第三章离散小波变换

1、第三章离散小波变换3.1尺度与位移的离散化方法减小小波变换系数冗余度的做法是将小波基函数a，(t)洁宁的m,na,限定在一些离散点上取值。1. 尺度离散化：一种最通常的离散方法就是将尺度按幕级数进行离散化，即取am am( m为整数，a。1，一般取a。2 )。如果采用对数坐标，则尺度a的离散取值如图3.1所示。图3.1尺度与位移离散方法033456 了吃2. 位移的离散化：当a 2。1时，a, (t) t 。(1) 通常对 进行均匀离散取值，以覆盖整个时间轴。(2) 要求采样间隔 满足Nyquist采样定理，即采样频率大于该尺度下频率 通带的2倍。3. a, (t) = ?当m增加1时，尺度增

2、加一倍，对应的频带减小一半(见图2.2)，可见采样频率可以降低一半，即采样间隔可以增大一倍。因此，如果尺度m 0时 的间隔为Ts，则在尺度为2m时，间隔可取2mTs。此时a, (t)可表示为2m7=m7=m2m nTs 记作 m,n(t)； m,n Z为简化起见，往往把t轴用Ts归一化，这样上式就变为(3.1)mm,n(t)2刁 2mt n4. 任意函数f (t)的离散小波变换为WTf(m, n)Rf(t) m,n(t)dt(3.2)DWT与CWT不同，在尺度一位移相平面上，它对应一些如图3.1所示的离散的点，因此称之为离散小波变换。将小波变换的连续相平面离散化，显然 引出两个问题：(1)离散

3、小波变换WTf(m, n) f(t), m,n(t)是否完全表征函数f(t)的全部信息，或者说，能否从函数的离散小波变换系数重建原函数f (t)。(2 )是否任意函数f(t)都可以表示为以m,n(t)为基本单元的加权和f (t) Cm,n m,n(t) ?如果可以，系数Cm,n如何求?m,n Z上述两个问题可以归结为一个。假设条件(1)满足，可合理的选择 ，并对a,进行适当的离散(即适当的选择a0,Ts )，那么一定存在与小波序列m,n对(3.3)应的m,n序列，使得问题(1)的重建简单地表示为f(t)f , m,nm,nm,n Zm,n称为m,n的对偶，它可以由一个基本小波(t)通过位移和伸

4、缩取得:mm,n(t)2 2 2 mt n由上式，若存在g(t) L2(R)，则有g, f f,gf , m, n m, ndm,n=(f , m,nm,n, g )m,nrg , m,nm,n, fg, m,nm,n, fm,n也即gg, m,nm,nm,n故冋题（2）也成立，其中Cm,ng, m,n由于问题（1）和问题（2）是统一的, 语言描述如下：我们首先来看问题（1）,该问题的数学若小波系数f,m,n表征f（t）的全部信息，则应有当f1 f2时,f1,m,nf2 , m,nm, nm ,n或当f 0时,f, m,n =0；m, n当fi和f2很接近时,f1 ,m,n m,n Z禾口f2

5、,m, n m,nZ也必然很接近。用范数的概念来描述，即当1 f为一个很小的数时,f1 ,m,nf2,m,nm,n必然为一个很小的数，f1, m,n用数学公式来描述:f2,m,nfif2m,n也即f,m,n(3.4m,na）若要小波系数m ,n稳定的重建f，则必须有:当序列f1 , m,n m,n Z和f2,m, nm,n Z很接近时,fi和f2也很接近,Af2m,n(3.4b)m,n把（3.4a）和波变换对所有（3.4b）合到一起。我们便得到一个合理的离散小波变换，该小fL2（R）必须满足下述条件：Afll2f,m,nB|f；A, B R(3.4c)满足式(3.4c)的离散函数序列m,n；m

