第八章 方差分析1

1、 方差分析是分析试验数据一种重要方法。一个方差分析是分析试验数据一种重要方法。一个复杂的事物，往往要受到许多因素的影响和制约。复杂的事物，往往要受到许多因素的影响和制约。例如工业生产中的原材料，工艺条件，工人的技例如工业生产中的原材料，工艺条件，工人的技术水平等，它们的改变可能会影响产品的质量，术水平等，它们的改变可能会影响产品的质量，如何通过统计数据，分析因素本身以及各因素之如何通过统计数据，分析因素本身以及各因素之间的交互作用，找出对产品质量等特性指标有显间的交互作用，找出对产品质量等特性指标有显著影响的那些因素，这是方差分析要解决的主要著影响的那些因素，这是方差分析要解决的主要问题之一。

2、问题之一。 第 8 章 方差分析8.1 方差分析的引论方差分析的引论 8.2 单因素方差分析单因素方差分析8.3 双因素方差分析双因素方差分析第 8 章 方差分析学习目标1. 解释方差分析的概念解释方差分析的概念2. 解释方差分析的基本思想和原理解释方差分析的基本思想和原理3. 掌握单因素方差分析的方法及应用掌握单因素方差分析的方法及应用4. 掌握双因素方差分析的方法及应用掌握双因素方差分析的方法及应用8.1 8.1 方差分析引论方差分析引论8.1.1 8.1.1 方差分析及其有关术语方差分析及其有关术语8.1.2 8.1.2 方差分析的基本思想和原理方差分析的基本思想和原理8.1.3 8.1

3、.3 方差分析的基本假定方差分析的基本假定8.1.4 8.1.4 问题的一般提法问题的一般提法8.1.18.1.1方差分析及其有关术语方差分析及其有关术语什么是方差分析什么是方差分析(anova)?(anova)?(analysis of variance) (analysis of variance) 1 1、方差分析：就是通过检验各总体的均值是否相等方差分析：就是通过检验各总体的均值是否相等来判断分类型自变量对数值型因变量是否有影响。来判断分类型自变量对数值型因变量是否有影响。 方差分析：是一种通过分析样本的方差来检验三方差分析：是一种通过分析样本的方差来检验三个或更多的总体的均值相等性的

4、方法。个或更多的总体的均值相等性的方法。 通过分析数据的误差判断各总体均值是否相等通过分析数据的误差判断各总体均值是否相等是否可以通过是否可以通过 t检验来比较多个总体的均值？检验来比较多个总体的均值？ 用用t t检验比较两个均值：检验比较两个均值： 每次只能比较两个均值，假如要比较四个总体每次只能比较两个均值，假如要比较四个总体的均值是否相等需要进行的均值是否相等需要进行6 6次次t t检验检验 在整体检验中犯第一类错误的概率显著增加：在整体检验中犯第一类错误的概率显著增加：如果在每次如果在每次t t检验中犯第一类错误的概率等于检验中犯第一类错误的概率等于5%5%，则在整体检验中等于，则在整

5、体检验中等于1-(1-0.05)1-(1-0.05)6 6=0.2649=0.2649什么是方差分析什么是方差分析(anova)?(anova)?(analysis of variance) (analysis of variance) 2 2、研究分类型自变量对数值型因变量的影响、研究分类型自变量对数值型因变量的影响 3 3、有单因素方差分析和双因素方差分析、有单因素方差分析和双因素方差分析单因素方差分析：涉及一个分类的自变量单因素方差分析：涉及一个分类的自变量双因素方差分析：涉及两个分类的自变量双因素方差分析：涉及两个分类的自变量什么是方差分析什么是方差分析? ?( (例题分析例题分析)

