一元二次方程根的分布

1、.知识要点方程根的分布专题讲义0的根从几何意义上来说就是抛物线 bx c 0的实根的情况，可从2bx c与x轴交点的c的图象上进行研究.y ax2 bx c与 x轴bx c的系数可判断出二次方程ax2 bx c横坐标，所以研究方程 ax2若在(，)内研究方程ax2 bx c 0的实根情况， 交点个数及交点横坐标的符号，根据判别式以及韦达定理，由,Xi X2, X1X2的符号，从而判断出实根的情况.若在区间(m, n)内研究二次方程ax2 bx c 0，则需由二次函数图象与区间关系来确定.1 .二次方程有且只有一个实根属于 (m, n)的充要条件 若m, n其中一个是方程的根，则由韦达定理可求出

2、另一根. 若m, n不是二次方程可能：axax2bxy只需考察函数2y axax2 bx c 0的根，二次函数 f(x)ax2 bx c的图象有以下几种xx由图象可以看出，f (m) f (n) 0 ；反之，以得出结论：若m, n者E不是方程f (x)在 若 f (m)x m处的值f (m)与在x n处的值f(n)符号总是相反，即 f(n) 0, f(x)的图象的相对位置只能是图中四种情况之一.所2ax bxc 0 (a 0)的根，记 f(x) ax2 bx c，则 f (x)0 有且只有一个实根属于(m, n)的充要条件是f (m)f (n) 0 .2 .二次方程两个根都属于(m, n)的充

3、要条件方程ax2 bc c 0 (a 0)的两个实根都属于(m, n)，则二次函数f (x) ax2 bx c的图 象与x轴有两个交点或相切于点，且两个交点或切点的横坐标都大于m小于n，它的图象有以下几种情形:xxxx由此可得出结论：方程ax2 bxb24ac(a0）的两个实根都属于区间（m, n）的充要条件是:af (m)0af(n) 0 b 2a这里 f （x） ax23.二次方程ax 于n）的充要条件是：0af (m) af( n) 这里 f(x) ax24.二次方程bx c.2bx c0的两个实根分别在区间（m, n）的两侧（一根小于 m，另一根大bxax2bx c0的两个实根都在（m

4、, n）的右侧的充要条件是:b2 4ac 0 af（n） 0bn2aQ二次方程ax bx c 0的两个实根都在（m, n）的左侧（两根都小于 m ）的充要条件是:b2af (m)b2a这里 f (x) ax2二.例题选讲4ac 00例1.例2. 实根.例3.设关于x的方程4X 2x1 b 0(b R),(1 )若方程有实数解，求实数b的取值范围；(2)当方程有实数解时，讨论方程实根的个数，并求出方程的解。已知二次函数 f (x)= ax2+bx+c(a* 0).若方程f (x)= x无实根，求证：方程 ff(x)=x也无变式:1,求 例4.例5.(2)(3)例6.设A 2,4) , B x|x

5、2 ax 4 0，若B A，求实数a的取值范围.已知方程x2 + (3 n-1) x + (3 m2)=0的两个根都属于(-3, 3)，且其中至少有一个根小于 m的取值范围.已知方程 4x22(m 1)x (2m 3)求实数 m的范围，使关于x的方程x2有两个实根，且一个比2大，一个比2小.有两个实根，且满足01至少有一个正根.已知关于x的二次方程x2+2mX2n+1=0.0(m R)有两个负根，求 m的取值范围.02(m 1)x 2m 6(1) 若方程有两根，其中一根在区间(一1, 0)内，另一根在区间(2) 若方程两根均在区间(0 , 1)内，求m的范围.-2(2 a-1) x + a+2

6、=0的两个根在-3与3之间， mx2(2m 1)x m 20的两个根都小于1,(1 , 2)内，求m的范围.求a的取值范围. 求m的取值范围.变式：已知方程2x2例7.已知二次方程变式：如果二次函数 y=mx+(m- 3)x+1的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，试求 取值范围.例8 .已知a是实数，函数 f(x) 2ax2 2x 3 a，如果函数 y 点，求a的取值范围.二次方程实根分布的一些方法除了直接用于判别二次方程根的情况， 适当运用.下面再举两个例子：x+1例9 .求函数 y = (1< x<2)的值域.x -3 x+2例10.已知抛物线 y = 2 x-mxnm与

