第三章中值定理与导数应用2

1、第二节第二节 洛必达法则洛必达法则v二、二、其他类型的未定式其他类型的未定式v三、三、小结与作业小结与作业型型、00v一、一、 未定式未定式洛必达法则型未定式解法型及一、:00定义定义.00)()(lim)()()()(型未定式或常把这种极限称为在通可能存在、也可能不存极限大，那末都趋于零或都趋于无穷与时，两个函数或如果当xfxfxfxfxaxxax.)()(lim)()(lim);()()(lim)3(; 0)()()(,)2(;)()(,0)1(xfxfxfxfxfxfxfxfxfaxfxfxaxaxax 那末那末或为无穷大或为无穷大存在存在且且都存在都存在及及点的某去心邻域内点的某去心邻

2、域内在在都趋于零都趋于零及及函数函数时时当当设设定理定理定义定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则. .证证 定义辅助函数定义辅助函数, 0),()(1 axaxxfxf, 0),()(1 axaxxfxf,),(0 xau内任取一点内任取一点在在 ,为端点的区间上为端点的区间上与与在以在以xa,)(),(11件件满足柯西中值定理的条满足柯西中值定理的条xfxf则有则有)()()()()()(afxfafxfxfxf )()( ff )(之间之间与与在在ax ,aax

3、 时时当当,)()(limaxfxfax ,)()(limaffa .)()(lim)()(limaffxfxfaax .,该法则仍然成立该法则仍然成立时时以及以及时时当当 xaxx使使用用洛洛必必达达法法则则，即即定定理理的的条条件件，可可以以继继续续满满足足型型，且且仍仍属属如如果果)(),(00)()(xfxfxfxf .)()(lim)()(lim)()(lim xfxfxfxfxfxfaxaxax.)()(lim)()(limxfxfxfxfxx 注注：例例1 1解解.tanlim0 xxx求求)()(tanlim0 xxx原式原式1seclim20 xx . 1 例例2 2解解.1

4、23lim2331 xxxxxx求求12333lim221 xxxx原式原式266lim1 xxx.23 )00()00(例例3 3解解.1arctan2limxxx 求求22111limxxx 原式原式221limxxx . 1 例例4 4解解.sinlnsinlnlim0bxaxx求求axbxbbxaxaxsincossincoslim0 原式原式. 1 )00()( axbxxcoscoslim0 例例5 5解解.3tantanlim2xxx 求求xxx3sec3seclim222 原式原式xxx222cos3coslim31 xxxxxsincos23sin3cos6lim312 xx

5、x2sin6sinlim2 xxx2cos26cos6lim2 . 3 )( 注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其它求极限方法结合使用，效果更好但与其它求极限方法结合使用，效果更好. .例例6 6解解.tantanlim20 xxxxx 求求30tanlimxxxx 原式原式xxxx6tansec2lim20 22031seclimxxx xxxtanlim310 .31 型未定式解法二、00,1 ,0 ,0例例7 7解解.lim2xxex 求求)0( xexx2lim 原式原式2limxxe . 关键关键: :将其它类型未定式化为洛必达法

6、则可解决将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型的类型 . .),00()( 型型 0)1(步骤步骤: :,10 .0100 或或例例8 8解解).1sin1(lim0 xxx 求求)( 0101 .0000 xxxxxsinsinlim0 原式原式xxxxxcossincos1lim0 . 0 型型 )2(步骤步骤: :步骤步骤: :型型00,1 ,0)3( ln01ln0ln01000取对数取对数.0 例例9 9 求求xxx 0lim解解 设设 取对数得取对数得,xxy xxylnln 0)ln(limlnlim00 xxyxx0ln000limlimlimeeyxyxxxx 1 )0(

7、0例例1010解解.lim111xxx 求求)1( xxxeln111lim 原式原式xxxe 1lnlim111lim1 xxe.1 e例例1111解解.)(cotlimln10 xxx 求求)(0 ,)(cot)ln(cotln1ln1xxxex 取对数得取对数得)ln(cotln1lim0 xxx xxxx1sin1cot1lim20 xxxxsincoslim0 , 1 .1 e原式原式例例1212解解.coslimxxxx 求求1sin1limxx 原式原式).sin1(limxx 洛必达法则失效洛必达法则失效.)cos11(limxxx 原式原式. 1 注意：洛必达法则的使用条件注意：洛必达法则的使用条件