6、)消费者对四个行业的投诉次数消费者对四个行业的投诉次数 行业行业观测值观测值零售业零售业旅游业旅游业航空公司航空公司家电制造业家电制造业12345675766494034534468392945565131492134404451657758为了对几个行业的服务质量进行评价，消费者协会为了对几个行业的服务质量进行评价，消费者协会在四个行业分别抽取了不同的企业作为样本。最近一年中消在四个行业分别抽取了不同的企业作为样本。最近一年中消费者对总共费者对总共2323家企业投诉的次数如下表家企业投诉的次数如下表什么是方差分析什么是方差分析? ?( (例题分析例题分析) )1.分析四个行业之间的服务质量是

7、否有显著差异，也就是分析四个行业之间的服务质量是否有显著差异，也就是要判断要判断“行业行业”对对“投诉次数投诉次数”是否有显著影响是否有显著影响2.作出这种判断最终被归结为检验这四个行业被投诉次数作出这种判断最终被归结为检验这四个行业被投诉次数的均值是否相等的均值是否相等3.若它们的均值相等，则意味着若它们的均值相等，则意味着“行业行业”对投诉次数是没对投诉次数是没有影响的，即它们之间的服务质量没有显著差异；若均有影响的，即它们之间的服务质量没有显著差异；若均值不全相等，则意味着值不全相等，则意味着“行业行业”对投诉次数是有影响的，对投诉次数是有影响的，它们之间的服务质量有显著差异它们之间的服

8、务质量有显著差异 1. 1.因变量因变量：我们实际测量的、作为结果的变量，例：我们实际测量的、作为结果的变量，例如被投诉次数如被投诉次数 。 2.2.自变量自变量：作为原因的、把观测结果分成几个组以：作为原因的、把观测结果分成几个组以进行比较的变量例如行业。进行比较的变量例如行业。 在方差分析中，自变量也被称为在方差分析中，自变量也被称为因素或因子因素或因子 (factor)(factor)。方差分析中的有关术语方差分析中的有关术语所要检验的对象所要检验的对象要分析行业对投诉次数是否有影响，要分析行业对投诉次数是否有影响，行业行业是要是要检验的因素或因子检验的因素或因子方差分析中的有关术语方差

9、分析中的有关术语3.3.水平或处理水平或处理(treatment)(treatment)因子的不同表现因子的不同表现零售业、旅游业、航空公司、家电制造业就是因子零售业、旅游业、航空公司、家电制造业就是因子的水平的水平4.4.观察值观察值在每个因素水平下得到的样本数据在每个因素水平下得到的样本数据每个行业被投诉的次数就是观察值每个行业被投诉的次数就是观察值方差分析中的有关术语方差分析中的有关术语 5. 试验：试验： 收集样本数据的过程称为试验。收集样本数据的过程称为试验。这里只涉及一个因素，因此称为单因素四水平的这里只涉及一个因素，因此称为单因素四水平的试验试验 6. 总体总体因素的每一个水平可

10、以看作是一个总体因素的每一个水平可以看作是一个总体比如零售业、旅游业、航空公司、家电制造业可比如零售业、旅游业、航空公司、家电制造业可以看作是四个总体以看作是四个总体 7. 样本数据样本数据被投诉次数可以看作是从这四个总体中抽取的样被投诉次数可以看作是从这四个总体中抽取的样本数据本数据8.1.28.1.2方差分析的基本思想和原理方差分析的基本思想和原理方差分析的基本思想和原理方差分析的基本思想和原理( (图形分析图形分析) )不同行业被投诉次数的散点图不同行业被投诉次数的散点图020406080012345行业被投诉次数 零售业 旅游业 航空公司 家电制造1. 从从散点图上可以看出散点图上可以

11、看出不同行业被投诉的次数是有明显差异的不同行业被投诉的次数是有明显差异的同一个行业，不同企业被投诉的次数也明显不同同一个行业，不同企业被投诉的次数也明显不同家电制造被投诉的次数较高，航空公司被投诉的次数家电制造被投诉的次数较高，航空公司被投诉的次数较低较低2. 行行业与被投诉次数之间有一定的关系业与被投诉次数之间有一定的关系如果行业与被投诉次数之间没有关系，那么它们如果行业与被投诉次数之间没有关系，那么它们被投诉的次数应该差不多相同，在散点图上所呈被投诉的次数应该差不多相同，在散点图上所呈现的模式也就应该很接近现的模式也就应该很接近方差分析的基本思想和原理方差分析的基本思想和原理( (图形分析

