二次微分方程的通解

1、第六节二阶常系数齐次线性微分方程教学目的：使学生掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，了解二阶常系数非齐次线性微分方程的解法教学重点：二阶常系数齐次线性微分方程的解法 教学过程：一、二阶常系数齐次线性微分方程 二阶常系数齐次线性微分方程方程y py qy 0称为二阶常系数齐次线性微分方程其中P、q均为常数那么y Ciyi C2y2就是它的如果yi、y2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解通解我们看看 能否适当选取r使y满足二阶常系数齐次线性微分方程为此将y erx代入方程y py qy 0由此可见特征方程(r2 pr q)erx 0只要r满足代数方程r2 pr q 0函数 方程r2 p

2、r q 0叫做微分方程yy erx就是微分方程的解py qy 0的特征方程特征方程的两个根ri、r2可用公式r1,2P J P2 4q2求出特征方程的根与通解的关系(1)特征方程有两个不相等的实根ri、r2时函数yi erix、y2 er2x是方程的两个线性无关的解erixer2xe(ri r2)x不是常数这是因为函数yi erix、y2 er2x是方程的解又丿1y2因此方程的通解为y Cierix C2er2x(2)特征方程有两个相等的实根ri r2时 函数yi erix、y? xerix是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关的解这是因为y1eriX是方程的解又(xeriX)p(xeri

3、X) q(xeriX) (2rixri2)er1x p(1 xr1)er1x qxer1xeriX(2rip) xeriX(ri2 pri q)所以y2 xer1x也是方程的解且y2y1xer1xT1x不是常数因此方程的通解为y Ger1x C2xer1xri, 2(3)特征方程有一对共轭复根关的复数形式的解函数y e x函数y1 e( i)x和y2 e( i)x都是方程的解cos X、x siny1e(y2e(i)x e x(cos x isin x)i )x e x(cos x isin x)函数y e( i)x、y e( i)x是微分方程的两个线性无x是微分方程的两个线性无关的实数形式的

4、解而由欧拉公式得y1y212e xcos x e xcos x 才® y2)yiy22ie xsin x e xsin x 牙( y2)故e xcos x、y2 e xsin x也是方程解可以验证y1 e xcos X、y e xsin x是方程的线性无关解因此方程的通解为y e x(Cicos x C2sin x )第一步求二阶常系数齐次线性微分方程y py qy 0的通解的步骤为写出微分方程的特征方程第二步r2 p r q 0求出特征方程的两个根1、r2第三步根据特征方程的两个根的不同情况写出微分方程的通解求微分方程y 2y 3y 0的通解所给微分方程的特征方程为r2 2r 3

5、0 即(r 1)(r 3) 0其根r11 r2 3是两个不相等的实根因此所求通解为y C1e x C2e3x例2求方程y 2y y 0满足初始条件yk 0 4、y |x 0 2的特解解所给方程的特征方程为其根rir2 2r 1 0 即(r 1)2 0r2 I是两个相等的实根因此所给微分方程的通解为y (Ci C2x)e x将条件y|x 0 4代入通解得Ci 4从而y (4 C2x)e x将上式对x求导得xy (C2 4 C2x)e再把条件y |x 0 2代入上式 得C2 2于是所求特解为x (4 2x)e x例3求微分方程y 2y 5y0的通解解所给方程的特征方程为r2 2r 5 0特征方程的

6、根为ri 1 2i r2 1 2i是一对共轭复根因此所求通解为y ex(Cicos2x C2Sin2x)n阶常系数齐次线性微分方程方程y(n) piy(ni)p2 y(n 2)称为n阶常系数齐次线性微分方程pn iy pny 0其中pip2pn i pn都是常数二阶常系数齐次线性微分方程所用的方法以及方程的通解形式可推广到n阶常系数齐次线性微分方程上去引入微分算子 D及微分算子的n次多项式pn I D pnL(D)=D n piDn 1 p2 Dn 2则n阶常系数齐次线性微分方程可记作(Dn piDn 1 P2 Dn 2 注D叫做微分算子D0y y DyPniD pn)y 0 或 L(D)y

7、0D2y yD3y yDny y(n)I zrx I zf、 rx z n n 1L(D)y L(D)e (r pir因此如果r是多项式L(r)的根则p2 rn 2pny e伏是微分方程、rx I z、rx ir pn)eL(r)eL(D) y 0的解n阶常系数齐次线性微分方程的特征方程pn ir pn 0L(r) rn pirn i p2 rn 2称为微分方程L(D) y 0的特征方程特征方程的根与通解中项的对应单实根r对应于一项 Cerx一对单复根r1 2 i对应于两项 e x(C1cos x C2sin x) k重实根r对应于k项erx(C1 C2XCkxk 1)一对k重复根ri 2i

8、对应于2k项eX(Ci C2X例4求方程y2yCkXk 1)cos X ( Dl D2X5y 0的通解Dkxk 1)sin x解这里的特征方程为r4 2r3 5r2 0 即 r2(r2 2r 5) 0它的根是ri r2 0和r3 4 1 2i因此所给微分方程的通解为Xy C1 C2X e (C3cos2x C4sin2x)例5求方程y4y 0的通解 其中 0解这里的特征方程为r44 0它的根为1,2 了尹 i) 3,4J2(1 i)因此所给微分方程的通解为X_xy e眾(Geos厉X C2Sin厉x) e 盪 ©cosx C4sin石x)、二阶常系数非齐次线性微分方程简介二阶常系数非

