULUULU厂 l则 BC = (i,0,頁)，BBi= AAi= ( i,頁，0), AiC= (0,羽，羽).x+V3z= 0,即一X+V3尸0.可取 n= (gi，i)-UULUn ACyfi0=U

12、UU = (1) 运用空间向量坐标运算求空间角的一般步骤：建立恰当的空间直角坐标系；求出相关点的坐标；写出向量坐标；结合公式进行论 证、计算；转化为几何结论.(2) 求空间角应注意： 两条异面直线所成的角 a不一定是直线的方向向量的夹角B,即COS a= |COS侏 两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，有可能两法向量夹角的补角为所求.例 3、如图，在四棱锥 S-ABCD 中，AB丄AD , AB/ CD, CD = 3AB = 3,平面SAD丄平面ABCD, E是线段AD上一点，AE= ED = 3, SE丄AD.(1)证明：平面SBE丄平面SEC;若SE= 1,求直线CE与平面SBC所

13、成角的正弦值.解：(1)证明：平面SAD丄平面ABCD，平面SADn平面ABCD = AD, SE?平面SAD,SE 丄 AD, SE 丄平面 ABCD. v BE?平面 ABCD, a SE 丄 BE. v AB 丄 AD , AB/ CD,CD = 3AB= 3, AE= ED/3,a/ AEB = 30° / CED = 60° a / BEC = 90° 即 BE丄CE. 又 SEn CE= E,a BE丄平面 SEC. v BE?平面 SBE,平面SBE丄平面SEC.由(1)知，直线ES, EB, EC两两垂直.如图，以E为原点，EB为x轴，EC为y轴，

14、ESLuuu为 z轴，建立空间直角坐标系.则 E(0,0,0), 50,23, 0), S(0,0,1), B(2,0,0),所以 CE = (0,-_uuu_uur_2晶 0), CB = (2,- 273, 0), CS = (0,- 273, 1).设平面SBC的法向量为n = (x, y, z),uuuLn CB = 0,2x-2V3y= 0,人厂l贝Uuur即令 y= 1,得 x=73, z= 2心，n cS = 0. 2心y+ z= 0.则平面SBC的一个法向量为n = &3, 1,/3).uuu设直线CE与平面SBC所成角的大小为e,则sin A蘿厂11故直线CE与平面S

15、BC所成角的正弦值为4.例4、如图是多面体ABC-AiBiCi和它的三视图.(1)线段CC1上是否存在一点E,使BE丄平面A1CC1 ?若不存在，请说明理由，若存在，请 找出并证明；求平面CiAiC与平面AiCA夹角的余弦值.解：(1)由题意知AA1, AB, AC两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0),UULUA1(0,0,2), B( 2,0,0), C(0, 2,0), C1( 1, 1,2),则 = (1,1,2),uuuuuuuA1C A (0, 2, 2).设 E(x, y, z)，则 CE a (x, y+ 2, z),uuuuuuu uuuuEC1 A (

16、1 x, 1 y,2 z).设 CE = XEC1 ( X0),则y+ 2a X X,则E1 +za 2X X,uuu2+ X2X 2XBEA 1+ X，1+ X，1+ X.uuu uuuu2 +X由BE A1C1A 0,1 +Xuuu uuuu得cBE ACA 0,2 Xx=入，丄01+入2入1+ X ,2X解得A 2,uuu uuuu所以线段CC1上存在一点E, CE A 2EC1 ,使BE丄平面AiCCi.设平面CiAiC的法向量为m A(x, y, z).uuurm A1C1 A 0, 则由UULUm A1C A0,X 尸 0,2y 2z= 0,取 XA 1,则 y= 1, ZA 1.