12、图形分析) ) 零售业 旅游业 航空公司 家电制造1. 仅从散点图上观察还不能提供充分的证据证明不仅从散点图上观察还不能提供充分的证据证明不同行业被投诉的次数之间有显著差异同行业被投诉的次数之间有显著差异这种差异也可能是由于抽样的随机性所造成的这种差异也可能是由于抽样的随机性所造成的2. 需要有更准确的方法来检验这种差异是否显著，需要有更准确的方法来检验这种差异是否显著，也就是进行方差分析也就是进行方差分析所以叫方差分析，因为虽然我们感兴趣的是均值，所以叫方差分析，因为虽然我们感兴趣的是均值，但在判断均值之间是否有差异时则需要借助于但在判断均值之间是否有差异时则需要借助于方差方差这个名字也表示

13、：它是通过对这个名字也表示：它是通过对数据误差来源数据误差来源的分析的分析判断不同总体的均值是否相等。因此，进行方差分判断不同总体的均值是否相等。因此，进行方差分析时，需要考察数据误差的来源析时，需要考察数据误差的来源方差分析的基本思想和原理方差分析的基本思想和原理方差分析的基本思想和原理( (两类误差两类误差) )1.1.随机误差随机误差因素的同一水平因素的同一水平( (总体总体) )下，样本各观察值之间的差异下，样本各观察值之间的差异比如，同一行业下不同企业被投诉次数是不同的比如，同一行业下不同企业被投诉次数是不同的这种差异可以看成是随机因素的影响，称为这种差异可以看成是随机因素的影响，称

14、为随机误差随机误差 2.2.系统误差系统误差因素的不同水平因素的不同水平( (不同总体不同总体) )下，各观察值之间的差异下，各观察值之间的差异比如，不同行业之间的被投诉次数之间的差异比如，不同行业之间的被投诉次数之间的差异这种差异这种差异可能可能是由于抽样的随机性所造成的，是由于抽样的随机性所造成的，也可能也可能是由于行业本身所造成的，后者所形成的误差是由系是由于行业本身所造成的，后者所形成的误差是由系统性因素造成的，称为统性因素造成的，称为系统误差系统误差方差分析的基本思想和原理方差分析的基本思想和原理(两类方差两类方差)1.1. 数据的误差用平方和数据的误差用平方和(sum of squ

15、ares)(sum of squares)表示，称表示，称为方差为方差2.2. 组内方差组内方差(within groups)(within groups)因素的同一水平因素的同一水平( (同一个总体同一个总体) )下样本数据的方差下样本数据的方差比如，零售业被投诉次数的方差比如，零售业被投诉次数的方差组内方差只包含组内方差只包含随机误差随机误差3.3. 组间方差组间方差(between groups)(between groups)因素的不同水平因素的不同水平( (不同总体不同总体) )下各样本之间的方差下各样本之间的方差比如，四个行业被投诉次数之间的方差比如，四个行业被投诉次数之间的方差组

16、间方差既包括组间方差既包括随机误差随机误差，也包括，也包括系统误差系统误差方差分析的基本思想和原理方差分析的基本思想和原理( (方差的比较方差的比较) )1.1.若不同行业对投诉次数没有影响，则组间误差中只包含随若不同行业对投诉次数没有影响，则组间误差中只包含随机误差，没有系统误差。这时，组间误差与组内误差经过机误差，没有系统误差。这时，组间误差与组内误差经过平均后的数值就应该很接近，它们的比值就会接近平均后的数值就应该很接近，它们的比值就会接近1 12.2.若不同行业对投诉次数有影响，在组间误差中除了包含随若不同行业对投诉次数有影响，在组间误差中除了包含随机误差外，还会包含有系统误差，这时组

