动态几何之其他存在性问题

1、动态几何之其他存在性问题一、选择题二、填空题1.（2012浙江义乌4分）如图，已知点 A （ 0，2 ）、B （，2）、C （0, 4 ），过点C向右作平行于当AB为梯形的底时，点 P的横坐标是 当AB为梯形的腰时，点 P的横坐标是x轴的射线，点P是射线上的动点，连接AP ,以AP为边在其左侧作等边 APQ ,连接PB、BA .若 四边形ABPQ为梯形，则：（1）（2）如图2,当AB为梯形的腰时，CP I x轴，.四边形当AB为梯形的腰时，三、解答题1.（ 2013年浙江温州(2)AQ II BP, ABPC是平行四边形。 点 P的横坐标是：。 Q 在 y 轴上。 BP I y 轴。CP=AB

2、=。14分）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴，y轴分别交于点 A已知 PAQ是以P为顶点的倍边三角形，由图可知，PA=2PQ ,（6 , 0）, B （ 0 , 8）,点C的坐标为（0, m）,过点C作CE丄AB于点E，点D为x轴上一动点, 连结CD , DE，以CD , DE为边作 CDEF。当0< m <8时，求CE的长（用含 m的代数式表示）;当m =3时，是否存在点 D，使 CDEF的顶点F恰好落在y轴上？若存在，求岀点D的若不存在，请说明理由；点D在整个运动过程中，若存在唯一的位置，使得（1）（2）坐标；CDEF为矩形，请求岀所有满足条件（3） 的m的值。（3）取

3、CE的中点P,过点P作PG丄y轴于点 G , 则。），2时（如图 <8m0<当当mv 04时，分两种情况：i )当点 E , AOBCOA 易证）,与点A重合时（如图,即。解得。ii）当点E与点A重合时（如图 5）,2.（2013年江苏常州于A，与 y轴交于点 C,点B的坐标为（a, 0），（其中a> 0），直线丨过动点 M （ 0，m） （ 0 v m v2），且与x轴平行，并与直线 AC、BC分别相交于点 D、E，P点在y轴上（P点异于C点） 满足PE=CE，直线PD与x轴交于点（1）写岀A、C两点的坐标；（2）当0V m v 1时，若 PAQ是以 称 HNK为以H为顶点

4、的倍边三角形）（3）当1 v m v 2时，是否存在实数 数式表示）；若不能，请说明理由.10分）在平面直角坐标系 xOy中，一次函数y=2x+2的图象与x轴交Q，连接PA .P为顶点的倍边三角形（注：若HNK满足HN=2HK，则，求岀m的值；m，使CD?AQ=PQ?DE ?若能，求岀 m的值（用含a的代，即，整理得：。解得：m= (> 1，不合题意，舍去)或m=。二 m=。当1< mv 2时，若a> 1，则存在实数，使 CD?AQ=PQ?DE ；若0v a< 1，贝U m不存在。【考点】 新定义，一次函数综合题，单动点问题，待定系数法的应用，直线上点的坐标与方程的 关

5、系，线段垂直平分线的性质， 勾股定理，相似三角形的判定和性质，解方程，分类思想的应 用。【分析】( 1 )利用一次函数图象上点的坐标特征求解；(2) 如图1所示，解题关键是求岀点P、点Q的坐标，然后利用 PA=2PQ，列方程求解。(3) 如图2所示，利用相似三角形，将已知的比例式转化为：，据此列方程求岀 m的值。3. (2013 年贵州六盘水 16 分)已知在 Rt OAB 中，/ OAB=90 °，/ BOA=30 ° , 0A=，若 以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 将Rt OAB沿OB折叠后，点 A落在第一象限内的点 C处.(1 )求

6、经过点 O， C， A 三点的抛物线的解析式.的坐标.D交点OB)求抛物线的对称轴与线段2 (.(3)线段OB与抛物线交与点 E，点P为线段OE上一动点(点 P不与点 点作y轴的平行线，交抛物线于点 M,问：在线段 OE上是否存在这样的点 若存在，请求岀此时点 P 的坐标；若不存在，请说明理由.点 B 在第一象限内，0,点E重合)，过PP,使得 PD=CM ?图象经过C (, 3)、A (, 0)两点，,解得。此抛物线的函数关系式为： O【考点】 二次函数综合题，折叠问题，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，待定系数法的 应用，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，折叠对称的性质。4.

