用导数处理不等式恒成立问题

1、教学过程、复习预习般地，求函数f(x)在a,b上的最大值与最小值的步骤如下:求f(x)在(a,b)内的极值;将f(x)的各极值与端点处的函数值f (a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值，得出函数f(x)在a,b上的最值.二、知识讲解 常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征,利用数形结合法。考点1 :利用导数解决恒成立问题若不等式f xA在区间D上恒成立，则等价于在区间 D上f xmin A若不等式f x B在区间D上恒成立，则等价于在区间 D上f xmax考点2 :利用导数解决能成立问题若在区间D上存在实数X使不等式fx A成立

2、,则等价于在区间D 上 f x max若在区间D上存在实数X使不等式fx B成立,则等价于在区间D 上的 fXmin B.解决不等式恒成立问题和能成立问题， 的时候要注意求的到底是函数最大值和最小值。注意一个是全称命题,一个是存在性命题，所以转化三、例题精析【例题1】【题干】设函数f(x) 2x3 3ax2 3bx 8c在x 1及x2时取得极值.(1)求a、b的值;(2)若对于任意的 x0,3，都有 f(x) c2 成立,c的取值范围.【答案】(1) a 3, b4 (2) c的取值范围为(1)U(9,)【解析】(1) f (x) 6x26ax 3b ,函数f (x)在x1及x 2取得极值，则

3、有 f(1) 0, f (2)0 即 64 6a2a3b3b00，解得 a 3，b 4 -由(1)可知，f(x) 2x3 9x212x 8c , f (x) 6x2 18x 126(x 1)(x当 x (0,1)时，f(X)0 ；当 x (1,2)时，f(X)0 ；当 x (2,3)时，f (x)8c, f (3)9 8c .2c，解得c 1或c当x 1时，f(x)取得极大值f(1)5 8c,又f(0)则当x 0,3时，f(X)的最大值为f (3)9 8c .2对于任意的x 0,3，有f (x) c恒成立， 9 8c因此c的取值范围为(，1)U(9,).【例题2】/迂尸3(孟-)-£

4、疋K【题干】设函数X(1)当a=1时，求曲线在点处的切线方程;(2)若函数力在其定义域内为增函数，求实数a的取值范围;(3)设函数【解析】E盘，若在1, e上至少存在一组可心使了卸M轴成立，求实数a的取(1)切线为 y 11 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2ax xA-aF，由题意若函数/(x)在其定义域内为增函数,二八2°在(0, +P上恒成立，即加-工+盘二0辽丄.-La:在二X + -, x-2工 +丄 2 口丄1十X ,丸，X ，工，2 ?( 3)在1，e上至少存在一组可心使畑炖 成立;则/W晦皿，兀色哄, ? ? ? ? ? 分9g(x) = / 上在1， e上递减

5、，S WnLitiHlKg（片）吹=日，g（x）芒1，旨,令狀兀）=&/-工+位当吨时，”）在g上递增，5"金二心”r时冷在1肩上递增，选（己宀 =參弓-1B 二伦） 1 = gH诡，不合题意。当a 0时轨工）=处2 一兀+口 X皂1疋血（1）=花-1 uo,丄/W "，二/W在"上递减,当说=0时，f（x） = -lii2r，在1肩上递减，ks5u-僅兰°时，孑W晌=了=° V1,不合题意。Q E 上P他)综上：& 一 1? ? ? ? ? ? ? ? ?【例题3】【题干】已知函数-如理+加a=(1 )当缶时，求丿E的极值;(

6、2)若只Q在(一“上是增函数，求a的取值范围.【解析】(1)(耳=色一如& +芍近一耳_当口 _ 6时，尸="工+审工一吸，-他在(f-2)内单调递减，在(一入伽内单调递增，二当"-2时，"对有极小值，二临 的极小值是=(2 )在(-M上是增函数，当且仅当rw = 4(x-I)P®c 43ax-D >0，即孑&+3四一1<0h当広aO时，若要成立，则需3a-f1<0，解得 6u当ff>0时，若要成立，则需+3a-(-l)-l <0a>-22，解得 3t-1,1综上，金的取值范围是3 6四、课堂运用【基础

