正弦定理与余弦定理及应用练习题

1、正弦定理、余弦定理及应用练习题一、选择题11. 在ABC中，若a=11,b=丄,A=60°，那么材2A.这样的三角形不存在C. 这样的三角形存在不唯一,D. 这样的三角形存在不唯一,B.这样的三角形存在且唯一但外接圆面积唯一 且外接圆面积不唯一为定值，故面积唯a解析：由于bsinA < a< b,故三角形不唯一，又其外接圆半径为R=一2sin A2. 在 ABC中，A.等腰三角形 解析：当2 2 2 2-2B)=c cos2B=c (cos B-sin B) =a2-b2也满足，故选 D.已知(a2+b2) sin(A-B)=(a 2-b 2)sin(A+B),则 ABC

2、的形状B.直角三角形C. 等腰直角三角形A=B 满足.又当 C=90。时，( 2“2r 2i(D )D.等腰三角形或直角三角形2 sin(90 °2 2a +b ) sin(A-B)=c3.在 ABC中，B=30°,AB=2j3 , AC=2那么 ABC的面积是B.43 或 4j3D.73或 243解析：运用正弦定理及& =1AB- AC- sinA求解，注意多解的情况.24.在 ABC中，C=60°,a+b=2( J3 +1),c=2 V2 ,则 A 的度数或75解析：由 c2=a2+b2-2abcosC 及 a+b=2( J3+1)知 ax b=8 8

3、刀,求出a,b后运用正弦定理即可.35.已知A、B、C是三角形的三个顶点，AB 2= AB AC + AB CB +BC CA，则 ABC为(C )A.等腰三角形B.等腰直角三角形C.直角三角形D.既非等腰三角形又非直角三角形22 b2解析：因 c =bc -cosA+ac -cosB-ab -cosC,故 c =a2 C2 b22a2 b2 c22c2=a2+b2,即 ABC为直角三角形.6.已知 ABC中，IBC |=3 , I CA |=4，且 BC CA =-6 73，则 ABC的面积是 (C )B.3D.46 +42解析：因BC -6(3 31CA =-| BC | CA |cosC

4、 ,故 cosC= , sinC= , S3 422ABC=1| Bc| | CA| 21 1sinC= X 3 X 4X _ =3.2 27.给出下列四个命题，以下命题正确的是 若sin2A=sin2B,则 ABC是等腰三角形 sinA=cosB，则 ABC是直角三角形 若sin A+sin B+sin Cv 2,则 ABC是钝角三角形则 ABC是等边三角形C.D.sin2A=sin2B,但 ABC不是等腰三角形.若 cos(A-B)cos(B-C)cos(C-A)=1,A.B.解析：错.当A=30°, B=60°时，错.当A=120°, B=30°时

5、，sinA=cosB，但 ABC不是直角三角形.8.若钝角三角形三内角的度数成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为 范 是陀，则恥的取值围A.(1 , 2)B.也 +8)解析：设三角形三内角从小到大分别为且尽0 < tan.3AS Einr _ eiiX120*-j4) _ 1SC sin j4ilA( B ).C.卩，诃d.®F)C ,根据题意得B之IT ,由C =冲A9CI。得,据 正 弦 定 理>-+-=22tarLj4 22二、填空题9.等腰三角形的两边长为9,14,则底角的余弦值为解析：当底边长为9，则cos2 2 20 =9 14 142 9 149一；当底

6、边长为14时，则cos 02892142922 14 910. ABC中，已知 BC=3 AB=10,AB边上的中线为7,则 ABC的面积等于_ 些732解析：cosB=5LX2 5 3丄,sinB=2.故 &ab(=1 X 10X 3X 坐=些 732 2 2 211.在 ABC中，若/ C=60°,2 2 2解析：/ cosC= -一b一2ab2 2 2 a +b =c +ab,12三、解答题12.在 ABC中,a2 b2 c(a b)ab (a b) ?c c22ab c c(a b)ab (a c)?c c2a、b、c分别是角 A B、C的对边，且8sin 2旦-2c

7、os2A_7.(1)求角A的大小;(2)若 a=73，b+c=3,求 b和 c 的值.B C A解析：(1) 由 B+C_-A,sin h_co辽,即 4COS2 A-cos2A=,2 2272(1+cosA)-(2cosA-1)=.22 14cosA-4cosA+1=0,cosA= ,A=602(2)cosA_2c2 a22bcbe即 b2+c2-3=bc,即(b+c) 2-3=3bc.2,解得b 1,或b 2, c 3. c 2, c 1.13.(2013高考江西卷16)在 ABC中,(1)角 A， B, C所对的边分别为 a，b，c,已知 cosC+(cosA-.JsinA)cosB=0

8、.求角B的大小；若a+c=1，求b的取值范围J ( I > itl l_L大UT补f =匸盅丁汗(M b Fi、十M cr<i*i /i =?ii 11 貝 ug歼 /=<>»Ufli n .4 s i n /?tin T 匚“赫 ft fI丸I 刘 Mn -f 工 *17r UJ, sin Hcos H = 0 .乂 c：o. fr rJ, tan d =si tl <=- *i V 兀 ” J 祈 1L 理 li 三=”(2 J I时余独迟:拙tl, 们打* =打2cos 出£, fi 2 3 LJ =xcvfgui. J Jrk<r

9、 =-c 1 . L叩门=喧丹 Ul.I rtWfJ'i 3 本国号rt T 伯二址*诚八 ；5£丸疋上*耶"厲川* 収仪拒J生呛启巧.易卡昌 注倉 O W丄V】IA十焙 舎装件*t艰M伦计价1M(fj,上廉畤1 带 JL. r /liij siiL /y cos yy _(). ert 3 > =冷a出一=、给3处7出號疋理达徑，纭ra14.在 ABC中,a、b、c分别是角A、B C的对边长，已知a、b、c成等比数列，且a2-c 2=ac-bc,、 曲亠 bsin B心士求A的大小及的值.c解法一：/a, b, c成等比数列， b2=ac.又 a -c =a

10、c-bc, b +c -a =bc.在 ABC中，由余弦定理得：2 2 2.b c a bc2bccosA=2bc A=60° .在 ABC中,由正弦定理得sinB=nA, V b2=bc, / A=60。，absin B2b2si n60=sin60ac解法二：在 ABC中，由面积公式得1 1bcsin A= acsinB.22 2/ b =ac,A=60 ° , bcsinA=b sinB.bsin B . n J3sin A c215.已知向量 m=( sinB， 1-cosB ),且与向量n=( 2, 0)所成角为3,其中ABC 是 ABC的内角.(1) 求角B的大

11、小；(2) 求sinA+sinC的取值范围.解析：(1)T m= (sinB,1-cosB )与向量 n=(2, 0)所成角为， 1 cosB=73.3 sin BB._ tan =.又 0<3<n,2B2二一=,即 B= n ,A+C=.2 333(2)由(1)得 sinA+sinC=sinA+sin(A)31 73=si nA+ cosA=si n( A+ ),2 23 0< A< ,< A+ < 3333 sin(A+ ) (d,1,3 2天3 sin+sinC (,1. 当且仅当 A=C=时，sinA+sinC=1.616（备用）.已知的外接圆半径为应，且满足2耳肿£-加6 =（忑盘-b）血B 求MSC面积的最大值。解：由已知条件，得4卅（