9、齐次线性微分方程方程y py qy f(x)称为二阶常系数非齐次线性微分方程其中P、q是常数二阶常系数非齐次线性微分方程的通解是对应的齐次方程的通解y Y(x)与非齐次方程本身的一个特解y y*(x)之和y Y(x) y*(x)当f(x)为两种特殊形式时方程的特解的求法方程的特解也应具有这种形式因此设特解形式为一、f(x) Pm(x)e x 型当f(x) P m(x)e x时可以猜想y* Q(x)e x将其代入方程得等式2 PQ (X) (2p)Q(X)(r2(1)如果不是特征方程 式pr qq)Q(x) Pm(x)2 p0的根则q 0要使上式成立 Q(x)应设为m次多项Qm(x) b0Xm

10、b1Xm 1通过比较等式两边同次项系数bm 1X bm可确定bo bibm并得所求特解y* Qm(x)eX(2)如果是特征方程r2 prp q 0但2 p 0要使等式Q (X) (2p)Q(X)( 2q)Q(x) Pm(x)成立Q(x)应设为m 1次多项式Q(x) xQm(x)Qm(x) b0xm b1xm 1通过比较等式两边同次项系数bm 1X bm可确定bo bibm并得所求特解y* xQ m(x)e x(3)如果是特征方程r2pr q 0的二重根则2 p q 0 2 p 0要使等式Q (X) (2p)Q(X)(2 p q)Q(x) Pm(x)成立Q(x)应设为m 2次多项式Q(x) x2

11、Qm(x)Qm(x) b0xm b1xm 1通过比较等式两边同次项系数bm ix bm可确定bo bibm并得所求特解y* x2Qm(x)e x综上所述我们有如下结论如果f(x) Pm(x)e x则二阶常系数非齐次线性微分方程 y py qy f(x)有形如y* xkQm(x)e x的特解 其中Qm(x)是与Pm(X)同次的多项式而k按 不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的的重根依次取为0、1或2例1求微分方程y 2y 3y 3x 1的一个特解解这是二阶常系数非齐次线性微分方程且函数 f(x)是 Pm(x)e X型(其中 Pm(x) 3x 10)与所给方程对应的齐次方程为y 2y

12、3y 0它的特征方程为r2 2r 3 0由于这里0不是特征方程的根所以应设特解为y* b0x b1把它代入所给方程得3b0X 2b0 3b1 3x 1比较两端x同次幕的系数得警 33b0 3 2b0 3b1 12b0 3bi 1由此求得bo 1 b.1于是求得所给方程的一个特解为y* xi例2求微分方程y 5y 6y xe2x的通解解所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程且 f(x)是 Pm(x)e x型(其中 Pm(x) x 2)与所给方程对应的齐次方程为y 5y 6y o它的特征方程为r2 5r 6 o特征方程有两个实根 ri 2 r2 3于是所给方程对应的齐次方程的通解为Y Cie2x

13、C2e3x由于 2是特征方程的单根所以应设方程的特解为y* x(box bi)e2x把它代入所给方程得2b0x 2bo bi x比较两端x同次幕的系数得2bo 12ho bi 02bo 1 2bo bi 0由此求得bo1 bi1于是求得所给方程的一个特解为y* x( ix1)e2x从而所给方程的通解为y C1e2x C2e3x 扣2 2x)e2x提示y* x(box bi)e2x (box2 bix)e2x (box2 bix)e2x (2box bi) (box2 bix) 2e2x(box2 bix)e2x2bo 2(2box bi) 2 (box2 bix) 22e2xy* 5y* 6y

14、* (box2 bix)e2x5(box2 bix)e2x 6(box2 bix)e2x2bo 2(2boxbi) 2(box2bix) 22e2x 5(2boxbi)(box2bix) 2e2x6(box2bix)e2x2bo 4(2box bi) 5(2box bi)e2x 2box 2bo bie2x方程 y py qy eXPi(x)cos x Pn(x)sin x的特解形式应用欧拉公式可得e XPl(x)cos x Pn(x)sin xei x e i xei X e i XeXP(x) 2 Pn(x)2F!(x) iPn(x)e( i )x1F!(x) iPn(x)e( i )xP

15、(x)e( i )x P(x)e( i)xi )x其中 P(x) 1(P Pni) P(x)设方程 y py qy P(x)e('2(P Pni)而 m max I n)x 的特解为 y1* xkQm(x)e()的特解则 * xkQm(x)e( i)必是方程 y py qy P(x)e('其中k按i不是特征方程的根或是特征方程的根依次取于是方程 y py qy e XPi(x)cos x Pn(x)sin x的特解为y* xkQm(x)e( i )xxkQm(x)e( i)xxke xQm(x)(cosx isin x) Qm(x)(cos x isin x)Rm(x)sin

16、xXk e XRm(x)COS x综上所述我们有如下结论如果f(x) e xPl(x)cos x Pn(x)sin x则二阶常系数非齐次线性微分方程y py qy f(x)的特解可设为y* xke XRm(x)cos x Rm(x)sin x其中Rm(x)、R(2)m(x)是m次多项式 m max I n而k按i(或i )不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取0或1例3求微分方程y y xcos2x的一个特解解所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程且 f(x)属于 ePl(x)cos X Pn(x)sin x型(其中02 Pl(x) x Pn(x) 0)与所给方程对应的齐次方程为y y 0它的特征方程为r2 1 0由于这里 i 2i不是特征方程的根所以应设特解为y* (ax b)cos2x (cx d )sin2x把它代入所给方程得(3ax 3b 4c)cos2x (3cx 3d 4a)sin2x xcos2x比较两端同类项的系数得14a 3b0c0 d 4于是求得一个特解为y*提示