7、 ( 2013年四川达州12分)如图，在直角体系中，直线 AB交x轴于点A ( 5, 0),交y轴于 点B, AO是O M的直径，其半圆交 AB于点C,且AC=3。取BO的中点D,连接CD、MD和 OC。(1)求证：CD是O M的切线；(2 )二次函数的图象经过点D、M、A，其对称轴上有一动点 P,连接PD、卩皿，求 PDM的周长最小时点( 3)在( 2)点 Q 的坐标；P 的坐标；的条件下，当 PDM的周长最小时，抛物线上是否存在点 若不存在，请说明理由。Q,使？若存在，求岀1)证明：连接 CM ，【答案】 解：OO / OCB=90 ° 直径，/ 0A 为O MOCA=90 &#

8、176;OB 中点， O Z MOCMC ,在O 3)存在。(，(5,.二次函数的图像过二次函数解析式为。又Q点在抛物线上，且的坐标为(， )，或(， / MC0=M0 -=，)， PD )知( 0， ) 又由 设二次函数解析式为，/ DC=D0DC0= / D 为 上， DC是O又点 C(2。=±.由，得，解得 yQ 0)，A(0M ,)、 。=a 解得)，0 ( D又该图象过点./。/ D0C。M 的切线。 My= 士。 Q当y=时，解得 )，或(，)。x=或x=; Q当y=时，,解得x= O Q.点Q5.( 2013 年四川德阳 14 分) 如图，在平面直角坐标系中有一矩形 A

9、BC0 ( 0 为原点)，点 A、C分别在x轴、y轴上，且C点坐标为（0，6），将 BCD沿BD折叠（D点在OC边上），使C点 落在DA边的E点上，并将 BAE沿BE折叠，恰好使点 A落在BD边的F点上.（ 1 ）求 BC 的长，并求折痕 BD 所在直线的函数解析式；（2）过点F作FG丄x轴，垂足为 G，FG的中点为H，若抛物线经过 B,H, D三点，求抛物线解 析式；（3 ）点P是矩形内部的点，且点 卩在（2）中的抛物线上运动（不含 B, D点），过点P作PN丄 BC,分别交BC和BD于点N, M，是否存在这样的点 P,使如果存在，求岀点 P的坐标；如果 不存在，请说明理由.（2）在 Rt

10、FGE 中，/ FEG=60 ° , FE=AE .由（1）易得：OE=2 , FE=AE=2。 FG=3 ， GE= 。 OG= 。 / H 是 FG 的中点， H （,）。抛物线经过 B、H、D三点，解得。抛物线解析式为。2+bx - 2 （a工0） 与 x=如图，已知抛物线 yax轴交于A、B两点，与y轴交于146. （2013年四 川自贡分）C点，直线BD交抛物线于点 D，并且D （2, 3） , tan/ DBA=.（ 1 ）求抛物线的解析式；B、M、C、A ，求四边形 BMCAy 轴，在这条直线上是 求岀圆心Q的坐标；若（ 2）已知点 M 为抛物线上一动点，且在第三象限，

11、顺次连接点 面积的最大值；（3）在（ 2）中四边形 BMCA 面积最大的条件下，过点 M 作直线平行于 否存在一个以 Q 点为圆心， OQ 为半径且与直线 AC 相切的圆？若存在， 不存在，请说明理 由【答案】解：（1）如答图1,过点D作DE丄x轴于点E，则DE=3 , OE=2。BE=6。 OB=BE - OE=4。2+bx - 2 （a工 0） 上,抛物线的解析式为: （ 2）在抛物线中，令 x=0，得 y= - 2， B （- 4， 0 ）。（2，3）在抛物线 y=ax 点 B （- 4，0）、D 二，解得。 C（0，- 2） A （ 1， 0 ）。 （m< 0， nv 0）。令

12、y=0，得 x= - 4 或 1，设点 M 坐标为（ m， n）如答图1,过点 M作MF丄x轴于点F,贝y MF= - n，OF= - m，BF=4+m。点M （m, n）在抛物线上，.，代入上式得:9。当m= - 2时，四边形 BMCA面积有最大值，最大值为存在一个以 Q点为圆心，0Q为半径且与直线 AC相切的圆，点 Q的坐标为（-2，4）或（- 2，- 1）。锐角三角函数定义， 由实际问题列函【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，数关系式，二次函数最值，勾股定理，相似三角形的判定和性质，圆的切线性质。【分析】(1)如答图1所示，利用已知条件求岀点B的坐标，然后用待定系数法求岀

13、抛物线的解析式。(2) 如答图1所示，首先求岀四边形 BMCA面积的表达式，然后利用二次函数的性质求岀其最 大值。(3) 如答图2所示，首先求岀直线 AC与直线x=2的交点F的坐标，从而确定了 Rt AGF的各个边长；然后证明 Rt AGF s Rt QEF，利用相似线段比例关系列岀方程，求岀点Q的坐标。7. (2013福建龙岩13分)如图，将边长为4的等边三角形 AOB放置于平面直角坐标系 xoy中， F是AB边上的动点(不与端点 A、B重合)，过点F的反比例函数(k>0, x>0)与 OA边交 于点E,过点F作FC丄x轴于点C,连结EF、OF.OCFA轴的位置关系，并说明理由；

14、y长为半径的圆与 EA1)在(2(.EF丄AE ?若存在，请求岀 BF : FA的值；若不存在，请说明E)的条件下，试判断以点 边上是否存在点 F,使得(1 )若S=，求反比例函数的解析式；为圆心，(3) AB 理由.EA=4 - 2, EG=。EA < EG。 OE=2 ,/4 - 2<,y轴相离。以E为圆心，EA垂为半径的圆与【考点】反比例函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，直线和圆的位置关系，等边三角形的性质，解一元二次方程。【分析】(1)设F (x, y)，得到OC=x与CF=y，表示岀三角形 OCF的面积，求岀xy的值，即 为k的