6、,n Z在数学上称为“框架”。3.2小波框架与离散小波变换的逆变换3.2.1小波框架(1)小波框架的定义当由基本小波(t)经伸缩和位移引出的函数族jj,k(t)a0 2a。jtkTs ；j,k Z(3.5)具有下述性质时:A|fjKBfii2;(3.6)便称j,k(t) j,k Z构成了一个小波框架, 称上式为小波框架条件，其频域表示为(3.7)(2j )(2)小波框架的性质1)满足小波框架条件的j,k(t)，其基本小波(t)必定满足容许性条件。但是并不是满足容许性条件的小波，在任意离散间隔Ts及尺度基数ao下都满足小波框架的条件。jk也构成一个框架，其框架的2)小波函数的对偶函数j,k(t)

7、22 jt上、下界是j,k(t)框架上、下界的倒数:j，k(3.8)3) 离散小波变换具有非伸缩和时移共变性。4) 离散小波变换仍然具有冗余度。3.2.2离散小波变换的逆变换与重建核问题1.离散小波变换的逆变换如离散小波序列j,k(t) j,k Z，构成一个框架，其上、下界分别为A和B，则当A B时(紧框架)，由框架概念可知离散小波变换的逆变换为1 1f(t) A f, j,k(t) j,k(t) -WTf(j,k)j,k(t)jA j,k(3.9)当A B，而A ,B比较接近时，作为一阶逼近，可取j(t)走j,k(t)(3.10)则重建公式近似为f(t)jj,k(t)j,k(t)WTf(j,

8、k) j,k(t)j,k(3.11)逼近误差的范数为Rf逼近误差就愈小。由上式可见，为了保证j,k能构成一个重建误差较小的框架就必须对基本小波在a,轴上A与B愈接近,的采样间隔提出更高要求：ao不一定等于2, Ts也不一定等于1,以便于使A和B接近于相等，可以想像，当尺度间隔愈密，位移间隔 近于覆盖整个a 半平面，B/A就愈接近于1.关于A、B与a。、，以及 ()间的关系的部分结论如下:愈小。离散栅格愈接m,nm,nZ是一个框架，则框架的上界 A、下界B满足下面的不等式:log ao(3.12)特别对紧框架有:log ao(3.13)举例：将Marr小波离散化为小波框架。Marr小波是常用的一

9、种连续小波形式。若将 Marr小波的尺度及位移分别离散化为则可证明,j,k（t）构成了一个L2（R）空间的小波框架，其框架的上界A、下界B同a0、之间的关系如表3.1表示。1） 当ao 2时，取0.75; a。J2 时，取1; a。封2时，取表3.1 Marr小波框架上、下界同a0和之间的关系a。ABB/A20.2513.09114.1831.08320.506.5467.0921.08320.754.3644.7281.08321.003.2233.5961.16121.252.0013.4541.72621.500.3254.22112.984运0.2527.27327.2781.0002

10、0.5013.67313.6391.00021.006.7686.8701.0151.502.6096.4832.4851230.5020.45720.4571.00001231.0010.17810.2791.0101231.504.6299.0091.9471240.5027.27627.2761.00001241.0013.58613.6901.0071241.506.59411.5901.758由表3.1可知:1或ao V2时，取1;均可使A B，可近似为紧框架。此时米用重建公式（3.9）可较精确地重构原函数。2)a。一定时，B/A的值随增大而增大。3)给定一个a。值，只要足够小，总可

11、以得到一个近似紧的小波框4）2.架。ao 2 ，1时，AB，不是紧框架。重建核公式（1）正交性：只有当A B 1时，框架j,k（t）变为正交基，此时经框架变换后的信息无任何冗余。但在其他情况下，框架j,k（t）并不正交，具有一定的相关性。因此经框架处理后所含的信息是有冗余的。（2）紧框架情况下的小波变换系数的相关性： 将离散小波变换的逆变换公式（3.9）重写如下:(3.14)1f(t) - WTf(j,k) j,k(t)A j,k其中WTf(j,k)Rf(t) j,k(t)dt(3.15a)WTf(j0,k0)Rf(t)j0,k0(t)dt(3.15b)将式（3.14）代入式（3.15b）得1

