计算方法及答案

1、计算方法练习题一、填空题1.兀=3.14159A的近似值3.1428，准确数位是（2 .满足f(a) =G f (b) =d的插值余项 R(x)=(3 .设Pk （x）为勒让德多项式，则（P2（x）, P2（x）=（4 .乘幕法是求实方阵（。特征值与特征向量的迭代法。5 .欧拉法的绝对稳定实区间是（6. e=2.71828A具有3位有效数字的近似值是（.用辛卜生公式计算积分1 竺.（）。1 +x设A(k 4 = (ajz)第k列主元为aPk，则aPk）()。.已知aJ510 已知迭代法:Xn+Xn), (n= 0,1,A )收敛,申 X）满足条件（）。二、单选题1 .已知近似数a,b,的误差限

2、s（a）, g（b），贝U s（ab）=（）。A. E(a)E(b)B. £(a)+ e(b)c.g(a) +|*(b)D.ag(b) +|*(a)A.lB.2C.3D.4，则化A为对角阵的平面旋转).兀B.3兀A.24 .若双点弦法收敛，则双点弦法具有（ A.线性B.超线性5 .改进欧拉法的局部截断误差阶是（兀C.4。敛速.C.平方）.D.D.三次A. o(h)B. o(h2)C.o(h3)D.o(h4)6 .近似数a=0.47820心02的误差限是（）。1A. X1027 .矩阵A满足(11B. X10*C. X10°22),则存在三角分解 A=LR>A. det

3、 A H 0B.det Ak H 0(1 < k C n)C.detA>0 D. det Ac 0&已知 X =(13Qt，则 X= ( )oA.9B.5C.3D.5A.设Pk(x)为勒让德多项式，则(P3(X), p5(X) =() oB.C.2D.11计算题1求矛盾方程组:j X1 + X2 = 3Xr + 2X2 = 4的最小二乘解。% - X2 = 22 1.用n = 4的复化梯形公式计算积分(丄dx，并估计误差。1 X.用列主元消元法解方程组:2x1 +5x2 +3X3 =62x1 +4x2 + 3X3 = 5 o+ 6x2 +2x3 = 44Xi用雅可比迭代法解

4、方程组:(求出X(1)4-1-1L0-10 X11-14Lx3L1jX2113用切线法求x3 -4x +1 = 0最小正根(求出Xl ) o求抛物插值多项式,6 .已知f(X)数表:X012y-204并求f (0.5)近似值。7 .已知数表:X012y13. 24 . 8求最小二乘一次式。&已知求积公式：f f(x)dxA0f()+A1f(O)+A2f(1)。 求A0, A1, A2，使其具有尽可能高代数精度，并指出代数精度。9.用乘幕法求A =4 101131的按模最大特征值与特征向量。L0 1化10.用予估-校正法求初值问题:卩=2xy在 x=0(0.2)0.4处的解。I y(0)

5、=1四、证明题6已知误差限 钦a),名(b),则钦ab)=()。1.证明：若f"(x)存在，则线性插值余项为:f 7£)R(X)=r(X-x0)(X-X1),x0 V U <x1。 2!2.对初值问题:y = 10y，当0 ch <0.2时，欧拉法绝对稳定。I y(0) =13设P(A)是实方阵A的谱半径，证明：P(A)W|A。4 证明：计算 ja(a0)的单点弦法迭代公式为：xn卅上C + Xn= O,1A。、填空题计算方法练习题31近似数a =0.63500勺0的误差限是(2 .设|x|>>1,则变形 J + X - Jx =(),计算更准确。3

6、 用列主元消元法解：!儿+2X2 - 3，经消元后的第二个方程是(2石 +2X2 =44 .用高斯一赛德尔迭代法解4阶方程组，则x3m)=(5 已知在有根区间a,b上,f '(x), f ''(x)连续且大于零，则取xo满足)，则切线法收敛。用辛卜生公式计算积分01 dx化 (2+X若A = A。用改进平方根法解 Ax = b，则I jk =（当系数阵A是（）矩阵时，则雅可比法与高斯一赛德尔法都收敛。10 .若打=一:吃，且治 > 几i （i >3）,二、选择题1已知近似数a的环（a） =10/0，则务(a3) =(A. 10/0B. 20/0C. 30/0