15、值，进而确定岀反比例解析式。(2) 过E作EH垂直于x轴，EG垂直于y轴，设OH为m,利用等边三角形的性质及锐角三角 函数定义表示岀 EH与OE，进而表示岀 E的坐标，代入反比例解析式中求岀 m的值，确定岀 EG , OE, EH的长，根据 EA与EG的大小关系即可对于圆 E与y轴的位置关系作岀判断。FCE与F坐x的(3) 过E作EH垂直于x轴，设FB=x，利用等边三角形的性质及锐角三角函数定义表示岀 与BC,进而表示岀 AF与OC,表示岀AE与OE的长，得岀 OE与EH的长，表示岀 标，根据E与F都在反比例图象上，得到横纵坐标乘积相等列岀方程，求岀方程的解得到 值，即可求岀 BF与FA的比值

16、。8. ( 2013年甘肃天水12分)如图1,在平面直角坐标系中，已知 AOB是等边三角形，点 A 的坐标是(0, 4),点B在第一象限，点 P是x轴上的一个动点，连接 AP,并把 AOP绕着点 A按逆时针方向旋转，使边 AO与AB重合，得到 ABD .(1) 求直线AB的解析式；(2) 当点P运动到点(，0)时，求此时 DP的长及点D的坐标；(3) 是否存在点P,使OPD的面积等于？若存在， 请求岀符合条件的点 P的坐标；若不存在， 请说明理由.【答案】 解：(1)如答图1,过点B作BE丄y轴于点E，作BF丄x轴于点F。，二。=BFOE=2由已知得：。)2的坐标是(，B 点.设直线AB的解析

17、式是y=kx+b (k工0),则有，解得。直线AB的解析式是。DAB= / PAO。是等边三角形。(2 ) ABD由AOP旋转得到, ABD r AOP。二 AP=AD，/ / DAP= / BAO=60 °。. ADPH，延长 EB交DH于点G,贝U BG丄DH。如答图 2，过点 D 作 DH 丄 x 轴于点在 Rt BDG 中，/ BGD=90 °，/ DBG=60 °， BG=BD?cos60 ° = DG=BD?sin60 ° =。 OH=EG= ， DH= 。点 D 的坐标为（， ）。 DH=t - 2。 OPD的面积等于， ，解得（

18、舍去） 。0）。点P的坐标为（，0） 4综上所述，点 P的坐标分别为 P （，0）、P （，0）、P （, 0）、 321P （， 0）。49.（2013 年湖南怀化 10分） 如图，矩形 ABCD 中， AB=12cm ， AD=16cm ，动点 E、F 分别从 A 点、 C 点同时出发，均以 2cm/s 的速度分别沿 AD 向 D 点和沿 CB 向 B 点运动。（1）经过几秒首次可使 EF丄AC ?（2） 若EF丄AC,在线段AC上，是否存在一点 P,使？若存在，请说明 P点的位置，并予以 证明；若不存在，请说明理由。（2）过点E作EP丄AD交AC于点P,贝y P就是所求的点。证明如下：0

19、, =90 由作法，/ AE卩0。.仏 AEPAOE。 =90，即/丄又 EFACAOE 二，即。AC与EF相交于点 O ,过点E作EF丄BC交BC AO=OC , OE=OF，从而求得 OC=10cm，在 Rt 中 , 由勾股定理得，即，解出即可。双动点问题，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质。 【考点】.【分析】（1）设经过x秒首次可使EF丄AC , 于点H，由AAS证明 AOE COF，得到 OFC中，由勾股定理得。因此，在 Rt EFN（2）证明 AEPsA AOE即可得岀结论。当点 P 移动到点 D 时，求出此时 t 的值；当t为何值时， PQB为直

20、角三角形；已知过O、P、Q三点的抛物线解析式为（t> 0）.问是否存在某一时刻 t，将 PQB绕某点 180°后，三个对应顶点恰好都落在上述抛物线上？若存在，求出t 的值；若不存在，请说10. （ 2013年浙江衢州12分）在平面直角坐标系 x、y中，过原点O及点A （ 0, 2）、C （6, 0） 作矩形OABC ,Z AOC的平分线交AB于点D .点P从点O岀发，以每秒个单位长度的速度沿 射线OD方向移动；同时点 Q从点O岀发，以每秒2个单位长度的速度沿 x轴正方向移动.设 移动时间为 t 秒.（1） （ 2） （ 3）旋转 明理由.222,即：PB,则有 PQBQ+ =若