7、直角坐标平面上两点(0,0), (1,1) 端点)有公共点， 三.巩固练习1. 已知二次方程值范围.2. 已知方程m3. 已知二次方程f(x)在区间1,1上有零在其它的一些场合下也可以为端点的线段(除去两个求 m的取值范围.(3m 1)x2(2m3)x m 4 0有且只有一个实根属于(-1, 1)，求m的取22x (2m 1) 2x(2m 1)x2 2mxm 0在(，1)上有两个根，求 m的取值范围.(m 1) 0有且只有一个实根属于(1, 2),且x 1,x 2都不是方程的根，求m的取值范围.4. 已知二次方程(m 1)x2(3m4)x (m 1)5. 若关于x的方程x2+(a-1) x+1

8、=0有两相异实根, 围.0的两个根都属于(-1, 1),求m的取值范围.上，求实数a的取值范且两根均在区间0,26.二次函数 f(x)= px2+qx+r中实数p、q、r满足=0,m其中m>0,求证(1)pf(mV0; 方程f(x)=0在(0 ,(2)参考答案例1 分析：可用换元法，设 原方程有解并不等价于方程1)内恒有解。2x t，原方程化为二次方程t22t 2t b 0有解，而等价于方程0 ,但要注意t2t b 0在(0,解另外，方程有解的问题也可以通过参变分离转化为求值域的问题, 方程a f (x)有解，则a f(x)的值域.解：(1)原方程为4x 2x 1当b (2)当当b2xb

9、 4x 2x 1 ,(2x)2 2 2x (2x 1)2 1)时方程有实数解；1时，2x 1，方程有唯一解(2x 1)2 1x1,b1时，0,1 jrr 0, 2当综合、，得1 )当12 )当b3 )当bjrr 011 b 0时,2xb 2V1 b1 b的解为x0,1V1b 的解为 x log 2(12t bt2它的原理是：若关于b.log 2 (1 J1 b)；V1 b)；b 0时原方程有两解：x log 2 (1)；0或b1时，原方程有唯一解 x log2(1 Ji )；1时，原方程无解。0,故 )内有 x的例 2 .证明：方程 f(x)=x 即 f(x)-x=ax 2+(b-1)x+c=

10、0 无实根，f(x)-x 仍是二次函数，f(x)-x=0 仍是二次方程，它无实根即 =(b -1) 2-4ac v 0若a> 0，则函数y=f(x)-x 的图象在x轴上方, y> 0，即f(x)-x >0恒成立，即：f(x) >x对任意实数x恒成立。对 f(x),有 f(f(x)> f(x) > x 恒成立 f(f(x)=x无实根若av 0,函数y=f(x)-x 的图象在x轴下方 yv 0，即 f(x)-x v 0 恒成立对任意实数x, f(x) v 0恒成立对实数f(x)，有:f(f(x)< f(x) < x 恒成立3.-f(f(x)=x无实根

11、综上可知，当f(x)=x无实根时,方程f(f(x)=x也无实根.x2 ax 4例3 .分析：观察到方程0有两个实根0有两个实根，故此题不妨用求根公式来解决.2x ax 4a ra2a /2 aX1-j47,X2 J4?2 V2 4故B A等价于x12且x24,即a庐-2且aAa244,2 V424解之得0 a 3.变式：解：原方程即为(x +1)(x +3 m2)=0，所斤以方程两根分别为上，则由题意，另一根满足-：3<2-：13 n<3- 3 <353 .例4.解：依题意有4(m 1)244(2m3)0(m 1)0m11.2m 30例5 .解：设y f (x) x22(:m

12、1)x 2m6 .(1) 依题意有f(2)0 ,即44(m 1)2m 60，得(2) 依题意有f(0)2m607-m5f(1)4m50解得：54 .f(4)10m140解：因-1,2-3(3)方程至少有一个正根，则有三种可能:m 而-1 在(-3,1) 有两个正根，此时可得f(O)2(m 1)2 有一个正根，一个负根，此时可得，即有一个正根，另一根为0,此时可得f(0)60，得m2m 02(m 1)0综上所述，得m 1.例6.解：(1)条件说明抛物线 则f (x)=x+2m)+2n+1与x轴的交点分别在区间(一1, 0)和(1 , 2)内,mf(0)2m10,f( 1)20,mf(1)4m20

13、,mf(2)6m50m实数m的范围是(52R,12 '564(2)据抛物线与x轴交点落在区间(0，1)内,列不等式组f(0) 0,f(1) 0,0,m 112 '12 '或 m1",m 0.12 <m<1实数m的范围是(近.2-2(2 a-1) x + a+2，则原方程两根都属于4(2 a-1) 2 - 8( a+2) >018+6(2 a-1)+ a+2>018-6(2 a-1)+ a+2>02a-1-3<<32或32变式：解：设f(x) = 2 x >0f (-3)>0f(3)>02a-1-3&l

