第1讲平面向量的概念及线性运算

1、 MATHEMATECSl平ii向戢平面向量的概念及线性运算【2013年高考会这样考】1. 考查平面向量的线性运算.2. 考查平面向量的几何意义及其共线条件.【复习指导】本讲的复习，一是要重视基础知识，对平面向量的基本概念，加减运算等要熟练掌握， 二是要掌握好向量的线性运算，搞清这些运算法则和实数的运算法则的区 别* J K4DJI2I3HUDAOXUE *-Ol 考基自主导学基础梳理1 .向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫向量;向量的大小叫做向量的模.零向量：长度等于 0的向量，其方向是任意的.(3) 单位向量：长度等于 1的向量.0与任一向量共线.(4) 平行向量：方向相同或

2、相反的非零向量，又叫共线向量，规定：相等向量：长度相等且方向相同的向量.相反向量：长度相等且方向相反的向量.位置向量：任给一定点 0和向量a,过点0作有向线段oA= a,则点A相对于点0 的位置被向量 a所唯一确定，这时向量 OA，又常叫做点 A相对于点0的位置向量.已知n个向量，依次把这n个向量首尾相连，以第一个向量的始点为始点，第n个向量的终点为终点的向量叫做这 n个向量的和向量.4.向量的数乘运算及其几何意义2. 向量的线性运算(1)定义：实数度与方向规定如下： 內1=1川a|; 当心0时,扫，它的长入与向量a的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作泡与a的方向相同；当 & 0时，泡与

3、a的方向相反；当 冶0时，扫=0.入卩是两个实数，则(2)运算律：设 X 0)=(入)a;(H 0a = ?a + 困： a+ b)= ?a + b5. 平行向量基本定理如果a =也贝U a/ b;反之，如果 a / b,且b*0,则一定存在唯一一个实数入使a血.6. 轴上向量的坐标及其运算(1) 给定单位向量 e,能生成与它平行的所有向量的集合 xeX R 这里的单位向量 e 叫做轴I的基向量,x叫做a在I上的坐标(或数量).x的绝对值等于a的长，当a与e同方 向时，x是正数，当a与e反方向时，x是负数.(2) 轴上两个向量相等的条件是它们的坐标相等；轴上两个向量和的坐标等于两个向量 的坐标

4、的和.轴上向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标.助彥擞惮.一条规律一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个回量起点指向最后二个向量终点的 . .向量两个防范(1) 向量共线的充要条件中要注意“a工0” ,否则入可能不存在，也可能有无数个.(2) 证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线；另外，利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合.双基自测1.(人教B版教材习题改编)D是 ABC的边AB上的中点，则向量CD等于()T 1TB . BC -BAT 1TD.BC + 2BAT 1TA .

5、 - BC+ 2BAT 1 TC.BC 2BA解析如图，Cd = CB +BDT 1 TT 1 T=CB+ 2BA= BC + 2BA.答案 A2判断下列四个命题：若 a / b,贝U a= b;若 |a|= |b|,贝U a = b;若 |a|= |b|,贝U a/ b;若 a = b,贝U |a| =|b|.正确的个数是（）.C. 3A . 1B . 2解析只有正确.答案 A3. 若0, E, F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是（A.EF = OF + OE B.EF = OF OEC.EF = Of + OE d.ef= OF OE 解析 EF = eO+ of = Of Oe.

6、答案 BM 44. （2011四川）如图，正六边形 ABCDEF中，BA + CD + EF =（A. 0B.BEC.ADD.CF 解析 BA + CD + EF = DE + CD + EF = CE+ EF = CF.答案 DX=5设a与b是两个不共线向量，且向量a+ ?b与2a- b共线，则f1 = 2k,解析 由题意知：a+ ?b= k(2a b)，则有：5入=k，1k = 1,冶一答案* KADll AN 三角形法则和平行四边形法则是向量线性运算的主要方法，共起点的向量， 和用平行四边形法则，差用三角形法则.【训练2】 在 ABC中，Ab = c, AC= b,若点D满足BD = 2

7、dC，则AD =().215 2A.2b+1cB.5c-丈2 112C.3b-3cD.3b+-c解析 vBd = 2DC , aAd Ab = 2(ACAd),.3AD = 2aC + Ab72 71721AD = 3AC + 3AB= 3 b + 3c.答案 A考向三 共线向量定理及其应用【例3】？设两个非零向量 a与b不共线.若AB= a+ b, BC = 2a + 8b, CD = 3(a b).求证：A，B, D三点共线；试确定实数k,使ka+ b和a+ kb共线.审题视点先证明AB, BD共线，再说明它们有一个公共点；利用共线向量定理列出方程组求k.(1)证明 /AB = a + b

8、, bC= 2a+ 8b, cD = 3(a b). Bd = Bc + Cd = 2a +8b+ 3( a b)= 5( a + b) = 5AB. AB, Bd共线，又它们有公共点， A, B, D三点共线.解 / ka+ b与a+ kb共线，存在实数 入使ka + b= Xa + kb),即(k Xa=(入1) b.又a, b是两不共线的非零向量，- k X= Xk 1 = 0. k2 1 = 0. k= 1.方矗总结井平行向量定理的条件和结论是充要条件关系，既可以证明向量共线，也可以由向量共线求参数.利用两向量共线证明三点共线要强调有一个公共点.【训练3】(2011兰州模拟)已知a,

9、b是不共线的向量，AB =尬+ b, AC= a+ 3( X 3 R)，那么A, B, C三点共线的充要条件是().A 3= 1 入话1A . X-h 3= 2B .C. X = 1D .C三点共线得：AB = t AC,所以解析由 Ab = X + b, aC= a + 3b( X 3 R)及 A, B,X= t,Xh b= t(a+ 3)= ta+1肌即可得S所以X= 1故选D.|1 = t ,答案 D* KAOTilZHUANXIAWGTUPO示！03淨考题专项突破难点突破11有关平面向量中新定义问题解题策略年课改区高考试题可以看出高考以选择题形式考查平面向量中新定义的问题， 尢类问题的

10、特点是背景新颖,信息量大，通过它可考查学生获取信息、分析并 解决问题的能力.解答这类问题，首先需要分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本然后应匹到具体的解题过程之中，这是破解新定义信息题难点的关键所在.胡20檜泰安十校联考)定义平面向量之间的一种运算“O”如下：对任意的,b= (p:;-q),令-aOb= mq np,下面说法错误的是；Q匸：).a与共线，则怙O b= 0b肮二抑-卯只牯O b= bOa砂 rn 0 W.flOb- 故 R 错泯 C.对任意的 X R,有(Xa)O b= XaO b)O彳诵涵瘫)眩挠算较易理注致量较庆J 注意细心认真i般难质弄a= (mAB的中点若C成立则odVl, 理可能同时在线段?B ii A洛成立- C、D不可能同时在线段在缰B的延长线上反线上I【时JA1,且1 = +丄V 2,故DIA ft匡礦渎葆丄鬲魂皋舗量拆茯亍M乘:二 匸; 況，赳，傀四点共线，二是寺+丄