17、间误差平均后的机误差外，还会包含有系统误差，这时组间误差平均后的数值就会大于组内误差平均后的数值，它们之间的比值就数值就会大于组内误差平均后的数值，它们之间的比值就会大于会大于1 13.3.当这个比值大到某种程度时，就可以说不同水平之间存在当这个比值大到某种程度时，就可以说不同水平之间存在着显著差异，也就是自变量对因变量有影响着显著差异，也就是自变量对因变量有影响判断行业对投诉次数是否有显著影响，实际上也就是检验被投判断行业对投诉次数是否有显著影响，实际上也就是检验被投诉次数的差异主要是由于什么原因所引起的。如果这种差异主诉次数的差异主要是由于什么原因所引起的。如果这种差异主要是系统误差，说明

18、不同行业对投诉次数有显著影响要是系统误差，说明不同行业对投诉次数有显著影响1.1.比较两类误差，以检验均值是否相等比较两类误差，以检验均值是否相等2.2.比较的基础是方差比比较的基础是方差比3.3.如果系统如果系统( (处理处理) )误差明显地不同于随机误差，则误差明显地不同于随机误差，则均值就是不相等的；反之，均值就是相等的均值就是不相等的；反之，均值就是相等的4.4.误差是由各部分的误差占总误差的比例来测度的误差是由各部分的误差占总误差的比例来测度的方差分析的基本思想和原理方差分析的基本思想和原理1. 每个每个总体都应服从正态分布总体都应服从正态分布对于因素的每一个水平，其观察值是来自服从

19、正对于因素的每一个水平，其观察值是来自服从正态分布总体的简单随机样本态分布总体的简单随机样本比如，每个行业被投诉的次数必需服从正态分布比如，每个行业被投诉的次数必需服从正态分布2. 各个各个总体的方差必须相同总体的方差必须相同各组观察数据是从具有相同方差的总体中抽取的各组观察数据是从具有相同方差的总体中抽取的比如，四个行业被投诉次数的方差都相等比如，四个行业被投诉次数的方差都相等3. 观观察值是独立的察值是独立的比如，每个行业被投诉的次数与其他行业被投诉比如，每个行业被投诉的次数与其他行业被投诉的次数独立的次数独立8.1.3 8.1.3 方差分析的基本假定方差分析的基本假定正态性的检验正态性的

20、检验 各组数据的直方图各组数据的直方图 峰度系数、偏度系数峰度系数、偏度系数 q-qq-q图，图， k-sk-s检验检验* *等方差性的检验等方差性的检验 经验方法：计算各组数据的经验方法：计算各组数据的标准差标准差，如果最大值与最小，如果最大值与最小值的比例小于值的比例小于2:1，则可认为，则可认为是同方差的。是同方差的。其他说明其他说明 方差分析对前两个假设条件是稳健的，方差分析对前两个假设条件是稳健的， 允许允许一定程度的偏离。一定程度的偏离。 独立性的假设条件一般可以通过对数据搜集独立性的假设条件一般可以通过对数据搜集过程的控制来保证。过程的控制来保证。 如果确实严重偏离了前两个假设条

21、件，则需如果确实严重偏离了前两个假设条件，则需要先对数据进行数学变换，也可以使用非参要先对数据进行数学变换，也可以使用非参数的方法来比较各组的均值。数的方法来比较各组的均值。1. 设因素有设因素有k个水平，每个水平的均值分别用个水平，每个水平的均值分别用 1 , 2, , k 表示表示2. 要检验要检验k个水平个水平( (总体总体) )的均值是否相等，需要提出如的均值是否相等，需要提出如下假设：下假设： h0 ： 1 2 k h1 ： 1 , 2 , ， k 不全相等不全相等 上例中：设上例中：设 1为零售业被投诉次数的均值为零售业被投诉次数的均值， 2为旅为旅游业被投诉次数的均值，游业被投诉

