第6讲空间向量及其运算

1、第6讲空间向量及其运算【2013年高考会这样考】1. 考查空间向量的线性运算及其数量积.2. 利用向量的数量积判断向量的关系与垂直.3. 考查空间向量基本定理及其意义.【复习指导】空间向量的运算类似于平面向量的运算，复习时又对比论证，重点掌握空间向量共线与垂直的条件，及空间向量基本定理的应用.沖 J KADJIZIZHUDAOEUE 01 * 考基自主导学基础梳理1. 空间向量的有关概念(1) 空间向量：在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量.相等向量：方向相同且模相等的向量.共线向量：基线互相平行或重合的向量.共面向量：平行于同一个平面的向量.2. 空间向量的线性运算及运算律(1)定义：与

2、平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算，如下：OB = OA+ AB = a + b; BA = OA OB = a- b; OP=?a(入 R).运算律：(1)加法交换律：a+ b= b+ a.(3)加法结合律：(a + b) + c= a+ (b+ c).数乘分配律： X a+ b)= :a + ?b.3. 空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念 两向量的夹角已知两个非零向量 a, b,在空间任取一点 0,作OA= a, OB = b,则/ AOB叫做向量a 与b的夹角，记作a, b,其范围是0W a, b> < n,若a, b>=才，则称a与b互相

3、 垂直，记作a丄b. 两向量的数量积已知空间两个非零向量a, b则|a|bCos a, b>叫做向量a, b的数量积，记作 a b,即a b= |a|bCosa, b>.(2) 空间向量数量积的运算律a b= ba; 结合律：(；a)b=Xab); 交换律： 分配律：a (b + c)= ab+ a c.4. 基本定理(1) 共线向量定理：两个空间向量a、b(b工0), a / b的充要条件是存在唯一实数x，使a=xb.共面向量定理：如果两个向量a, b不共线，则向量 c与向量a, b共面的充要条件是存在唯一实数 X, y使c= xa+ yb.(3) 空间向量基本定理：如果三个向量

4、a, b, c不共面，那么对空间任一向量P,存在一个唯一的有序实数组 X, y,乙使p= xa +yb+ zc.曇 < 博:一种方法用空间向量解决几何问题的一般方法步骤是:（1）适当的选取基底a, b, c;（2）用a, b, c表示相关向量；（3）通过运算完成证明或计算问题.两个理解（1）共线向量定理还可以有以下几种形式： a= b? a/b; 空间任意两个向量，共线的充要条件是存在入 吐R使b= pb. 若OA, OB不共线，则 P, A, B三点共线的充要条件是 OP = bA + pOB且 H 尸1. 对于共.面向量定理和空一间向量基本定理可对比共线向量定理进行学习理解.空间向一

5、一.线线平量基本定理是适当选取基底的依据,共线向.量定理和共面向量定理是证明三点共线、 行、四点共面、一线面平行的工具，.三个定.理保证了由向量作为桥梁由实数运算方法完成几何一 证明问题的完美“嫁接”.四种运算空间向量的.四种运算与平面向量的四种运算加法、 减法、数乘、一数量积丛形式到内容完 全一二致可类比学习.学生要特别注意共面向量的概念.而对于四种运算的运算律，要类比 实数加、减、乘的运算律进行学习.双基自测a,则（）.1.已知向量a/平面3,向量a所在直线为B. a? 3D. a / 3或 a? 3ab+ bc+CD+da=0 ；A. a / 3C. a父3于一点 答案 D2. （人教B

6、版教材习题改编）下列命题： 若A、B、C、D是空间任意四点，则有 |aI|b|=|a + b|是a、b共线的充要条件; 若a、b共线，则a与b所在直线平行;对空间任意一点 0与不共线的三点 A、)B、C,若OP = xOA + yOB + zOC（其中 x、y、z R），贝U P、A、B、C四点共面.其中不正确命题的个数是D. 4A. 1B . 2C .3解析 中四点恰好围成一封闭图形，正确； 中当a、b同向时，应有|a汁|b|= |a + b|; 中a、b所在直线可能重合； 中需满足x+y + z= 1,才有P、A、B、C四点共面. 答案 C）.B.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件3.