14、t;<32143-问-< m X134(-3, 3)的充要条件为故a的取值范围是(-等,些1134例7.解一：二次方程两个根都小于26u 呼 , 21 ).其充要条件为(2m 1)2 4m(m mm (2m 1) m2m 1,12m2)2 0(1)(1)即为8m212m 10，它的解集是3 药 3丁=,).1(2)即为m(2m 1)0，它的解集是(，一)(0,).2(3)的解集是(，0)G')-(41)x m呼).20有两个根的充要条件是设两根为X1,X2，由于X1,X2都小于1,即所以，m的取值范围是解二：二次方程 mx2(2mx110, X210 ,0 .其充要条件为:

15、(X11) (X2；1) 0(X11)(X21) 0X1X220X1X2(X1x2)101因此，方程两个根都小于的充要条件是:(2m 1)2 4m(m2m 1mm 22m 12) 0m以下同解法一(略)解三：令y X 1，原方程转化为 m(y 1)21)y 2m 1所以方程(*)2my (4m因为原方程两根都小于 1,20，即(2m0的两个实根都小于 0，其充要条件是:1)(y 1) m(*)4m 1m2m 10m同样可求出m的取值范围(略).变式：解： f(0)=1>0(1)当m< 0时，二次函数图象与 X轴有两个交点且分别在y轴两侧，符合题意.(2 )当0m>0时，贝y

16、3 m 解得0 V m<lm综上所述，例8.解析上有解，a=0 时，不符合题意，所以aM0,方程f(x)=0 在-1 , 1上有解m的取值范围是 m m<1且0.<=> f( 1) f(1) 0 或1:函数y f(x)在区间卜1 , 1上有零点，即方程 f (X) 2ax2 2x 3 a =0在-1 , 1af( 1)0af (1)41 - a08a(3 a) 011.1所以实数a的取值范围是解析2: f(x)在-1 ,2x 3设 g(t)此函数a=0时，不符合题意,2 或 a > 1.2所以aM 0,又2ax 2x 3 a=0 在-1 , 1上有解， (2x1上

17、有解，问题转化为求函数t , t 1,5, y1 (t 3)222x21y3 2x1(t 7 6),2、 t1)a1上的值域；设 t=3-2x , x-1 ,+ 7t2 7t 亍g'(t)g(t)单调递增，.y的取值范围是“ 3,1 , f(x)3 T?o2,t 1,J7)时，g'(t) 0 ,此函数 g(t) 苛 3,1 a 1 或 a例9 .解：原函数即为 y ( x-3x+2)=x+1,yx2-(3 y+1) x+2y-1=0,由题意，关于x的方程在(1,2)上有实根.易知 y<0,令 f(x)= yx2-(3 y+1)x+2y-1，贝U f (1)= -2<

18、0, A0上有实根当且仅当,3y+1 c1< <22y原函数的值域为(-例 10.解：以(0,0), (1,1)x = 2 x2- mxm 即由题意，方程在区间单调递减,2ax2 2xf(2)= -3<0f(0) f(1)<0 或故m的取值范围为 巩固练习1 .解：易知实根属于(-1, 1)2x2 13 2x1，则t (77,5时，g'(t) >0,3 a=0 在-1 , 1上有，所以方程在(1,2),-5-2 V6 .为端点的线段所在直线为y=x,代入抛物线方程得:2 x2-( n+1)x+m=0,(0, 1)上有实根，令2f (x) = 2 x -(

19、m+1)x+m 则当且仅当 A0n+10< 一 <14f(0)>0f(1)>0(-,0) U (0, 3 -22 n<0或m-6 mMAO-1< n<3m>0me 3-2a/2 且 0.X1 = -1 是方程的一个根，则另一根为X2 =m43m1，所以原方程有且仅有一个m4当且仅当-1< 3m1 <1，即m4+1>03m1m4T- -1 <03m14m5 >0 3m121111'3 >0 3m15v> - , m的取值范围为(- 42.解：令 t 2x，当 x (,1)时,352) u ( 4 ,

20、 +).由于t2x是一-一映射的函数，所以x在(值.因而方程mt2(2m1)t m0在(0, 2)(2 m1)24m20(1)m20(2)m(9m 2)02m 10 -2m2(4)由(1)得：1m 由得:(2)t (0,2).,1)上有两个值，则t在(0, 2)上有两个对应的 上有两个不等实根，其充要条件为(3)得:(4)得:2m93.解：设 f(x) =(2m1)x212 .m的取值范围为2mx (m1),由于f(x)是二次函数，所以 2n+l=0在(1, 2 )上有且仅有一个实根当且仅当(5 叶3)( m2)<0<n<2.综上得：m的取值范围是4 .令二次函数f (x)=(f(x)=0的两个实根均在4(m(m(m(3m 4)23m 42m 21)f