12、WTf(j0'k°) ARWTf(j,k) j,k(t) j0,k0(t)dtkWTf(j,k)R j,k(t)j0,k0(t)dt(3.K (j0,k0； j,k)WTf(j,k)其中K (j0,k0； j,k)j,k(t)jo，ko(t)dtj,k(t),jo，ko(t)(3.17)分析说明:(1)与连续情况一样，式（3.16）给出任意一点（jo'ko）处小波变换之值与栅格上其他各点小波变换系数之间的内在联系，称它为重建核方程, 称K为重建核，由小波框架本身决定。并不是相平面上的任意离散函数F （j,k）都可看作是某一函数的离散小波变换，只有它们之间满足（3.16

13、）时才可以被看作为某一函数的 离散小波变换序列。 无论将Marr小波如何离散，都不能使 A B 1，也即它不可能构成 L2（R）空间的正交基。（Morlet小波和DOG也是如此）3.3二进小波变换对于尺度及位移均离散化的小波序列，若取离散栅格的a。20，即相当于连续小波只在尺度上进行了二进制离散， 而位移仍取连续变化，我们称这 类小波为二进小波，表示为2k, (t)30 2七k(3.18)二进小波介于连续小波和离散小波之间，它只是对尺度参量进行了离散化, 而在时间域上的平移量仍保持连续变化，故二进小波具有时移共变性， 检测、图像处理方面十分有用。在讨论二进小波变换及逆变换公式时， 用离散小波框

14、架理论对其进行分析。在奇异性 我们仍借3.3.1二进小波变换及其逆变换设小波函数为（t），其傅里叶变换为（），若存在二常数0 A使得(2k )(3.19)此时式（3.18）定义的二进小波才是有意义的二进小波，即其逆变换存在。称式（3.19）为二进小波的稳定性条件；若 A B，则称最稳定条件。若定义函数fL2（ R）的二进小波变换系数为WT2k( ) f(t)2k, (t) 2 2 Rf(t) 才 dt(3.20)由卷积定理，设WT2k（）的傅里叶变换为WT2k（），则kWT2k ( ) F( ) 2"e j(2k )因此，稳定性条件(3.19)等价于对任意fL2(R)都有(3.21)

15、2B|f式(3.21)说明:1)二进小波2k ,(t)构成了 L2(R)的一个框架。2)二进小波2k ,(t)的小波变换公式(式(3.20)及其逆变换公式存在。二进小波变换的重建公式为f(t)kzRWT2k()2k，(t)d(3.22)其中，2k, (t)为2k, (t)的对偶框架，其上、下界分别为 B 1,A1。同离散小波框架相似，当A B时，12k, (t)- 2k, (t)(3.23)当A B时，2k,(t)的一阶近似为2k,(t)(3.24)当旦接近于1时，其重构误差减小。A得更精确的解。I 1采用高阶近似或递推的方法就可求003.3.2二进小波变换(1)与离散小波相同，二进小波也一定

16、是个允许小波，且有Al n2Al n2Bl n2Bl n2特别是，当A B时,(3.25)XdAl n2（2）二进小波变换时冗余的由框架理论可知，当不满足A B 1是，框架是冗余的，也即二进变换系数 之间具有一定的相关性，它们之间的关系满足重建核方程。紧框架情况下的重建 核方程如下：（3.23）可知，重建公式为紧框架（A B ）时，由（3.22）和f(t)1AkRWT2k()2k, (t)d(3.26)由于f(t)2k, (t)k"ft)dt当尺度为m，平移为0时,小波变换系数为mWT2m ( )2 空Rf(t)dtRWT2k ( ) 2k,(t)ddt1mkA222Rk ZRWT2

17、k(-dt dRkRWT2k(m, 0；k, )d其中dt(3.27)1m k2222此即为二进小波变换紧框架下的重建核方程。说明：由重建核方程可知，并不是任意函数序列g2k （） k Z都可以作为某一函数的二进小波变换，而只有当它们满足重建核方程时，才可以看作是某一函数 的二进小波变换。(3)二进小波变换具有平移不变性(时域平移不变性)，即若f0(t)f(t0)设f (t)的二进小波变换为WT2k (f 0(t)的二进小波变换为 WT2k()，则有(3.28)证明略(习题)aoABb/a20.2513.09114.1831.08320.506.5467.0921.08320.754.3644.7281.08321.003.2233.5961.16121.252.0013.4541.72621.500.3254.22112.9840.