7、】1.三次函数f（ x） =x3 - 3bx+3b在1 , 2内恒为正值，贝U b的取值范围是【答案】b<-4【解析】方法1:拆分函数f （ x）,根据直线的斜率观察可知在与y1=X3相切的斜率是3b的最大值，求出b的取值范围方法2：利用函数导数判断函数的单调性，再对b进行讨论,1 , 2范围内，直线y比较是否与已知条件相符,2.对于"一U总有王0成立，则（2的值为多少?若不符则舍掉，最后求出 b的范围。【答案】a=4【解析】若"0,则不论曲取何值，产（对K0显然成立;>31当GO,即赛亡时/（工）=沁7工十1"可化为皿77设曲=*弓，则童讣3(1-呵

8、所以豐（*）在区间®卫上单调递增，在区间P上单调递减，因此严“禺円从而心弋色一丄丄一丄当即MFW时，可化为"工2 "，则J在区间7叭单调递增，因此玄（兀丄=£（一1）=耳，从而*4【巩固】1.设 a 为实数，函数 f(x) 2x2 (x a) | x a|.若f (0)1，求a的取值范围;求f(X)的最小值;设函数 h(x) f (x),x (a,直接写出(不需给出演算步骤)不等式h(x) 1的解集.【解析】(1 )若f (0)1，则 a|a|(2 )当x a 时，f (x)3x22axa时,f(x) x22ax综上 f (x)min2a2, a2a2T

9、,af (a),a02a2, af(扣02a23 ,af( a),a02a2,af(a),a 02a2, a0000f (x)mina2, f(x)min(a,)时，h(x)1 得 3x2 2axa2 14a22 212(a1) 12 8a0,x(a,);时， >0,得：(x2a J3 2a23)(xaa 3 2a2)3)讨论得:(a,);晅)时，解集为(a,a C2a丿3 2a23)；2込时，解集为2 2a J3 2a23).2.已知函数f(x) x 2 a(2xIn x),( a0)讨论f(x)的单调性.【解析】f (x)的定义域是(0,+)，f (x)2cx ax 22x设g(x)

10、 x2 ax 2,二次方程g(x) 0的判别式8.当 a2 80，即 0 a 2罷时，对一切x 0都有f (x)0 ,此时f (x)在(0,)上是增函数。a280 ,即a 2/2时，仅对X 有f (x)0 ,对其余的x 0都有(X)0,此时f (X)在(0,)上也是增函数。a2 80,即a 2迈时,a8,0X1X2.X(0,X1)X1(X1,X2)X2(X2,)f (X)+00+f(x)单调递增极大单调递减极小单调递增方程g(x)此时f(X)在(0,2 80有两个不同的实根 x1a wa8 , x22a Ja 8)上单调递增,在(a Ja 8,a Ja 8)是上单调递减,2 2 2右,a Ja

11、28在(T-)上单调递增.【拔高】1.设函数f(X)xekX(k0)(I)求曲线f(X)在点(0, f(0)处的切线方程;(n)求函数f(x)的单调区间;(川)若函数f(x)在区间(1,1)内单调递增，求k的取值范围.【解析】kX'1 kX e ,f 01, f 00,曲线yf (X)在点(0, f (0)处的切线方程为yX.(n)由'kx1f X 1 kx e 0 ,得 X k k若k 0,则当X1 '时，f X 0，函数f X单调递减,k,时,0，函数fx单调递增,0，则当时，f x0，函数f x单调递增,时,0,函数fx单调递减,(川)(n)知，若0，则当且仅当1

12、时，函数f x1,1内单调递增,0，则当且仅当1时，函数f x 1,1内单调递增,Vi综上可知，函数 f x 1,1内单调递增时,k的取值范围是1,0 U 0,1 .1 22.已知函数 f(x)=X2 ax+(a 1)1 nx , a2(1 )讨论函数f(x)的单调性;(2)证明：若a 5，则对任意X"，x1， x 2 (0,),X1 X2，有 f(X1)f(X2)1。X1 X2【解析】(1) f (x)的定义域为(0,f'(x)a 1 X2 ax a 1 a (x 1)(x 1 a)(i)1即a2,则f'(x)(X 1)2X故 f (x)在(0,)单调增加。(ii)