7、D. 40/02 .设Tk（X）为切比雪夫多项式，则(T2(x).t 2(x)h (A.0兀B4兀c.2D.兀3 .对 aJ646直接作三角分解，则r22A. 54.已知 A=D-L-U ,B. 4C.3则雅可比迭代矩阵B=D. 2A. D(L+U)B. D(L-U)C.(D -UD. (D-U)-*L5设双点弦法收敛,A.线性则它具有（B.超线性）敛速。C.平方D.三次_ 106 .迈=1.41424A，则近似值的精确数位是（7A.10°B. 10,C. 100.10,7 .若021池;:,则有-（A.B. 3C.4D. 0&若A4L1则化A为对角阵的平面旋转角A.兀B.3

8、JIc.4D.9改进欧拉法的绝对稳定实区间是（A.-3 , 0B. -2.78 , 0C. 2.51 , 0D. -2 , 0三、计算题X0121.已知f(x)数表y-4-22用插值法求f(x)=O在0 , 2的根。2.已知数表X0123y2.89.215.220.8求最小二乘一次式。3用n=4的复化辛卜生公式计算积分1 dx，并估计误差。'02+x314用雅可比法求 A =L00-0的全部特征值与特征向量。5用欧拉法求初值问题y' = 2x + yry 在 x=0(0.1)0.2 处的解。I y(o)=16已知函数表：X12y-10f y02求埃尔米特差值多项式H (x)及其

9、余项。7求 f(X)=X&求积公式：J。f(x)dx止Af(0)+Bf(X1),试求X1，A，B,使其具有尽可能高代数精度, 并指出代数精度。 9用双点弦法求 X3-5x+2=0的最小正根(求出 X2 )。 在-1，1上的最佳平方逼近一次式。I y' = X y10.用欧拉法求初值问题：(在x=0(0.1)0.2处的解。I y(0) =1四、证明题1.证明：I州|B| <1 A-B| 。51a2.证明：计算 Va的切线法迭代公式为：Xn十=一(4Xn+p), n = 0,1,.5Xn3.设|0(X),., ln(X)为插值基函数，证明:nZ lk(x) =1。k=04若

10、B <1。证明迭代法:X叶)=2x(m)31+ 3BX(m)+b，m = 0,1，.收敛。计算方法练习题一答案.填空题102.f 7b2护3. 54.按模最大5. 2,07.J1 +x +依8.19.933(b3 - a31X1E - a32x2m忙-a34x4m) ) ,10. f (x。)>0二.单选题1.C2.A3.C4.B6. C7. D 8. B9. B5.C三计算题1 .(X1,X2)=(X1+X23)2+(X1+2X24)2 +(X1X2-2)2,=01 =0得:卩人+2卷=9 ,&212为 +6x2 =9解得X12 dX2.189=一，X2 =一。72141

11、8881农-1上 0.697, X856722536i 46241i 4624"2435T123T224L46242241113.回代得:x=(-1,1,1)TR(x)<旦12x161964因为A为严格对角占优阵,所以雅可比法收敛。Xi(卄Xn+ =Xnx3 4x +1计算得：捲=0.25。6利用反插值法得十(0+4)-子(0 + 4)(0+2) =1.75f(0) *2(0)7.由方程组:4*0；：*1 "402，解得：比=3,ai =6，所以 g；(x) =3 + 6x。6a14a1021 18 881ft + + + 1 sz 0.4062,8 2 9 10 1

