2018版高中数学第二章平面解析几何初步2.1.2平面直角坐标系中的基本公式学案(含解析)新

1、2.1.2平面直角坐标系中的基本公式- 学习目标导航-1. 掌握平面上两点间的距离公式和中点坐标公式.（重点）2. 了解两点的距离公式及中点公式的推导方法.（难点）3. 体会坐标法在几何中的作用.（重点）4. 坐标法在证明几何问题中的应用.（难点）_）【答案】x ( 1) = 3x,y= 1.阶段1.认知预习质疑知识梳理要点初探）教材整理两点间距离公式及中点公式基础初探阅读教材 P68P71“例 4”以上内容，完成下列问题1.已知在平面直角坐标系中两点A(xi,yi) ,B(X2,y2)，则有d(A,B) = |AE| =2 2X2X1+y2y2.已知平面直角坐标系中的两点A(xi,yi),B

2、(X2,y2)，设点Mx,y)是线段AB的中点,，X1+X2y1+y2则有x=2，y=21.如图 2-1-2，由A 4,2) ,B(4 , - 2) ,C(4,4)，是否能求出d(A,C)?【答2.(1)如图能，d(A,C) = ,|AB2+ |BC2= 10.2-1-3，若A 1,1) ,C(3,1)连线的中点为M(x,y),则x,y满足什么条件?台图 2-1-3分组讨论疑难细究3若B(3,4)，那么BC的中点M2的坐标是什么?小组合作型类型1两点的距离公式的应用例已知ABCE个顶点的坐标分别为Aa,0) ,B(a,0) ,C(0, . 3a).求证：ABC是等边三角形【精彩点拨】解答本题可

3、以尝试利用两点的距离公式求出三边长，再用三角形知识解决【自主解答】由两点的距离公式得|AB= .a+a2+(KO2= 2|a| ,| BQ=Ja2+.，3ai2=2| a|,|CA= .ali2+ U.、3a2=2|a|.IAB=|BQ=|CA,故厶ABC是等边三角形.根据边长判断三角形形状的结论主要有以下几种：等腰、等边、直角、等腰直角三角形 等.在进行判断时，一定要得出最终结果，比如一个三角形是等腰直角三角形，若我们只通 过两边长相等判定它是等腰三角形则是不正确的再练一题1.本例若改为：已知A( 1 , 1),巳 3,5) ,C(5,3)，试判断厶ABC的形状【解】d(A,B) = 3 I

4、_2+ 5 I _2=乜 42+ 62= p52 = 2 13 ,d(代 C)=f5 I _ +3d(B,C)I2+2所以|AB= |AC工丨BC，且显然三边长不满足勾股定理,【答3,2.阶段2合作探究通关名师j分组讨论疑难细究4所以ABC为等腰三角形5例已知平行A(4,2),5,7)，对角线交点为E( 3,4)，求另外两顶点C D的坐标.【导学号：45722072】【精彩点拨】 可以画图分析点的关系，借助平行四边形的性质，尝试运用中点公式列 方程组求解【自主解答】设C点坐标为(xi,yi)，则由E为AC的中点得:故C点坐标为(一 10,6) ,D点坐标为(一 11,1).1.本题是用平行四边

5、形对角线互相平分这一性质，依据中点公式列方程组求点的坐标2.中点公式常用于求与线段中点、三角形的中线、平行四边形的对角线等有关的问题，解题时一般先根据几何概念，提炼出点之间的“中点关系”，然后用中点公式列方程或方程组求解.再练一题2.已知平行四边形ABC啲三个顶点坐标分别为A(0,0) ,B(2,0) ,D(1,3)，求顶点C的坐标.【解】平行四边形的对角线互相平分，平行四边形对角线的中点坐标相同设C点坐标为C(x,y)，贝 UrO+x2 + 13 =2，x= 3,十即C3,3).4 +Xi2xi= 10,yi= 6,设D点坐标为(X2,yM，则由E为BD的中点得5 +X227 +y22 ，X

6、2= 11,得gy2=1,中点公式的应用2 +yi2 ，60+y_0+ 3_3y= 3,2 _ 2 _ 2，7探究共研型【提示】(1)要使尽可能多的已知点、直线落在坐标轴上；(2) 如果图形中有互相垂直的两条直线，则考虑其作为坐标轴；(3) 考虑图形的对称性：可将图形的对称中心作为原点、将图形的对称轴作为坐标轴 探究 2 建立不同的直角坐标系，影响最终的结果吗？【提示】 不影响.求证：ABC为等腰三角形-证明|AB= |AC-I 结论【自主解答】 如图所示，作A(XBC垂足为O以BC所在直线为x轴，0A所在直线为y轴，建立平面直角坐标系.设A(0 ,a) ,0b,0) ,C(c,0) ,Dd,

7、0)(bdc).丨AB2=IAD2+BD- DC2 2 .22 b+a=d+a+ (db)(cd), (d-b)(b+d) = (d-b)(cd)，又Td-b*0,-b-d=c-d,即b=c. |AB= |AC，故ABC为等腰三角形.名师屈蓟-1. 对于平面几何中证明边相等(或不等)、求最值等类型的题目， 可以建立恰当的平面直角坐标系，用坐标法将几何问题代数化，使复杂的逻辑思维转化为简单的代数运算，从而将复杂问题简单化2. 在建立平面直角坐标系时，要尽可能地将平面几何图形中的点、线放在坐标轴上，但不能把任意点作为特殊点坐标法的应用探究 1 如何建立平探究点卜在厶ABC中，D为BC边上任意一点(

8、D与B C不重合)，且AB=AD+BDDC【精彩点建系-设三角形各顶点的坐标把条件转化为坐标运算化简8再练一题93.已知ABC是直角三角形，斜边BC的中点为M建立适当的直角坐标系，证明：|AM1=21 Bq.【证明】 如图所示，以 RtABC勺直角边AB AC所在直线为坐标轴，建立直角坐标系设B, C两点的坐标分别为(b,0) , (0,c).因为点M是BC的中点,1.已知A( 8,- 3) ,B(5 , - 3)，则线段AB的中点坐标为(【解析】由中点坐标公式可以求得【答案】 B2. 已知A(1,2) ,B(a,6)，且 |AB= 5，则a的值为()A.4B. 4 或 2C. 2D. 2 或

9、 4【解析】 .a-12+B-?2= 5，解得 a=- 2 或 4.由两点间距离公式得|BC=0-b2+c-i)2=b2+-21 .b2+c2.所以 |AM= 1|BC.阶段3体验落实评价课矍回滞即时达标故点M的坐标为0+c，丁，即 2，2 A. I，210【答案】 D3. 以A(5,5) ,B(1,4) , Q4,1)为顶点的三角形为_ .【解析】由题意 IAB=屮 7, |AQ=屮 7, |BQ=屮 8，显然ABC为等腰三角形【答案】等腰三角形4. 若x轴上的点M到原点与到点(5 , - 3)的距离相等，则点M的坐标为 _ .【解析】设点M的坐标为(x,0),由题意知 |x| =x-52+1 + ：2,2 2即x= (x-5) + 9,解得x= 3.4 ,故所求点M的坐标为(3.4,0).【答案】(3.4,0)5. 已知矩形相邻两个顶点是A 1,3) ,B( 2,4)，若它的对角线交点在x轴上，求另外两顶点的坐标.【导学号：45722073】【解】 设对角线交点为P(x,0)，则|PA= IPB,2 2 2 2即(x+ 1) + (0 3)