21、/ PQB=90 ° 2 - 8t=0 ,解得：t=0 （舍去），t=2 整理得：4t, t=2。21222,即：,+QB =PBQ 若/ =90 °，则有 PBPQ2- 10t+20=0 整理得：t,解得：。当t=2或或时， PQB为直角三角形。11.（2013 年山东青岛 12 分）已知，如图， ABCD 中，AD=3cm , CD=1cm，/ B=45 °，点 P从点A岀发，沿AD方向匀速运动，速度为3cm/s;点Q从点C岀发，沿CD方向匀速运动，速度为1cm/s，连接并延长 QP交BA的延长线于点 M ,过M作MN丄BC，垂足是N,设运动时 间为t (s)

22、 (0<t< 1 )，解答下列问题：(1 )当t为何值时，四边形 AQDM是平行四边形？2)，求y与t之间的函数关系式； AN PM的面积为y (cm )设四边形(2 ( 3)是否存在某一时 刻t,使四边形 ANPM的面积是ABCD面积的一半，若存在，求岀相应的 t值，若不存在，说明 理由(4) 连接AC，是否存在某一时刻 t，使NP与AC的交点把线段 AC分成的两部分？若存在， 求岀相应的t值，若不存在，说明理由又：MN 丄 BC，二 MN 丄 AD o0V t < 1) oAC分成的两部分。 y与t之间的函数关系式为( 当或时，NP与AC的交点把线段12. ( 2013年

23、江苏苏州9分)如图，E，F，G分别从A，B，C三点同时岀发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，点为1cm/s，点F的运动速度为 3cm/s，点G的运动速度为1.5cm /s.当点F到达点C (即点F 与点 设点点0为矩形ABCD的对称中心，AB = 10cm , BC = 12cm .点E的运动速度(1)(2)(3)在运动过程中， EBF关于直线EF的对称图形是 EB'F， s).s时，四边形 EBFB'为正方形；F，C，G为顶点的三角形相似，求t的值；C重合)时，三个点随之停止运动.E，F，G运动的时间为t (单位： 当t =若以点E，B，F为顶点的三角形与以点 是否存在实数t

24、，使得点B'与点O重合？若存在，求岀 t的值；若不存在，请说明理由.【答案】解：(1)2.5。(2)由题意得 AE=t，BF=3t，CG=1.5to/ AB = 10，BC = 12 ,.。 点F在BC上运动，即。 当 EBFsA FCG 时，解得。 当 EBF sA GCF时，化简，得。解得(不合题意，舍去)。,或符合题意。(2) 分 EBFFCG 和 EBF GCF 讨论即可。(3) 用反证法证明，假设存在实数t,使得点B'与点O重合，求岀此时 AE和BF的值，与 已知的速度得到的比值比较得岀错误的结论。X轴交于点A (- 2,0) ,B分)(13. 2013年江苏盐城12

25、如图，若二次函数的图象与(3,0)两Co点，点A关于正比例函数的图象的对称点为(1 )求b、c的值；2 (.交正比例函数的图象于点 E，( 3)如图，过点 B D运动，在所求的二次函数的图象上；C)证明：点X轴交正比例函数的图象于点D，连结AC , 作DB丄连结AD、CD。如果动点P从点A沿线段AD方向以每秒2个单位的速度向点 同时动点Q从点D沿线段DC方向以每秒1个单位的速度向点 C运动，当其中一个到达终点时，另一个随之停止运动，连结/ APQ，同时QE平分/PQ、QE、PE,设运动时间为t秒，是否存在某一时刻，使 PQC,若存在，求岀t的值；若不存在，请说明理由。PE平分X轴交于点A（-

26、2,0）,1） 解得。二次函数的图象与B（ 3,0）两点，【答案】解：（）得二次函数解析式为。2）证明：由（轴于点H，则在正比例函数的图象上取一点（3,0），x轴交的图象于点 D，B=。把x=3代入得，即BDACK 中，在 RtAC，/ OE垂直平分F,作FH丄x(3)v DB 丄，QE平分/ PQC假设存在某一时刻，使 则。PE平分/ APQ ,同时又，二。ECQ O ,即。 又， PAE整理，得，解得（不合题意，舍去） 。QE平分/ PQC 存在时刻，使 PE平分/ APQ,同时 二次函数综合题，轴对称和双动点问题，曲线上点的坐标与方程的关系，【考点】角函数定义，特殊角的三角函数值，勾股定

27、理，多边形内角和定理， 和性质，解一元二 次方程。c的值。轴对称的性质, 相似三角形的判定b、（【分析】锐角三A2,0） ,B （ C的坐标，代入验证即可。 岀时间tPAE （ 3）通过证明 轴相，与 函数的图象与x轴相交于点（-3 ,）、 一次函数=-kk、的图象过点交轴于点3,0）两点坐标代入，即可求岀（2）利用轴对称和锐角三角函数求岀点y （- B1，0） 0A分）（14. 2013年海南省14如图，二次 .QxP工0（ 4kxyP ），（交于点 C03，点是该图象上的动点；）求该二次函数的解析式；1 （.(1 )将ECQ，求（2、当点P的坐标为（-4, m）时，求证：/ OPC= /