13、若 a 1 1，而 a 1,故 1 a 2,则当 x(a 1,1)时，f(x) 0;当 x (0, a 1)及 x (1,)时，f(X)0故f (x)在(a 1,1)单调减少，在(0, a 1),(1,)单调增加。(iii)若 a 11,即a 2,同理可得f(x)在(1,a1)单调减少，在(0,1),(a1,)单调增加.(II)考虑函数g(x) f(x)ax(a 1)l nx则 g (x)/八 a(a 1)1<a<5,故 g (x)g(x1)g(x2)0,即f (X1)时，有f(X1) f(X2)X1 X2zjxgx (a 1) 1 (Vn即g(x)在(4, + 8 )单调增加，f

14、(X2)为 X20，故 f (x1)f(X2) f(X1)X2 X11)2从而当f (X2)Xi X2X1 X20时有1，当 0 X1X2课程小结关于运用导数解决含参函数问题的策略还有很多,参数问题形式多样，方法灵活多变，技巧性较强，对于某些“含参函数”题目，不一定用某一种方法，还可用多种方法去处理.这就要求我们养成良好的数学思维，有良好的观察与分析问题的能力，灵活的转化问题能力， 使 所见到的“含参函数”问题能更有效地解决.课后作业【基础】1.已知函数f(x)(x3 3x2 ax b)e X3，求f(x)的单调区间;若f(x)在(,),(2,)单调增加，在,2),(,)单调减少，证明<

15、 6. W.【解析】f(x) (x33x23x 3)e x ,故6x 3)e x(x) (x3 3x2 3x 3)e x (3x2x(x 3)(x 3)e x当 x3或 0 x 3时，f'(x) 0;当 3 x 0或x 3时，f'(x)0.从而f(x)在(,3),(0,3)单调增加，在(3,0,(3,)单调减少.(n ) f '(x)(x3 3x2 ax b)e x (3x2 6x a)e xe xx3 (a 6)x由条件得：f'(2)0,即232(a 6) b a 0,故b 4 a,从而f '(x) e xx3 (a 6)x 4 2a.因为f'

16、( )f'( )0,所以x3 (a 6)x 4 2a (x 2)(x)(x)(x 2)(x2 ()x).将右边展开，与左边比较系数得，2,a 2.故&)2 4J12 4a.又(2)(2) 0,即2() 40.由此可得a 6.于是6.b a.e x(x 39x)22.设函数f X Xaln 1 X有两个极值点Xi、X2，且XiX2(I)求a的取值范围,并讨论 fX的单调性;(II )证明：f x21 2In24【解析】(I) f X2" 2(x 1)X2令 g(x) 2x 2xa，其对称轴为1。由题意知X1、2X2是方程g(x) 0的两个均大于1的不相等的实根，其充要条

17、件为g(4)8：0，得当(1,Xi)时，f X0,f(X)在(1,X1)内为增函数;f(X)在(X1, X2)内为减函数;当X(X2,)时,f X0,由(:I)g(0)a 0,X2fX22X2aln1X22X2设hXX2(2x22x)ln1 X则hX2x2(2x1)ln1 X当X(2,0)时，h X0,当X(0,)时，h X0，当(X1,X2)时，f X0,Xh(x)在丄,。)单调递增;2f (X)在(X2,)内为增函数;2x 2(2x 1)ln 1 X20， a (2X 2+2x2)(2x22+2x2)l n 1 X2(X 1，h(x)在(0,)单调递减。1(-,0)时,h X h(212)

18、1 2ln 24X2h(X2)匕乎Z41【巩固】1.已知函数 f(x) ln(ax 1)X,x 0，其中 a 01 X若f (x)在X=1处取得极值，求a的值;求f(x)的单调区间;(川)若f(x)的最小值为1,求a的取值范围。2a 20,解得 a 1.1解析】f'(x) aOi(oOU讣/ f(x)在 x=1 处取得极值， f '(1) 0,即 agl22 _ax a 2(n ) f '(x)(ax 1)(1 x 0,a0,1 0.当a 2时，在区间(0,)上, f'(x) 0,二f(x)的单调增区间为(0,).当0 a 2时，f'(x) 0解得x J