17、故 m = (1 , 1,1),而平面 A1CA 的一个法向量为 n= (1,0,0), 则cosm, nA imunj A13A33，故平面C1A1C与平面A1CA夹角的余弦值为 警.利用空间向量解决探索性问题例1、如图1,正 ABC的边长为4, CD是AB边上的高，E, F分别是AC和BC边的中点,现将 ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B(如图2).试判断直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由;求二面角E-DF-C的余弦值;请说EF?BP(3) 在线段BC上是否存在一点P,使AP丄DE ?如果存在，求出BC的值；如果不存在, 明理由.解在 ABC中，由E, F分别是AC, BC中点

18、，得EF/ AB.又AB?平面DEF , 平面 DEF，二 AB/平面 DEF.I-以点D为坐标原点，以直线DB, DC, DA分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则 A(0,0,2), B(2,0,0), C(0, 23, 0), E(0, 3, 1), F(1,LuuirLuuuLuuu品 0), DF = (1, V3, 0), de = (0,1), DA = (0,0,2).uuu平面CDF的法向量为DA = (0,0,2).设平面EDF的法向量为n = (x, y, z),x+/3y= 0,L即厂取 n = (3,/3, 3),V3y+ z= 0,uuuJDuu n =弩，

19、所以二面角E-DF-C的余弦值为弩.| da |n|77uuurDF n=0,贝 U uuuruuucos DA，nDE n = 0,uuuuuu uuuL213(3) 存在.设 P(s, t,0)，有 AP = (s, t, 2),贝U AP -DE =V3t 2 = 0,a t = 3 ,uuuuuuLuuu uuuL又 BP = (s 2, t,0), PC = ( s,2/3 t,0),T BP / PC，a (s 2)(23 1)= st，LL2V34 uuu 1 uuua V3s +1= 23.把 t =于代入上式得 s= 3，a bp = 1BC ,BP 1a在线段BC上存在点P

20、,使AP丄DE.此时，BC = 3.1空间向量法最适合于解决立体几何中的探索性问题，它无需进行复杂的作图、论证、推 理，只需通过坐标运算进行判断.2解题时，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等，所以为使问题的解决更简单、有效，应善于 运用这一方法.例 2、.如图所示，在直三棱柱 ABC-A1B 1C1 中，/ ACB = 90° AA1= BC= 2AC = 2.(1) 若D为AA1中点，求证：平面 B1CD丄平面B1C1D;如图所示，以点C为原点，CA, CB, CC1所在直线分别为X,y, z轴建立空(2

21、)在AA1上是否存在一点D，使得二面角B1-CD-C1的大小为60° 解：(1)证明：间直角坐标系.则uuuu即 C1 B1uuuir由 C1 B1uuuu由DC1C(0,0,0), A(1,0,0), B1(0,2,2), C1(0,0,2), D(1,0,1),uuuuuuuDC1 = (- 1,0,1), CD = (1,0,1).uuuiruuu=(0,2,0),uuuCD = (0,2,0) (1;0,1)= 0+0+ 0= 0,得 C1B1 丄 CD，即 C1B1 丄 CD.uuuuuuu uuuCD = (- 1,0,1) (1,0,1)=- 1 + 0+ 1= 0,得

22、 DC1 丄 CD，即 DC1 丄CD.liABiCiD.又DC1 n C1B1=C1,A CD丄平面B1C1D.又CD?平面B1CD,a平面B1CD丄平面存在.当AD = ¥aA1时，二面角B1-CD-C1的大小为60°.理由如下：uuuuuur设 AD = a，则 D 点坐标为(1,0, a)，CD = (1,0, a)，CB1 = (0,2,2)，设平面B1CD的法向量为m = (x, y, z),uuurm CB1 = 0 2y+ 2z= 0,贝Uuuu ?令 z=-1,得 m = (a,1,- 1).m CD = 0x+ az= 0，UUU又，CUU =(0,2,

23、。)为平面OCD的一个法向量，则cos 60 =調=晟=2,解得a= I2(负值舍去)，故AD = U2 = ¥aA1.在AA1上存在一点D满足题意.空间直角坐标系建立的创新问题空间向量在处理空间问题时具有很大的优越性， 能把“非运算”问题“运算”化,即通过直线的方向向量和平面的法向量解决立体几何问题. 解决的关键环节之一就是建立空间直角坐标系, 而建立空间直角坐标系问题成为近几年试题新的命题点.、经典例题领悟好例1、如图，四棱锥 P-ABCD中，FA丄底面ABCD , BC = CD = 2, AC = 4,n/ ACB=/ ACD = 3, F 为 PC 的中点，AF丄 PB.(