7、 （2012福州质检）a = b入是实数）是 a与b共线的（ A .充分不必要条件C.充要条件解析 a =?b?a/b但 b= 0, a丰0,则 allb, a）b.答案 A4. （2012舟山月考）平行六面体ABCD-AiBiCiDi中，向量AB、AD、aAi两两的夹角均为 60° 且 |AB|= 1, |AD|= 2, |aAi|= 3，则 |aSi|等于（）.D. 8A.5B.6C.4解析 设AB = a, AD = b, AAi = c,则 ACi= a+b+ c,7 2222ACi = a2+D + c + 2a b+ 2b c+ 2c a = 25, 因此 |AC 11

8、= 5.答案 A5. 在四面体 0-ABC中，oA = a, OB= b, OC = c, D为BC的中点，E为AD的中点, 则OE =（用a, b, c表示）.ADcB解析如图，Oe=2oA+ 2oD = 2oA +"015+400=和+5+c.1 11答案 a*1 b+"c2 44HQ KAOJtlANfi T*N,' UQAOXI 02 A 考向探究导析考向一空间向量的线性运算【例11 ?如图，在平行六面体 ABCDAiBiCiDi中G为 AiBD的重心，设AB= a, AD = b, AA1 = c,试用 a, b, c表示AC1, AG.审题视点正确运用空

9、间向量的加法运算用已知向量表示出未知向量.解 ACi = AB+ BC + CCi=AB+Ad+AAi=a+ b+ c.AG= AAi+ AiG-7 1 -7-7=AAi + 3（AiD + AiB）=aAi + 3（AD - AAi） + 1（Ab - AAi）=3AA1+3Ad + 3Ab=3a+3b+ 3c.方袪总结(1)通过以上表示可以看出 aCi = 3aG即证明：A、G、Ci三点共线.G为ACi的三分之一分点.，:护D(2)解决几何问题的难点是作辅助线，而利用向量解决几何问题恰好回避了这一难点问 题，把证明转化为运算.C【训练11如右图，已知 M、N分别为四面体 ABCD的面BCD

10、与面ACD的重心，且G 为 am 上一点，且 GM : GA= 1 : 3.设Ab = a, Ac = b, AD = c,试用 a, b, c 表示 Bg , BN. 解 §G=§A + Ag =bA + 3 am4,1311=-a+ 4(a+ b+ c)= 4a+ 4b+4c, bN= Ba+AN= Ba+(ac + aD)= a+3b+ *.考向二 共线共面定理的应用ivF广EJh H H【例21?如右图，已知平行六面体 ABCD-A' B C D，E、F、G、H分别是棱A D、 D C'、C C和ab的中点，求证 E、F、G、H四点共面.审题视点四点

11、共点，考虑构造有关向量，然后利用共面向量定理证明.证明 取EE?' = a、Ef = b、EH = c,则 HG = HB + BC+ Cg= DB F + 2£?' +=b- a+ 2a+ 2(ah + HE + EA)= b+ a+ 2(b a c a) = 3b-c, / H G 与 b、c共面.即E、F、G、H四点共面.方法总结证明E、F、G、H四点共线，只须证明 HG = E +归H即可，即证HG、EF、Eh三个向量共面此种方法也是证明直线与平面平行的方法.【训练2】如图在三棱柱 ABC-AiBiCi中，D为BC边上的中点, 试证AiB /平面ACiD.证明

12、设Ba = a, BB1= c, BC = b,则 Ba1 = BA+ Aa1=BA+ BB1= a + c,a a a a 1 a1ad = AB+ BD = AB + 2BC = a + 2b,ACi = AC+ CC1 = BC BA+ BB1 = b a + c,BAi = ACi 2aD , AB?平面 ACq, 因此AiB /平面ACiD.考向三空间向量数量积的应用r【例3】？如图，在四面体 S-ABC中，若SA丄BC , SB丄AC ,试证SC丄AB.审题视点可通过证明两直线的方向向量的数量积为0来证明两直线垂直.证明 取SA= a, Sb= b, Sc= c,由已知 SA丄 B