22、次数的均值， 3为航空公司被投诉次数为航空公司被投诉次数的均值的均值， 4为家电制造业为家电制造业被投诉次数的均值被投诉次数的均值，提出提出的假设为的假设为h0 ： 1 2 3 4 h1 ： 1 , 2 , 3 , 4 不全相等不全相等8.1.4 8.1.4 问题的一般提法问题的一般提法8.2 单因素方差分析单因素方差分析8.2.1 8.2.1 数据结构数据结构8.2.2 8.2.2 分析步骤分析步骤8.2.3 8.2.3 关系强度的测量关系强度的测量8.2.4 8.2.4 方差分析中的多重比较方差分析中的多重比较8.2.1单因素方差分析的数据结构单因素方差分析的数据结构(one-way an

23、alysis of variance) 观察值观察值 ( j )因素因素(a) i 水平水平a1 水平水平a2 水平水平ak12:n x11 x21 xk1 x12 x22 xk2 : : : : : : : : x1n x2n xkn提出假设提出假设1. 一一般提法般提法h0 ： 1 = 2 = k 自变量对因变量没有显著影响自变量对因变量没有显著影响 h1 ： 1 ，2 ， ，k不全相等不全相等自变量对因变量有显著影响自变量对因变量有显著影响 2.2. 注意：拒绝原假设，只表明至少有两个总注意：拒绝原假设，只表明至少有两个总体的均值不相等，并不意味着所有的均值体的均值不相等，并不意味着所有

24、的均值都不相等都不相等 构造检验的统计量构造检验的统计量构造统计量需要计算构造统计量需要计算水平的均值水平的均值全部观察值的总均值全部观察值的总均值误差平方和误差平方和均方均方( (msms) ) 构造检验的统计量构造检验的统计量( (计算水平的均值计算水平的均值) )1.1.假定从第假定从第i i个总体中抽取一个容量为个总体中抽取一个容量为n ni i的简单的简单随机样本，第随机样本，第i i个总体的样本均值为该样本个总体的样本均值为该样本的全部观察值总和除以观察值的个数的全部观察值总和除以观察值的个数2.2.计算公式为计算公式为 构造检验的统计量构造检验的统计量( (计算全部观察值的总均值

25、计算全部观察值的总均值) )1.1.全部观察值的总和除以观察值的总个数全部观察值的总和除以观察值的总个数2.2.计算公式为计算公式为 构造检验的统计量构造检验的统计量(例题分析例题分析)构造检验的统计量构造检验的统计量(计算总误差平方和计算总误差平方和 sst)1.全全部观察值部观察值 与总平均值与总平均值 的离差平方和的离差平方和2.反映全部观察值的离散状况反映全部观察值的离散状况3.其计算公式为其计算公式为构造检验的统计量构造检验的统计量(计算水平项平方和计算水平项平方和 ssa)1.各组平均值各组平均值 与总平均值与总平均值 的离的离差平方和差平方和2.反映各总体的样本均值之间的差异程度

26、反映各总体的样本均值之间的差异程度，又称，又称组组间平方和间平方和3.该平方和既包括随机误差，也包括系统误差该平方和既包括随机误差，也包括系统误差4.计算公式为计算公式为 构造检验的统计量构造检验的统计量(例题分析例题分析)构造检验的统计量构造检验的统计量(计算误差项平方和计算误差项平方和 sse)1.1.每个水平或组的各样本数据与其组平均值的离差每个水平或组的各样本数据与其组平均值的离差平方和平方和2.2.反映每个样本各观察值的离散状况，又称反映每个样本各观察值的离散状况，又称组内平组内平方和方和3.3.该平方和反映的是随机误差的大小该平方和反映的是随机误差的大小4.4.计算公式为计算公式为