28、AQC ;（3、点M, N分别在线段 AQ、CQ上，点M以每秒3个单位长度的速度从点 A向点Q运动, 同时，点N以每秒1个单位长度的速度从点 C向点Q运动，当点 M, N中有一点到达 Q点时, 两点同时停止运动，设运动时间为 t秒.连接AN，当 AMN的面积最大时， 求t的值； 直线PQ能否垂直平分线段 MN ?若能，请求岀此时点P的坐标；若不能，请说明你的理由. PC=OQ。又 PC II x轴，.四边形 POQC是平行四边形。/ OPC= / AQC。假设直线 PQ能够垂直平分线段 MN，则有QM=QN，且PQ丄MN，PQ平分/ AQC。 由 QM=QN，得：7 - 3t=5 - t,解得

29、 t=1。此时点M与点O重合，如答图2所示，设PQ与OC交于点£,由（2）可知，四边形 POQC是平行四边形， OE=CE。点E到CQ的距离小于 CE， 点E到CQ的距离小于OE。而OE丄x轴，2+bx+c作抛物线y=ax、12分）如图，四边形 ABCD是平行四边形，过点 四川资阳（a工0），与x轴的另一交点为0）、 （0， 4）.（1）求抛物线的解析式；（2）已知抛物线的对称轴E ,连结CE，点A、AC、D201315.（年B、D的坐标分别为（-2, 0）、（ 3 ,l交x轴于点F，交线段CD于点BC垂直平分时，求点的动点，连结 MN，当线段MN恰好被（3） 在满足（2）的条件下，

30、过点 M作一条直线，使之将四边形 部分，求岀该直线的解析式.K，点M、N分别是直线丨和x轴上N的坐标；AECD的面积分为3: 4的两【答案】 解：（1 ）点A、B、D的坐标分别为（-2，0）、（ 3，是平行四边形，。）4，5 的坐标为（C。点=5CD=AB .2+bx+c （a 工 0）过点 A 抛物线 y=ax、C、D，解得。抛物线的解析式为。 CQ= - 5 （- a） =5a- 10。116. （2013 福建龙岩 14 分）如图，0 )、( 0, 4),且四边形 ABCD四边形ABCD是菱形，对角线A、D同A时，M、N同时停止运动.设运动时AC与BD交于点O,且AC=80，BD=60

31、.动点M、N分别以每秒1个单位的速度从点 时岀发，分别沿 A f O f D和D f A运动，当点N到达点t秒.求菱形ABCD的周长；记 DMN的面积为S,求S关于t的解析式，并求当t=30秒时，在线段 OD的垂直平分线上是否存在点间为（1）（2）（3）S的最大值；P,使得/ DPO= / DON ?若存在,这样的点P有几个？并求岀点 P到线段OD的距离；若不存在，请说明理由.【答案】解：（1）在菱形ABCD中，/ AC 丄 BD，AC=80，BD=60，二。菱形 ABCD的周长为200。（3）存在2个点P,使得/ DPO= / DON。.，于点F作NF丄OD如答图3所示，过点 N=24,/则

32、NF=ND?sinODA=30 X。=30 XZ ODA=18DF=ND?cos 。.。.OF=12ON 丄作 GH 过点 NF 于点 G, G 作/ NOD 的平分 线交，于点 H。=GH 贝y FG=GH+ON?=NFS+SOF?FG= SOF?ognonfogf。?FG （OF+ON ） 。二。，=DON Z FOG Z DPO=，由对称性可知：Z的交点为中垂线与设ODODKDPK Z =二。=PK .根据菱形的对称性可知，在线段OD的下方存在与点 P关于OD轴对称的点P'。存在两个点 P到OD的距离都是。设 OI=R , EI=x，贝U222=15 +x 在 Rt OEI 中，

33、有 R222 购（24 - x）在 Rt NIH中，有 R =3+由、可得：。 PE=P l+IE=。根据对称性可得，在BD下方还存在一个点 P'也满足条件。存在两个点 P,到OD的距离都是。17. (2013年青海西宁12分)如图，正方形 AOCB在平面直角坐标系中，点O为原点，点在反比例函数(>)图象上， BOC的面积为.(1) 求反比例函数的关系式；(2) 若动点E从A开始沿AB向B以每秒1个单位的速度运动，同时动点F从B开始沿 向C以每秒个单位的速度运动，当其中一个动点到达端点时，另一个动点随之停止运动若运动时间用t表示， BEF的面积用S表示，求岀 何值时， BEF的面

34、积最大？(3) 当运动时间为秒时， 的坐标；若不存在，S关于t的函数关系式，并求岀当运动时间BC在坐标轴上是否存在点 请说明理由.P,使 PEF的周长最小？若存在， 请求岀点【答案】解：(1) 设点B坐标为(， T,.,解得。 又点B在第一象限，.点 将点B (4, 4)代入得， 反比例函数解析式为。四边形),AOCB为正方形B坐标为(4, 4)o-AB=BC=OC=OA O分F点关于轴的对称点 1118.( 2013年内蒙古呼和浩特0)和点 C (0,- 8).)求该二次函数的解析式；1(2)设该二次函数图象的顶点为 的坐标为 _ ; (3)根据轴对称的原理,F和E点关于轴的对称点 E两种情