13、C, SB丄 AC,即 a (c b尸0 b (c a尸0 一得 c b a) = 0,贝U SC丄AB.方袪总结井利用空间向量的基本定理适当的选取基底，将立体几何问题转化为已知 a (C b 尸 0, b (C a 尸 0,求证 c (b a)= 0回避了传统几何法中作辅助线这一难题.以上证法同时也证明了平面几何中“三角形的三条高线交于同一点”这一命题.平行六面体ABCD-AiBiCiDi的底面ABCD是菱形，且/AiC丄平面CiBD ?请给出证明.【训练3】已知如右图所示,CiCD = / CiCB = / BCD = 60 °.(1) 求证：CiC 丄 bd ；(2) 当cd的

14、值是多少时，能使CC i(i)证明 取cd = a, CB= b, CCi= c,由已知 a|= |b|,且a, b= b, c= c, a= 60°,BD = cd CB = a b, CCi bD = c (a b)= c a c b =i|c|a| i|c|b|= 0 , cic 丄 Bd，即 Cid BD.若AiC丄平面 CiBD,aa则 AiC丄 CiD, CAi= a + b+ c, CiD = a c.- CAi CiD = 0，即(a + b+ c) (a c)= 0.整理得：3a2 |a|c|- 2 c2 = 0,(3|a 1+ 2|cD(|a|cD = 0,|a|

15、c|= 0，即 |a|=|c|.即当CCD =1时，A1C丄平面C1BD.* 113力考題专项突破规范解答14利用空间向量证明平行或垂直问题【问题研究】从近几年高考试题的命题情况来看，高考对平行、垂直关系的考查主要以线面平行，线面垂直为核心，以多面体为载体结合平面几何知识，常和角与距离的求解. 体积的计算等综合命题，同时考查判定定理、性质定理、定义以及对符号语言的识别和转化，难度以中低档题目为主.用代数运算代替空间线面关【解决方案】 建立空间直角坐标系，用坐标或基底表示相关的向量，把线面关系的逻 辑推理转化为相应直线的方向向量和平面的法向量之间的运算， 系的逻辑推理，使证明和运算过程具有程序化

16、.【示例】？(本题满分12分)(2011全国改编)如图，四棱锥 CD，侧面 SAB为等边三角形. AB= BC = 2, CD = SD= 1.(1)证明：SD丄平面SAB;求AB与平面SBC所成的角的正弦值.囲集突"(1)本题可以通过计算边边关系证明SABCD 中，AB / CD , BC 丄SD丄平面SAB,第2问也可作出 AB与 平面SBC所成的角，利用解三角形来计算，但这种方法必须加辅助线，且易找错角，故考 虑用向量法，建立恰当的空间直角坐标系是解题关键.解答示范以C为坐标原点，系 Cxyz.设 D(1,0,0)，贝y A(2,2,0)、B(0,2,0).又设 S(x, y,

17、 z)，贝y x> 0, y> 0, z> 0.>>, >>(1)证明 AS = (x 2, y 2, z), BS= (x, y 2, z), DS= (x 1 , y, z)，由 |AS|=|BS| 得寸(X- 2 2+ (y-2 2+ z2 =7x2+ (y-2 2+ z2,故 x = 1.由 |DS|= 1 得 y2 + z2= 1,又由 |B= 2 得 X2+ (y 2)2 + z2= 4 ,即 y2+ z2 4y+ 1 = 0,故 y= ； z=当.于是 S，2,护）AS_（- 1，- 2，爭）BS_（1, - 3，爭）DS_（0, 1，护）DSaS _ 0, Ds BS_ 0,故 DS丄 AS, DS丄 BS,又 ASA BS_ S,所以 SD丄平面 SAB.（6 分）故 Im- - n+2n = 0. （9 分）（2）解 设平面 SBC 的法向量 a_ （m, n, p）,贝U a丄 E3S, a丄Cb , a a Bs_0, a Cb_ 0. 又BS_ £, 3,爭）Cb_（0,2,0）, 当_ 0,0,2） _V2i 7 .取 p _ 2 得 a _ （y3, < 又AB_ （- 2,0,0）, cos AB, a_g|AB|