24、1)求PA的长；求二面角B-AF-D的正弦值.PI)Aca(1)学审题一一审条件之审视图形由条件知AC丄BD 建>DB, AC分别为x, y轴一写出A, B, C, D坐标A丄面-设P坐标P F可得F坐标AF丄EB aF -PB = 0得P坐标并求PA长.学审题由(1) AD , AF" , AU的坐标向量n1, n2分别为平面FAD、平面FAB的法向量UUUTUUU"n1 -AD = 0且n1 -AF = 0求得n1 n2求得夹角余弦.解(1)如图，连接BD交AC于O,因为BC= CD，即 BCD为等腰三角形，又UUU UUIU uurAC平分/ BCD，故AC丄B

25、D.以O为坐标原点，OB , OC , AP的方向分别为x轴，yn轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系 O-xyz,则OC= CDcos 3 = 1而AC= 4,得AO=AC- OC = 3.又 OD = CDsinn=V3,故 A(0,- 3,0), B&3, 0,0), C(0,1,0), D(/s,A0,0).zUUU因PA丄底面ABCD，可设P(0,-3,z)由F为PC边中点，知F 0, 1, 2 .又AF = 0, 2,UUU厂UUUTPB =(寸3, 3,- z), AF 丄PB,故 AFPB = 0,即 6-2 = 0, z= 2点(舍去一2轴,UUUJ-所以 |PA |

26、= 2a/3.UUU"厂UUU由(1)知 AD =(寸3, 3,0), ABLUUUL=N3, 3,0), AF = (0,2, 3).设平面FAD的法向量为ni = (xi, yi, zi)，平面FAB的法向量为n2= (x2, y2, z2),uuur由 n 1 -AD = 0,uuur占X1+ 3y1 = 0,n1 -AF = 0,得2y1 + -j3z1 = 0,因此可取n1= (3,羽，一2).建立如图所示的空间直角坐标系0-xyz，可求得平面ABC的一个法向量为ni = (0,0,1).uuu由 n2 -AB = 0,uuup3x2 + 3y2= 0,n2 -AF = 0

27、,得厂2y2+寸 3z2= 0, 故可取 n2 = (3,/3, 2).n1 n21n2= n 1| |n2厂8.tt从而法向量ni, n2的夹角的余弦值为cosni.故二面角B-AF-D的正弦值为387.建立空间直角坐标系的基本思想是寻找其中的线线垂直关系本题利用AC丄BD，若图中存在交于一点的三条直线两两垂直，则以该点为原点建立空间直角坐标系.在没有明显的垂直关系时，要通过其他已知条件得到垂直关系，在此基础上选择一个合理的位置建立空间直角坐标系, 注意建立的空间直角坐标系是右手系，正确确定坐标轴的名称例2、如图，在空间几何体中，平面 ACD丄平面ABC, AB= BC= CA= DA= D

28、C= BE= 2.BE与平面ABC所成的角为60°且点E在平面ABC内的射影落在/ ABC的平分线上.(1) 求证：DE /平面ABC;(2) 求二面角E-BC-A的余弦值.解：证明：(1)易知 ABC,ACD都是边长为2的等边三角形,取AC的中点0,连接BO，DO,贝U B0丄AC，DO丄AC. v平面ACD丄平面ABC， DO丄平面ABC. 作EF丄平面ABC，贝U EF / DO.根据题意，点F落在BO 上, /EBF = 60° 易求得EF= DO=帀，四边形DEFO是平行四边形，DE / OF. DE?平面 ABC, OF?平面 ABC,. DE /平面 ABC.