35、况讨论。12分)如图，已知二次函数的图象经过点A ( 6, 0)、B (-(M,若点K为x轴上的动点，当 KCM的周长最小时，点2,(3)连接AC，有两动点P、Q同时从点O岀发，其中点P以每秒3个单位长度的速度沿折线 OAC按Of A f C的路线运动，点 Q以每秒8个单位长度的速度沿折线OCA按O C f A的路线运动，当P、Q两点相遇时，它们都停止运动，设P、Q同时从点O岀发t秒时， OPQ的面积为S. 请问P、Q两点在运动过程中，是否存在PQ/ OC ?若存在，请求岀此时 t的值；若不存在，请说明理由； 请求岀S关于t的函数关系式，并写岀自变量t的取值范围； 设S是中函数S的最大值，直接

36、写岀 S的值.00/ PQ / OC,.A APQ sA AOC o AP=6 3t, AQ=18 8t, ,解得 t= o/1= > 2 不满足 1< t < 2,.不存在 PQ/ OC O分三种情况讨论如下，情况1 :当0W t< 1时，如图1 ,2。 t=12tOQ= X 3t X 8OPS=?情况 2:当 1< t< 2 时，如图 2 , 作QE丄OA，垂足为S=OP?EQ= X 3tXo如图3,F,贝U OF=O情况3:当2< t<时，作OF丄AC ,垂足为S=QP?OF= X( 24 11t)Xo综上所述，S关于t的函数关系式答辅数学

37、丁作宰o。二次函数综合题，单双动点问题，待定系数法的应用，曲线【考点】上点的坐标与方程 的关系，轴对称的应用（最短线路问题），平行的判定，由实际问题列函数关系式，一次函数和二次函数的性质，分类思想、数形结合思想和反证法的应用。.【分析】（1）根据已知的与x轴的两个交点坐标和经过的一点利用交点式求二次函数的解析式即 可。（2） 根据（1）求得的函数的解析式确定顶点坐标，然后求得点C关于x 从而求得直线 C M的解析式，求得与 x轴的交点坐标即可：点 M的坐标为（2,0点C的坐标为（0,- 8）, 点C关于x轴对称的点 C的坐标为（直线C M的解析式为：y=x+8 O令 y=0 得 x+8=0 ,

38、解得：x= O点K的坐标为（，0） O19. （ 2013年山东潍坊13分）如图，抛物线关于直线对称，与坐标轴交于AB=4，点D在抛物线上，（1）（2）（3）问在直线是一次函数的图象，点O是坐标原点.轴的对称点的坐标 C',0,8)oA、B、C三点，且求抛物线的解析式；若直线平分四边形把抛物线向左平移y轴正半轴上是否存在一定点 若存在，求岀P点坐标；若不存在，请说明理由OBDC的面积，求 k的值.1个单位，再向下平移 2个单位，所得抛物线与直线交于M、N两点,P,使得不论k取何值，直线 PM与PN总是关于y轴对称？（3 ）,把抛物线向左平移 1个单位，再向下平移 2个单位，所得抛物线的

39、解析式为。假设在y轴上存在一点 P（0, t）, t>0,使直线PM与PN关于y轴对称，过点 M、N分别向 作垂线MM、NN垂足分别为 M、N ,11110).20. （2013年广西桂林12分）已知抛物线的顶点为（0, 4）且与x轴交于（-2, 0） , （2,（1）直接写岀抛物线解析式；（2） 如图，将抛物线向右平移k个单位，设平移后抛物线的顶点为D, 与 x轴的交点为 A、与原抛物线的交点为 P. 当直线OD与以AB为直径的圆相切于 E时，求此时k的值；k值；若不 是否存在这样的 k值，使得点 O、P、D三点恰好在同一条直线上？若存在，求岀 存在，请说明理由.o =m，解得=4mk

40、）代入，得4, k （ D，把mx=y的解析式为 OD设直线直线OD的解析式为y=x o22+4=?，解得k= 士（负值舍去）。kx （，-若点 D 三点在同一条直线上。21. （ 2013年湖南益阳12分）如图1,在 ABC交 AC 于 E （1）（ 2）144°（ 3）Pk上，得-+4）在直线 y=.当k=时，0、P、中，/ A=36 ° , AB=AC，/ ABC 的平分线 BE求证： AE=BC ；如图（2）,过点E作EF II BC交AB于F,）得到 AE ' F',连结 CE ' , BF '，求证：CE' =BF 

41、9;在（2 ）的旋转过程中是否存在 CE'I AB ?若存在，求岀相应的旋转角a;若不存在，请将 AEF绕点A逆时针旋转角a（ 0°<a< AE=BE ， BE=BC 。 AE=BC 。（2）证明： AC=AB 且 EF II BC， 由旋转的性质可知：Z E AC= Z F在 CAE '和 BAF 中， CAE '幻 BAF '。二 CE' =BF '。22.（2013年甘肃天水12分）如图1,在平面直角坐标系中，已知的坐标是（0, 4）,点B在第一象限，点 P是x轴上的一个动点，连接 A 按逆时针方向旋转，使边 A0 与

