《平面向量的数量积》教学设计及反思

1、平面向量的数量积教学设计及反思交口第一中学赵云鹏平面向量的数量积是继向量的线性运算之后的又一重要运算，也是高 中数学的一个重要概念，它是沟通代数、几何与三角函数的一种重要工具, 在每年高考中也是重点考查的内容。向量作为一种运算工具，其知识体系 是从实际的物理问题中抽象出来的，它在解决几何问题中的三点共线、垂 直、求夹角和线段长度、确定定比分点坐标以及平移等问题中显示出了它 的易理解和易操作的特点。、总体设想:本节课的设计有两条暗线：一是围绕物理中物体做功，引入数量积的 概念和几何意义；二是围绕数量积的概念通过变形和限定衍生出新知 识一一垂直的判断、求夹角和线段长度的公式。教学方案可从三方面加以

2、 设计：一是数量积的概念；二是几何意义和运算律；三是两个向量的模与 夹角的计算。、教学目标:1. 了解向量的数量积的抽象根源。2. 了解平面的数量积的概念、向量的夹角3. 数量积与向量投影的关系及数量积的几何意义4. 理解掌握向量的数量积的性质和运算律，并能进行相关的判断和计算三、重、难点:【重点】1.平面向量数量积的概念和性质2. 平面向量数量积的运算律的探究和应用【难点】平面向量数量积的应用 四、课时安排:2课时五、教学方案及其设计意图:1.平面向量数量积的物理背景平面向量的数量积，其源自对受力物体在其运动方向上做功等物理问 题的抽象。首先说明放置在水平面上的物体受力 F的作用在水平方向上

3、的位移是S,此问题中出现了两个矢量，即数学中所谓的向量，这时物体力F 的所做的功为 W |F| IS cos，这里的是矢量F和S的夹角，也即是两个 向量夹角的定义基础，在定义两个向量的夹角时，要使学生明确“把向量 的起点放在同一点上”这一重要条件，并理解向量夹角的范围。这给我们 一个启示：功是否是两个向量某种运算的结果呢？以此为基础引出了两非 零向量a, b的数量积的概念。2.平面向量数量积（内积）的定义已知两个非零向量a与b，它们的夹角是0，贝擞量|a|b|cos叫a与b 的数量积，记作 a b，即有 a b = |a|b|cos，（0 <0<n .并规定0与任何向量的数量积为0

4、.零向量的方向是任意的，它与任意向量的夹角是不确定的，按数量积 的定义a b = |a|b|cos无法得到，因此另外进行了规定。3. 两个非零向量夹角的概念已知非零向量 a 与b，作 OA = a,OB = b,则/AOB = (0 <0<na b |a| lb cos ，a b是记法，|a|冋cos是定义的实质它是一个实数。按照推理,时,0?时，数量积为正数；当数量积为负。三时，数量积为零;4. “投影”的概念Blb定义：|b|cos叫做向量b在a方向上的投影。投影也是一个数量，它的符号取决于角的大小。当 为锐角时投影为 正值；当 为钝角时投影为负值；当 为直角时投影为0;当=0

5、时投影为|b|；当=180时投影为|b|.因此投影可正、可负，还可为零。根据数量积的定义，向量b在a方向上的投影也可以写成 黑lal注意向量a在b方向上的投影和向量b在a方向上的投影是不同的, 应结合图形加以区分。5. 向量的数量积的几何意义:数量积a b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos的乘积.向量数量积的几何意义在证明分配律方向起着关键性的作用。其几何 意义实质上是将乘积拆成两部分：|a|和|b| cos。此概念也以物体做功为基 础给出。lb cos是向量b在a的方向上的投影。6.两个向量的数量积的性质：设a b为两个非零向量，则(1) a b a b = 0；当a与b同向时，ab

6、 = |a|b|；当a与b反向时，ab = |a|b|.特别的aa = |a|2或| a | 0"(3)|ab| < |a|b|a b a |b 例1. (1)已知向量(4) cos，其中为非零向量a和b的夹角。a ,b，满足lb 2,a与b的夹角为600,则b在a上的投影若b4,a6,则a在b方向上投影为例2.已知a4，按下列条件求a b(1)a/bb (3) a与b的夹角为15007.平面向量数量积的运算律 1 .交换律：a b = b a证：设 a，b 夹角为，贝U a b = |a|b|cos，b a = |b|a|cos2.数乘结合律：(a)b = (a b) = a