27、 构造检验的统计量构造检验的统计量(三个平方和的关系三个平方和的关系)总离差平方和总离差平方和( (sstsst) )、误差项离差平方和、误差项离差平方和( (ssesse) )、水平项离差平方和水平项离差平方和 ( (ssassa) ) 之间的关系之间的关系构造检验的统计量构造检验的统计量( (三个平方和的作用三个平方和的作用) )1.1.sstsst反映全部数据总的误差程度；反映全部数据总的误差程度；ssesse反映随机误反映随机误差的大小；差的大小；ssassa反映随机误差和系统误差的大小反映随机误差和系统误差的大小2.2.如果原假设成立，则表明没有系统误差，组间平如果原假设成立，则表明

28、没有系统误差，组间平方和方和ssassa除以自由度后的均方与组内平方和除以自由度后的均方与组内平方和ssesse和和除以自由度后的均方差异就不会太大；如果组间除以自由度后的均方差异就不会太大；如果组间均方显著地大于组内均方，说明各水平均方显著地大于组内均方，说明各水平( (总体总体) )之之间的差异不仅有随机误差，还有系统误差间的差异不仅有随机误差，还有系统误差3.3.判断因素的水平是否对其观察值有影响，实际上判断因素的水平是否对其观察值有影响，实际上就是比较组间方差与组内方差之间差异的大小就是比较组间方差与组内方差之间差异的大小构造检验的统计量构造检验的统计量(计算均方计算均方ms)1.1.

29、各误差平方和的大小与观察值的多少有关，为各误差平方和的大小与观察值的多少有关，为消除观察值多少对误差平方和大小的影响，需消除观察值多少对误差平方和大小的影响，需要将其平均，这就是要将其平均，这就是均方均方，也称为方差，也称为方差2.2.计算方法是用误差平方和除以相应的自由度计算方法是用误差平方和除以相应的自由度3.3.三个平方和对应的自由度分别是三个平方和对应的自由度分别是sst sst 的自由度为的自由度为n n-1-1，其中，其中n n为全部观察值的个数为全部观察值的个数ssassa的自由度为的自由度为k k-1-1，其中，其中k k为因素水平为因素水平( (总体总体) )的的个数个数ss

30、e sse 的自由度为的自由度为n n- -k k构造检验的统计量构造检验的统计量(计算均方计算均方 ms)1. 组间方差：组间方差：ssa的均方，记为msa，计算公式为构造检验的统计量构造检验的统计量(计算检验统计量计算检验统计量 f )1.将将msa和和mse进行对比，即得到所需要的检验进行对比，即得到所需要的检验统计量统计量f2.当当h0为真时，二者的比值服从分子自由度为为真时，二者的比值服从分子自由度为k-1、分母自由度为分母自由度为 n-k 的的 f 分布，即分布，即 构造检验的统计量(f分布与拒绝域)统计决策统计决策 将统计量的值将统计量的值f与给定的显著性水平与给定的显著性水平

31、的临界值的临界值f 进行比较，作出对原假设进行比较，作出对原假设h0的决策的决策根据给定的显著性水平根据给定的显著性水平 ，在，在f分布表中查找与第分布表中查找与第一自由度一自由度df1k-1、第二自由度、第二自由度df2=n-k 相应的临相应的临界值界值 f 若若ff ，则拒绝原假设，则拒绝原假设h0 ，表明均值之间的差，表明均值之间的差异是显著的，所检验的因素对观察值有显著影响异是显著的，所检验的因素对观察值有显著影响若若f3.32，p-值=0.0002 f f ，则，则拒绝拒绝原假设原假设h h0 0 ，表明均值之间的，表明均值之间的差异是显著的，即所检验的行因素对观察值有差异是显著的，