29、FFutuFuuu 可得 C( i,0,0), B(0，羽,0), E(0, V3i, V3),则 CB = (i,0), BE = (0,设平面BCE的法向量为n2 = (x,即(x, y, z) (i,心，0) = 0, (x,ni ni/t3故cosni，n2二乔二 n. 故二面角E-BC-A的余弦值为晋.uuuuuuy, z),则可得 n2 CB = 0, n2 BE = 0,1)又由图知，所求专题训练y, z) (0,i, V3) = 0,可取 n2= ( 3, V3,i 如图所示，在多面体 ABCD AiBiCiDi中，上、下两个底面 AiBiCiDi和ABCD互相平行, 且都是正

30、方形，DD i 丄底面 ABCD, AB / Ai Bi, AB= 2Ai Bi = 2DD i = 2a.(1) 求异面直线ABi与DDi所成角的余弦值；(2) 已知F是AD的中点，求证：FBi丄平面BCCiBi.a), F(a,0,0), Bi(a, a, a), Ci(0, a, a). uuuu uuuu uuuu uuuuABi DDiABi , DDi > - uuuu uuuu 七,|ABi | |DDi |3解：以D为原点，DA, DC , DDi所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角 坐标系，则 A(2a,0,0), B(2a,2a,0), C(0,2a

31、,0), Di(0,0,uuuuuuuu(i) / ABi = ( a, a, a), DDi = (0,0, a)，二 cos43uuur所以异面直线ABi与DDi所成角的余弦值为 罟.uuuuLuur(2)证明:uuurFBiuuurFBiT BBi = ( a, a, a), BC = ( 2a,0,0), FB i = (0, a, a),uuurBBi = 0,uuu二 FBi 丄 BBi, FBi 丄 BC.BC = 0. BBin BC= B,A FBi丄平面 BCCiBi.2. 如图，在三棱柱ABC-AiBiCi中，AAiCiC是边长为4的正方形，平面ABC丄平面AAiCiC,

32、AB= 3, BC= 5.(1)求证：AAi丄平面ABC;(2) 求二面角Ai-BCi-Bi的余弦值;bd证明：在线段BCi上存在点D，使得AD丄AiB,并求bBD的值.解：证明：因为四边形AAiCiC为正方形，所以AAi丄AC.因为平面ABC丄平面AAiCiC，且AAi垂直于这两个平面的交线 AC,所以AAi丄平面ABC.由(1)知 AAi丄AC, AAi 丄AB.由题知 AB= 3, BC = 5, AC = 4,所以 AB丄AC. 如图，以A为原点建立空间直角坐标系 A-xyz，则B(0,3,0), Ai(0,0,4), Bi(0,3,4), Ci(4,0,4),-uuuruuuuA1B

33、 = (0,3, 4), A1C1 = (4,0,0).设平面 A1BC1 的法向量为 n = (x, y, z),uuuan AB = 0，3y4z= 0,则 uuur即令 z= 3,则 x= 0, y=4,所以 n = (0,4,3).n A1C1 = 0. 4x= 0.同理可得，平面B1BC1的一个法向量为m= (3,4,0).所以cos n，m>n m 16-|n im|2516由题知二面角A1-BC1-B1为锐角，所以二面角A1-BC1-B1的余弦值为丟.uuu uuuu证明：设D(x，y，z)是直线BC1上一点，且BD =入BC1 .所以(X，y 3，z)= X4， 3,4)

34、.解得 x = 4 入 y= 3-3 人 z= 4 入uuuruuu uuuu25-所以AD = (4入3 3入4.由AD A1B = 0,即9 25A 0,解得9因为25 0,1，所以在线段BC1上存在点D，使得AD丄A1B.此时，1= & 25.3. 如图(1),四边形 ABCD 中，E 是 BC 的中点，DB = 2, DC = 1, BC = Q5, AB = AD =亚 将图(1)沿直线BD折起，使得二面角A-BD-C为60°，如图(2).(1)求证：AE丄平面BDC;求直线AC与平面ABD所成角的余弦值.1解：(1)证明：取BD的中点F，连接EF, AF，则AF