42、 AB 重合，得到 ABD .（ 1 ）求直线 AB 的解析式；（2） 当点P运动到点（，0）时，求此时 DP的长及点D的坐标；（3） 是否存在点P,使 OPD的面积等于？若存在，请求岀符合条件的点 请说明理由. AE=AF ； AB，AE =AFA0B 是等边三角形，点 AAP,并把 AOP绕着点P 的坐标； 若不存在，说明理由【答案】解：（1）证明： AB=BC，/ A=36 °，AZ ABC= / C=72 °。 又 BE 平分/ ABC ,/ ABE= / CBE=36 °。./ ABE= / A，/ BEC= / C。/ BEC=180 ° -

43、Z C-Z CBE=72 °5BG=BD?cos60 ° =DG=BD?sin60 ° 0H=EG= ， DH= 。点 D 的坐标为（， ）OPD的面积等于，-,解得。4，BD=0P= t，DG=t，点P的坐标为（，0 ），点P的坐标为（，0 ）。 32当t W时，如答图 DH=t - 2。 OPD的面积等于， ，解得（舍去） 。， 0）、 P（， 0）、312P0）。点P的坐标为（，0 ）。 4综上所述，点 P的坐标分别为 P （, 0）、P（,0）。 423. （2012 江苏南通 12 分）如图，在 ABC 中，AB = AC = 10cm , BC = 1

44、2cm，点 D 是BC边的中点.点 P从点B岀发，以acm/s（a>0）的速度沿BA匀速向点A运动；点Q同时以 1cm/s 的速度从点 D 岀发，沿 DB 匀速向点 B 运动， 其中一个动点到达端点时， 另一个动点也随 之停止运动，设它们运动的时间为 ts.（1）若 a= 2 , BPQsA bDA，求 t 的值；（2）设点 M 在 AC 上，四边形 PQCM 为平行四边形.若a=，求PQ的长；.2是否存在实数 a,使得点P在/ ACB的平分线上？若存在，请求 岀a的值；若不存在，请说明理由.不存在.理由如下：四边形 PQCM 为平行四边形， PM / CQ, PQ II CM , PQ

45、=CM。=/ =CQCM。四边形 PQCM是菱形。 PQ. PM=6+t , =AB =10 QDBDCQatPB / = ,化简得：at o =t把代入得， PB : AB=CM : AC。PQ。， PB= / AB=AC , PBCM , PCMPCQ= /若点 P 在/ ACB 的平分线上，则/PCM= / CPM。/ CPMPCQ / PM II CQ，/PM= CQ。PB = t。，且 at at=6+PBAPCQt=6+ ,=+ =30t 。+56ABAPBCPMCQPM /,：=:不存在实数 a,使得点P在/ ACB的平分线上。矩形OABC如图所示放置，点 A在x轴上,24. (

46、 2012福建南平12分)在平面直角坐标系中，点B的坐标为(m , 1) ( m> 0),将此矩形绕 O点逆时针旋转90 °，得到矩形 OA B C.(1) 写岀点A、A 、C'的坐标；b、cyA 、C的抛物线解析式为 =ax可用含m的式子(2)2+bx+c，求此抛物线的解析式；(a、B关于点O的对称点D是否可能落在(2 )中的抛物线上?设过点A、表示)(3) 试探究：当 m的值改变时，点【答案】 解：(1 )四边形 ABCD(0 ,1 )o 矩形OA ' B ' C '由矩形 OABC+ bx + axc,，解得。2+( m 1)直角坐标系若能

47、，求岀此时 m的值.是矩形，点 B的坐标为(m, 1) ( m > 0), A ( m, 0), C旋转 90 ° 而成， A ' ( 0, m), C '( 1 , 0)o (2)设过 2 A 、C 的抛物线解析式为 y=点 A、 A ( m, 0), A ' ( 0, m), C' ( 1, 0),x= x + m。 此抛物线的解析式为： y25. (2012四川广安10分)如图，在平面 xOy中，AB丄x轴于点B , AB=3 , tan/ AOB=，将 OAB绕着原点 O逆时针旋转90°,得到 OAB ;再将 OAB绕着线段 O

48、B的中点旋转180 °，得到111112+bx+c (a工0)经过 点=yaxB、B、A . OAB，抛物线2121 (1)求抛物线的解析式.(2) 在第三象限内，抛物线上的点P在什么位置时， PBB的面积最大？求岀这时点P的坐标.(3) 在第三象限内，抛物线上是否存在点Q，使点Q到线段BB的距离为？若存在，求岀点Q的坐标；1若不存在，请说明理由.【答案】 解：(1 ) AB 丄 x 轴，AB=3 , tan/ AOB= , OB=4。- B (- 4, 0), B ( 0, - 4) , A (3, 0)。 212+bx+c ( a工 0)经过点 B= 抛物线 yax、B、 A,2