7、( b)证：若 > 0, ( a) b = |a|b|cos， (a b) = |a|b|cos , a ( b) = |a|b|cos，若 < 0，( a) b =| a|b|cos( ) =|a|b|( cos ) = |a|b|cos， (a b)aibicos,a ( b) =|a| b|cos( ) =|a|b|( cos ) = |a|b|cos .3 .分配律：(a + b) c = a c + b cV a + b (即 OB )在平面内取一点 O,作OA= a， AB = b，OC = c，=602在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影和，即|a + b| c

8、os = | a|cos 1 + |b| cos 2b) = ca + c b | c | |a + b| cos =|c| |a| cos i + |c| |b| cos 2，/. c(a +即：(a + b) c = ac + b c(2) a Ab c 驴0la = b说明：（1） 一般地，（a -b ）驴a （ b C（3）有如下常用性质：a 2(a+b) (cd)=a cH a -d + b cH b -d(a + b )2 = a 2 + 2 a b + b例3已知a、b都是非零向量,且a + 3b与7a 5b垂直，a4b 与 7a 2b垂直，求a与b的夹角.解：由(a + 3b)

9、(7a5b) = 07a2 + 16ab 15b2 = 0(a 4b)(7a 2b) = 07a230a b + 8b2 = 0两式相减：2a b = b2代入或得：a2 = b2设a、b的夹角为，则cosb2|a|b|2|b|评述：在四边形中，AB，BC，CD，DA是顺次首尾相接向量,则其和向量是零向量，即a + b+0,应注意这一隐含条件应用;(2)由已知条件产生数量积的关键是构造数量积，因为数量积的定义式中含有边、角两种关系.例 4 若记 a aa2，求证：(1)(a b)2 a2 2a b b2;(2)(a b)(a b) a2 b2.以此作为今后求模的基础。围绕向量的数量积的定义，可

10、开发出解决几何问题中有用的知识：垂直的判断，夹角的计算和线段长度的计算。根据教学实际，有的数学知识可提出问题让学生解决，并总结、概括出一般的结论或规律，但有些知识学生听讲时，理解起来都比较困难，就需要老师的讲解，此时恰当的处理方式是:先让学生学会，再说明道理。这里，两个向量垂直的判断和夹角的计算,可通过让学生自己做题后总结出来；而计算模则需要老师讲解并a2 a a由 a b la lb cos|a| a cos0 |a|a| TO2.接着演示例题并练习。例2已知|a|2,|b| 3,且a, b夹角是60，求a (a b);|a牛小结与反思:以问题的形式，来反馈一节课的重点是否突出，难点是否突破

11、。问题一：关于向量的数量积的概念包括哪些主要内容？如何引入的?问题二：说出向量数量积的几何意义及运算律。问题三：用向量的数量积可解决几何中的哪三大问题？如何解决?数量积的概念包括两个非零向量的夹角的定义和范围、数量积的定义。向量数量积的几何意义是：a b是向量a的模与向量b在向量a方向上的投影的乘积；运算律有三条：用向量的数量积可解决几何中三大问题：垂直的判断、夹角的计算和求线段长度。a b a b 0 ；cosa bb板书设计：整个板面分成三列，把重点知识数量积的定义放在中间显著位 置。由其衍生出来的几何意义、运算律放在其下面，再把后面的三大问题 放在中间一列的中间位置；左边一列，是两个向量夹角的相关概念；右列 集中放例题。教学记：本节课的设计注重教学目标的明确；注重根据学生的认知规律而 科学地进行知识序列的呈现；注重调动学生参与教学活动；注重课堂效果 的实效性。高中数学教学应体现知识的来龙去脉，创设问题情景，建立数 学模型，让学生经历数学知识的形成与应用，可以更好的理解数学概念、 结论的形成过程，体会蕴含在其中的思想方法，增强学好数学的愿望和信 心。对于抽象数学概念的教学，要关注概念的实际背景与形成过程，帮助 学生克服机械记忆概念的学习方式。教师是学生学习的引导者、组织者,