35、= 1, EF =，/ AFE= 60°.由余弦定理知 AEy 1求二面角E-AP-B的余弦值.+ 2 2 2X 1X2cos 60 =岁. AE2+ EF2=AF2,. AE 丄 EF. AB= ad, F 为 BD 中点.a BD丄AF. 又 BD = 2, DC = 1, BC/5, 即 BD丄cd.又 E 为 BC 中点，EF/ cd，二 BD丄EF.又 EFAAF = F, BD丄平面 AEF.又 BD丄AE,t BD A EF = F，二 AE丄平面 BDC.以E为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A0, 0,1 11uuuuuurd -1,-2, 0 , db =(2

36、,0,0), da =uuur,AC =-1,12,ABD2 + DC2= BC2,c -1, 2，0 , b 1,-2，0 ,设平面ABD的法向量为n =(X, y, z),切 C2x= 0 ,n -db = 0 /'由uuiu得 1 血n -DA = 0x + 2y+ 2 z 0 ,则 y= 3,又 n= (0 , 3 , 3). uuuruuur n -ACVoA cos n , AC=uuu =严.|n| |AC|4故直线AC与平面ABD所成角的余弦值为呼.4. 如图所示，在矩形 ABCD中，AB = 3品 ad = 6, BD是对角线，过点A作AE丄BD，垂 足为0,交cd于

37、E,以AE为折痕将 ADE向上折起，使点D到点P的位置，且PB/4i. 求证：PO丄平面abce； 2 解：(1)证明：由已知得 AB = 3帖，ad = 6,A BD = 9. 在矩形ABCD中，t AE丄BD, Rt AODsRtAbad，二 AobD，二 DO 4,a BO 5.在POB 中，PB=回，PO = 4, BO = 5,A PO2+ BO2= PB2, POX OB.又 POX AE, AEn OB = O,a PO 丄平面 ABCE. BO = 5,二 AO=pAB2 OB2 = 2逅以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0,0,4),ULUUUUpa = (2/

38、5, 0, 4), PB = (0,5, 4).UUU n 1 -PA 0, 设ni (x, y, z)为平面APB的法向量.贝Uuuuni -PB 0,A(2V5, 0,0), B(0,5,0),2V5x 4z= 0,5y 4z= 0.取 X 2/5得 ni (2/5, 4,5).又 n2 (0,1,0)为平面 AEP 的一个法向量, ni n24461 cosni, n2=|ni|n2|-屈X 厂 61， 故二面角e-ap-b的余弦值为黑单.5. 如图，在四棱锥 P-abcd中，侧面pad丄底面abcd，侧棱PA= PD =羽，PAX PD,底面 abcd为直角梯形，其中 BC/ ad ,

39、 ABXad , AB= BC= 1, O为AD中点.(1)求直线PB与平面POC所成角的余弦值;求B点到平面PCD的距离;(3) 线段PD上是否存在一点Q,使得二面角Q-AC-D的余弦值为 誓？若存在，求出QQ的值;若不存在，请说明理由.解：(1)在 pad中，PA= PD, O为ad中点，所以PO丄ad.又侧面pad丄底面ABCD，平面pad n平面ABCD= ad , PO?平面pad，所以PO丄平面abcd.又在直角梯形 abcd中，连接OC,易得OCX AD,所以以O为坐标原点，OC, OD, OP所在直线分别为X, y, z轴建立空间直角坐标系，则P(0,0,1), A(0, 1,

40、0), B(1, - 1,0), C(1,0,0),D(0,1,0),UUUuuu PB (1, 1, 1),易证OA丄平面POC,.OA (0, 1,0)是平面POC的法向量，uuuuuu厂厂uuuuuuPBOA气 3寸6cos PB , OA > uuuuuu*.直线PB与平面POC所成角的余弦值为 *.| PB|OA|33uuuuuu(2) PD (0,1, 1), CP ( 1,0,1).设平面 PDC 的一个法向量为 U (x, y, z),呼uuu 厂u CP x+ z 0,|BP ul v3则 uuu取z 1,得u-(1,1,1).a B点到平面PCD的距离为d-1 I I