19、甘，由f'(x) 0解得xf(x)的单调减区间为(0，,空),单调增区间为( 严(川)当a 2时，由(n)知，f(x)的最小值为f(0)1;f 半吕)f(0) 1,当0 a 2时，由(n )知，f(X)在x处取得最小值综上可知，若f (x)得最小值为1,则a的取值范围是2,).2.已知函数 f(x) 2sin( x)cosx.(I)求f(x)的最小正周期;(n)求f(x)在区间, 上的最大值和最小值.6 2【解析】/ f(n)由 6 x 23 2x2x2- f (x)在区间一,上的最大值为6 21,最小值为五2【拔高】1.已知关于x的函数f(x) = x3 + bx2 + cx + b

20、e,其导函数为f+(x).令g(x) =I f+(x) I，记函数 3g(x)在区间-1、1上的最大值为 M.4(I )如果函数f(x)在x= 1处有极值，试确定b、c的值:3(n)若I b I >1,证明对任意的c,都有M>2:(川)若M = K对任意的b、c恒成立，试求k的最大值。f (x)在x 1处有极值f'(1)12b c 0可得14f(1)b c bc33b 1b 1解得,或c 1c 3若b1,c1 ,则 f'(x)x2 2x 1(x若b1,c3,则 f '(x)x2 2x 3 (x当x变化时，f(x) , f '(x)的变化情况如下表：【

21、解析】Q f '(x)2bxc,由1)(x 1)x221)0，此时f (x)没有极值;1.1之外。|4b| 4,即 M 2x(,3)3(3,1)1(1,)f'(x)0+0f(x)极小值12Z极大值=33即为所求。4当x 1时，f (x)有极大值一，故b 1, c3(n)证法 1: g(x) | f '(x)| | (x b)2 b2 c|当|b | 1时，函数y f'(X)的对称轴x b位于区间f '(x)在1,1上的最值在两端点处取得故M应是g( 1)和g(1)中较大的一个2M g(1) g( 1) | 1 2b c| | 1 2b c|证法2 (反证

22、法)：因为|b| 1，所以函数yf'(x)的对称轴x b位于区间1,1之外,f '(x)在1,1上的最值在两端点处取得。故M应是g( 1)和g(1)中较大的一个假设M 2，则g( 1) 1 1 2b c| 2 g(1) | 1 2b c|将上述两式相加得:24 | 1 2b c| |1 2b c|4|b| 4 ,导致矛盾，M 2(川)解法1: g(x)|f '(x)| |(x b)2b2 c|(1 )当|b| 1时，由(n)可知|b| 1 时，函数y f'(x )的对称轴x b位于区间1,1内，max g( 1),g(1),g(b)由 f'(1)2f&#

23、39;( 1) 4b,有 f'(b) f '( 1) b(m1)0若1b 0,则 f'(1)f'( 1) f '(b),g( 1) max g(1),g(b),于是M1)21 1 f'(b)|) 2|f'max |f'(1),|f'(b)|-(I f'(1)| f'(b)| 2(b若0b 1，则 f'( 1) f '(1) f'(b),g(1) max g( 1),g(b)1max | f'( 1)1,1 f'(b) I 2(|f'( 1)|1 综上，对任意的

24、b、c都有M 2于是M1|f'(b)|) 2l f'( 1)f '(b) | 2(b1)2而当b10,c 2 时，g(x)2 1x 一在区间21,1上的最大值Mk对任意的b、c恒成立的k的最大值为解法2:g(x) | f '(x) | |29(x b) b c|(1 )当 |b| 1 时，由(n)可知M 2 ；(2)当| b | 1时，函数yf '(x)的对称轴xb位于区间1,1内,此时 M max g( 1),g(1),g(b)4M g( 1) g(1) 2g(h) | 1 2b c| | 1 2b c| 2|b2 c| 1 2b c ( 1 2b c) 2(b2 c) | |2b22| 2，即 M1322.已知函数f(x) -ax bx X 3,其中a 03(1) 当a,b满足什么条件时，f(X)取得极值？(2)已知a 0,且 f(x)在区间(0,1上单调递增 試用a表示出b的取值范围.