ch3自测题(中值定理及导数应用)

1、一、填空题1.Xim+xln x =2.3.阶段自测题(中值定理及导数应用)函数y = x2X的极小值点为X =-丄In 2x=3t2曲线y =3tt在对应于t =1的点处的曲率为34.设 XT 0时，e2 2-ax -bx-1是比X高阶的无穷小,则 a =丄，b = -1.2 一丄In X丿二、单项选择题1.函数y = f(X)在点X =x0处导数为零是f(X)在点X = x0取到极值的(D )(A)充分但非必要条件;(C)充分必要条件；(B)必要但非充分条件;(D)非充分、非必要条件。2.设IX2罟护一 1,则点3.是极大值点；不是极值点；X1函数y = x在区间一，畑)上(e(A)(C)

2、(B)(D)是极小值点；以上结论都不一定成立.).(A)不存在最大值，不存在最小值;(B)最大值是1(C)最大值是e e ；(D)最小值是4设f(X)有二阶连续导数，且(0)=0, xmo心1=1,则(B ).X2(A)f (0)是f(x)的极大值;3(B)f (0)是f (x)的极小值;(C)(0, f (0)是曲线y = f (x)的拐点;(D)f (0)不是f (x)的极值，(0, f (0)也不是曲线y=f(x)的拐点.5设函数f(x)有三阶连续导数，且满足：f(X0)=O, f“(X0)=O, f 7X00 ;则下列结论正确的是(C )(A ) f (X0)是f (x)的极大值;(B

3、 ) f (Xo)是f (x)的极小值;(C) f(X0)不是f(x)的极值;(D)不能判别f (Xo)是否为极值。6.设f (x)在定义域内可导，函数y = f (x)图形如图所示，则导函数y = f (x)的图形为(D )。y = f (X)图象y = f(X)图象y = f (X)图象2三、求极限 （1） lim （arctanxf ；一坯兀22xln(_ arctanx)解：lim (arctanx = lim e 兀乂 JI2ln( _ arcta nx)H=lim ex_j-bc2 ln(arcta nx)lim = lim 1I 址 2丄/一arcta nx(兀兀1 +x二）X2

4、X-lim ( arctanx) =e 兀 七c兀22(cosx -1) + X(2) limo x(x sin x)lim TT+J lim 21 T x(xsi nx) T1 2一一 x2x(x -+ 14+ X4!_,13X + X3!42+ o(x )-1) + x+ o(x3)(3) lim 恳：曲2兰XT(1 -e )sin Xlim出亠皿xT(1 -e )sin X=lim2-X-X2 J1 +x2 +J1 -2x2四、设函数f （x）在（必,+=c）上满足f x)= f(x)且 f (0) =1，证明f(x)证明：令 F(x)=edf(x)则F（x）在（Y,xc）上连续7所 以

5、 F(x)=CF (X)= -e f(X)+ei f (X)三 0F(0) =e0 f (0) =1 /. F(x)=仁.f(X)=ex兀X + 2cosx 3五、（1 ）当 x（0,才时，证明 tanx+2sinxA3x证明：令 f(x) = tanx + 2sinx-3x ,f(0)=0, f(x)=sec f(0)=0， f (X)=2sec2 xta nx-2si nx=2si n x(sec3 x-1) 0，所以，f(x)X珂0,2)单调递增，f(X)f(0) =0 ,则f(x)当XE (0,?)单调递增，f(x)=tanx+2sinx-3xf(0) =0,即当 x亡(0冷)时，证明

6、 tanx + 2sinx3x(2)若0avPv -，证明不等式:2tanP-tan八二。cos Ctcos P证明：令f(x)=ta nx，贝y f (x)在o,P上连续，在(ot,P)上可导，由Lagra nge中值定理，存在红(a, P)使得 tanP - tan = sEC P( a =)_1cos匚P(- a因为n 兀P -anP -a0 a P ,所以 cosx 单调递减 2 0 ,所以f(Xo)是极小值。七、设函数f (x)在区间0, +处)上连续、可导,f(0)=0, f(x)单调增加,证明:g(x)=丄 在区间(0, +处)单调增加。Xxf (x) f X )g (x)=气,由 Lagrange 中值定理存在巴忘(0, x),使得f(x)=)x所以g(x) = f(X)- f (),因为(x) 单调增加，所以f (x) A f徉)，所以g(x) AO因此g(x)单调增加。八、求函数f(X)=1 %(x +2)2 , 10 X 000暫 y000y单增凸2-22单减凸单减凹2 + 2单增凹不存在