32、即所检验的行因素对观察值有显著影响显著影响若若f fc c f f ，则则拒绝拒绝原假设原假设h h0 0 ，表明均值之间，表明均值之间有显著差异，即所检验的列因素对观察值有显有显著差异，即所检验的列因素对观察值有显著影响著影响 双因素方差分析双因素方差分析( (例题分析例题分析) ) 提出假设提出假设对品牌因素提出的假设为对品牌因素提出的假设为h h0 0： 1 = 2 = 3 = 4 ( (品牌对销售量没有影响品牌对销售量没有影响) )h h1 1： i i ( (i i =1,2,3 ,4) =1,2,3 ,4) 不全相等不全相等( (品牌对销售量有影响品牌对销售量有影响) )对地区因素

33、提出的假设为对地区因素提出的假设为h h0 0： 1 = 2 = 3 = 4 = 5 ( (地区对销售量没有影响地区对销售量没有影响) )h h1 1： j ( (j j =1,2,=1,2,5) ,5) 不全相等不全相等 ( (地区对销售量有影响地区对销售量有影响) )双因素方差分析双因素方差分析( (关系强度的测量关系强度的测量) )1.1. 行平方和行平方和( (行行ss)ss)度量了品牌这个自变量对因变量度量了品牌这个自变量对因变量( (销售量销售量) )的影响效应的影响效应2.2. 列平方和列平方和( (列列ss)ss)度量了地区这个自变量对因变量度量了地区这个自变量对因变量( (销

34、售量销售量) )的影响效应的影响效应3.3. 这两个平方和加在一起则度量了两个自变量对因变量的联这两个平方和加在一起则度量了两个自变量对因变量的联合效应合效应4.4. 联合效应与总平方和的比值定义为联合效应与总平方和的比值定义为r r2 25.5. 其平方根其平方根r r反映了这两个自变量合起来与因变量之间的关反映了这两个自变量合起来与因变量之间的关系强度系强度 双因素方差分析双因素方差分析( (关系强度的测量关系强度的测量) )例题分析例题分析 品牌因素和地区因素合起来总共解释了销售品牌因素和地区因素合起来总共解释了销售量差异的量差异的83.94%83.94% 其他因素其他因素( (残差变量

35、残差变量) )只解释了销售量差异的只解释了销售量差异的16.06%16.06% r=0.9162r=0.9162，表明品牌和地区两个因素合起来，表明品牌和地区两个因素合起来与销售量之间有较强的关系与销售量之间有较强的关系 在有交互作用的双因素方差分析模型中因变量的在有交互作用的双因素方差分析模型中因变量的取值受五个因素的影响：总体的平均值；因素取值受五个因素的影响：总体的平均值；因素a a导导致的差异；因素致的差异；因素b b导致的差异；由因素导致的差异；由因素a a和因素和因素b b的的交互作用导致的差异；以及误差项。写成模型的交互作用导致的差异；以及误差项。写成模型的形式就是：形式就是：

36、ijkijiiijx)(8.3.3 8.3.3 有交互作用的双因素方差分析模型有交互作用的双因素方差分析模型8.3.3 有交互作用的双因素方差分析模型 离差平方和的分解： ssessabssbssaxxxxxxmxxkmxxrmxxsstkirjmkijijlkirjjiijrjjkiikirjmlijl 111211212121112)()()()()(sstssassbssessab有交互作用的双因素方差分析表变异来源离差平方和ss自由度df均方msf值a因素ssak-1msa=ssa/(k-1)fa=msa/mseb因素ssbr-1msb=ssb/(r-1)fb=msb/mseab交互作用ssab(k-1)(r-1)msab=ssab/(k-1)(r-1)fab=msab/mse误 差ssekr(m-1)mse=sse/kr(m-1)合 计sstn-1有交互作用的双因素方差分析步骤有交互作用的双因素方差分析步骤1、提出零假设和备择假设。双因素方差分析可以同时检验两组或三组零假设和备择假设。 要说明因素a有无显著影响，就是检验如下假设： 要说明因素b有无显著影响，就是检验如下假