49、1A,解得。抛物线的解析式为：。(2)点P是第三象限内抛物线上的一点，.C轴于点x丄PC作P如图，过点.设点P的坐标为(m , n), 则 m < 0, n < 0, o- PC=|n|= -, OC=|m|= - m,BC=OB OC=| - 4| - |m|=4+m。当m= - 2时， PBB的面积最大，这时， 假设在第三象限的抛物线上存在点 Q （X, 作QD丄BB于点D，设Q （X, y）,Q1Q的面积可以表示为：2）可知，此时n=，即点 P （ - 2,）。1 （3）存在。y）,使点Q到线段BB的距离为。100如图，过点 QQBB 由（1 , O OBB 中，在 Rt1

50、,。 3- 1或x= ,解得x= QQ 2o时，y=-时，y= - 4;当x=3当x= - 1qqqqQBB的距离为，这样的点 Q, 使点Q到线段因此，在第三象限内，抛物线上存在点1 ）。3, - 2的坐标是（-1 , - 4）或（-） 三点，01 , 3）、C （、201226.（辽宁营口 14分）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点A ,0）B（0的坐标；求抛物线的解析式和顶点D（1）N 在直线，将抛物线的对称轴绕抛物线的顶点 标；若不存在，请说明理由； MON= 若存在， 形时，Q分别是抛物线和直线上的点，当四边形分两种情况：D顺时针旋转与直线交于点 （2） 求岀点，使得/DN上是否存在

51、点OBPQ点P、 的坐标求岀点如图1 M的坐M是直角梯,=45 ° =75 ° , / BONMONM 当点在射线 ND 上时，v/ 。MOCBON=30 °。 的解析式为。直线的坐标为方程组的解，解方程组/ =60 ° -/ MOB / =MON OM 得,。M 点.点M的坐标为（，）o当点M在射线NF上时，不存在点/ MON=75 °，/ FON=45 ° ,/M 使得/ MON=75 °。FOM= / MON -/ FON=30 °。/ DFE=30 °。./ FOM= / DFE。二 OM II

52、FN。不存在点 M 使得/ MON=75 °。 综上所述，存在点 M，且点M的坐标为（，）o（3）有两种情况：如图，直角梯形 OBPQ中，PQ/ OB , / OBP=90 °。/ OBP= / AOB=90 ° , PB II OA。点P、B的纵坐标相同都是 3。点P在抛物线上，把3代入抛物线的解析式， 解得=-2,= 0 （舍去）。由PQ II OB得到点P、Q的横坐标相同，都等于一 把=-2代入-得2。所以Q点的坐标为（一2, 2）o ,2,。BPQ=90 ° PB/ OQ，/如图，在直角梯形/ D D重合。在抛物线上，.点 P、PB / OQ,/

53、 EFD。二 EF=，丄轴于 HQH 作=。OHFQ。 坐标Q点在-上，把=-代入-得。上所述，符合条件的点 Q有两个，坐标分别为： 标与方程的关系，二次函数的性质，旋转的性质，OBPQ 中， OQ。3） , DB II- （1 , 4）, B（0 , 点 P。+EF=5ED=4。. OF=OE=45 ° EDF= =OF / QOF=QFO=45 ° , OQ= Q 点的横Q 点的坐标为（-,）。 ）, （-, ）。2, 2 综（-二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐【考点】 锐角三角函数定义，特殊角的三角函C）用ND在数值，直角梯形的判定。的坐标代入即可求得抛物线的

54、解析式，化为顶点式即可求得顶、 待定系数法，将 A、B【分析】 射线（1点坐标。 上两种情况讨论即可。NF在射线M上和点27.M ）分点2 （3）分 PQ II OB，/（2012贵州六盘水16分）OBP=90 °和PB II OQ,/ BPQ=90 °两种情况讨论即可。 如图 1,已知 ABC 中，AB=10cm , AC=8cm , BC=6cm .如果点B岀发沿BA方向点A匀速运动，同时点 Q由A岀发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为2cm/s .连接PQ,设运动的时间为 t (单位：S)(0 < t< 4).解答下列问题:(1 )当t为何值时，PQ II BC .2 )设AQP面积为S (单位：cm ( 3)是 PQ恰好把 ABC的面积平分？若存在，求岀此时t的值；若不存在，2),当t为何值时，S取得最大值，并求岀最大值. 否存在某时刻t,使线段 请说明理由.沿AP翻折，得到四边形 AQPQ '.那么是否存在某时刻t,使四边形求岀此时菱形的面积;若不存在，请说明理由.(4)如图2,把 AQP AQPQ 为菱形？若存在，【答案】解： AB=10cm , AC=8cm , BC=6cm ,由勾股定理逆定理得ABC为直角三角形，/ C为直角。(1) BP=2t，贝U AP=10 - 2t.若PQ II BC ,则，即，解得。当