12、1 31'02+xM2.|R(f)戶一=止 0.00132 。12167689.因为兀a22 =印1 =3月12 =1，日=4j1+x2m)4雅可比迭代公式为：k2m =(3 + xT)+x3m),m = 0,1,A。4x3m U(1+x2m)4取 x(0)=(1,1,1 )T 计算得:X=(0.5,1.25,0.5)T。5.因为 f(0) =10, f (0.5) =0.875 c0，所以 0,0.5，在0,0.5上，2f(X)=3x -4 cO, f "(X)=6x >0。由 f (Xo)f "(X)>0,选 Xo = 0，由迭代公式:Al =运72

13、2返202返2031L001032返20_返-2返2040L0010打=4, X1雋，勢2 2所以：=3, X2 =(0,1,0)T2，0)T)£=2,X3 =(-当近10.应用欧拉法计算公式:yn半=0.2Xn+ 1.1ynn =0,1,2计算得 yj =1.12 =1.23。四.证明题1.设 R(x) = k(x)(x -X0)(x -X1), g(t) = f (t) - L1 (t) -k(x)(t - X0)(t - xj，有x0,x1,x为三个零点。应用罗尔定理，g"(t)至少有一个零点匕，H Mf "化)g”G)=f “G)-2!k(x) =0,k(

14、x)=。2.由欧拉法公式得:yn 一 ynyo - y。当0 ch <0.2时，则有yn yn兰y0 -y0。欧拉法绝对稳定。3.因为 A=(A-B)+B, |a| 勻 a-b| +|b|，所以 I A| B又因为 B=(B-A)+A,B- A +| A所以 |B| 制判B -A| =1 A-B|b| -|a| 勻|a-B4.因为计算 Ta等价求X5 -a =0的实根,5Xn -a人+ =Xn5Xn将f（X）=x5 -a, f '（X）=5x4代入切线法迭代公式得:= 1(4Xn +为,n=0,1,.。5Xn计算方法练习题二答案一、填空题1. 10, 2.P(G) c1，3. X

15、n41_ XiXn 丄Xi 加n(n = 1,2A ),4. 1.2,5. f(Xn +2, yn + 尹)6. |bM(a) + |a2(b)，7.731808. 土 ,9.严格对角占优rkk10.1 fv(k书)Vxi(k)k Xi丿二、单选题1. C2. B6. A7. B3.8.4.9.三、计算题兀 22+31. sin 一 5100.5828 , R()5上 0.582咒 10。24002. W(X, y) =(x + y4)2+(xy 3)2+(2x y 6)2，由丁 =0, excy得炉一2心9，解得：x，y=电。：2x-3y=51473.由亠 <1咒10,解得n>3

16、,取n=3,48n221 dx 11661复化梯形公式计算得：0药二1+7+6+才0.4067。4.11 21-1-1L°-1L°-1L°回代得:5.因为a33=a11=2, a12 =1,日运23010L1L0所以再=3川=（亍0,亍）為=3,X2 =(0,1,0)TV2、t3H (X) = (1 + 2( X -1)( X - 2)2 X (_1) + (X - 2)( X 1)2 咒 2 = x2 - 2xR(x)"©(x1)2(x-2)2,(1 牡 2)4!7.设*1 13*3 1 43g1(X)=a0P0(x) +a1 p 1(x)，

17、则 a。= .x dx =Oa1 = .x dx = , 225所以 g；（x）hOx。5&设求积公式对 f（X）=1,X,X2精确得:A+B =1Bx1Bxi1=丄，解得:21X1=|,B3所以求积公式为:0f（x）dxVf（0）+4fe），3 1 2再设f（x）=x，则左=-9=右。此公式具有3次代数精度。9 .因为 f(0) =2 >0, f (0.5) =0.375 <0, 故 x 0,0.5，在0 ,0.5上，mr, = min f '(x) =4.25, M 2 = max f "(x) = 3, KR <21皿嗚<1，应用双点弦法迭代公式:3Xn十 f 一:跖XC5； + 2)，n "2，.计算得:X 0.421。10. yn_i =0.1Xn+0.9yn,n =0,1，由 yo =1，计算得： = 0.9, 丫2 = 0.82。四、证明题=Xp，则有 1Z Xi2 <n i