41、 I-*.u -PD y z 0,|u|3uuuuuuuuu(3) 假设存在一点 Q，则设 PQ = XPD (0< :<1). PD = (0,1， 1)，uuuruuu uuu uuu PQ = (0，入?)= OQ OP，二 OQ = (0，入 1)，二 Q(0，入 1.uuur设平面 CAQ 的一个法向量为 m = (X，y，z)，又 AC = (1,1,0)，AQ= (0，H 1,1，uuirm AC = x+ y= 0，则uuur取 z= + 1，得 m= (1 入1， + 1)，m -AQ = :+ 1 y+ 1心0.又平面CAD的一个法向量为n = (0,0,1),

42、 二面角Q-AC-D的余弦值为 普,所以|cosm，n1= m卜当，得3 110入+ 3= 0,解得禺或A3(舍)，PQ 1C所以存在点Q,且QD = 2.6. 如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD是直角梯形，侧棱SA丄底面ABCD,AB垂直于AD和BC, SA= AB= BC = 2, AD = 1.M是棱SB的中点.(1) 求证：AM /平面SCD;(2) 求平面SCD与平面SAB所成二面角的余弦值;(3)设点N是直线CD上的动点，MN与平面SAB所成的角为0,求sin 0的最大值.解：(1)以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0),B(0,2,0),C(2,2,0

43、),D(1,0,0),uuuS(0,0,2), M(0,1,1).所以 AM = (0,1,1), SD = (1,0, 2), CD = ( 1,设平面SCD的法向量是n = (X, y, z),uuuSD n = 0,则uuuCD n = 0,uuuuuuu2,0).X 2z= 0,即 C C 令 z= 1,则 X= 2, y= 1,X 2y= 0.uuuuuuuu于是 n = (2, 1,1).v AM n = 0,a AM 丄n.又 AM?平面 SCD, AM / 平面 SCD.c易知平面SAB的一个法向量为n1 = (1,0,0).设平面SCD与平面SAB所成的二面角为 札 丽11,

44、|n1 n1, 0, 0 - 2, 1 12 心 日仃 未 V61 6则|cos 肛 |n1|n| =1 品=1 76 = 3,即 C0S 片 3.弋f6平面SCD与平面SAB所成二面角的余弦值为 詈.uuuu设 N(x,2x 2,0)(x 1,2)，则 MN = (x,2x 3, 1).又平面SAB的一个法向量为 m = (1,0,0)，115- 12- + 10入110X12- 12X + 5113 2710 11-3 +5135当X二3,即 X二5时，(sin4A 晅gmax7 .7、如图，四边形 ABEF和四边形ABCD均是直角梯形，/ FAB=/ DABx, 2x-3,- 1 -1,

45、 0, 0 Sin 缸Qx2+ 2x-3 2+ -P1=5x2- 12x+ 10 =90° AF = AB= BC = 2, AD = 1，FA丄CD.(1) 证明：在平面BCE上，一定存在过点C的直线I与直线DF平行;(2) 求二面角F-CD-A的余弦值.解: (1)证明：由已知得，BE/ AF，BC/ AD，BEn BC= B，AD n AF = A，由已知平面BCE /平面ADF.设平面DFC n平面BCE= I，则I过点C.平面BCE /平面ADF，平面DFC n平面BCE= I,平面DFC n平面ADF = DF. DF / I，即在平面BCE上一定存在过点C的直线I，使得DF / I.(2) FA丄AB, FA丄 CD, AB 与 CD 相交，二 FA丄平面 ABCD.故以A为原点，AD , AB, AF分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图.uuu"uuu"得，D(1,0,0), C(2,2,0), F(0,0,2),. DF = (-1,0,2), DC = (1,2,0).设平面DFC的一个法向量为n =(X, y，z),x = 2z,x=-2y,不妨设 Z= 1.uuun -DF = 0， 则uuurn -DC = 0aC则n = (2,- 1,1)，不妨设平面ABCD的一个法