【例31】每箱产品有10件,其次品数从0到2是等可能的(1)

1、北京领航考研名师铁军2006年考研数学预测38题31-38【例31】每箱产品有10件，其次品数从0到2是等可能的。开箱检验时，从中任取一件，如果检验为次品, 则认为该箱产品不合格而拒收。由于检验误差，假设一件正品被误判为次品的概率为2% 一件次品被漏查误判为正品的概率为10%求：（1）检验一箱产品能通过验收的概率；（2）检验10箱产品通过率不低于 90%的概率【详解】（1）设A = “一箱内有i件次品” ,i=0 , 1, 2。则A）,A1,A2两两不相容，其和为 Q,构成一个完备事件组。设事件B= “一箱产品通过验收” ，B1= “抽到一件正品”。i =0,1,2 ; P(B| BJ =0.

2、98,P(B| BJ =0.10依题意，有 P（A）=1,P（B1|Ai）=d=i3 10应用全概公式，得10-i =0.9102 1 2P(B1)=S P (A) P(B1|A)= Zi =03 i A/. P(B1) =1 -P(BJ =1 -0.9 = 0.1.又由于Bi与Bi为对立事件，再次应用全概公式有P(B) =P(B1)P(B|B1)+P(B1)P(B| B)= P(BB1)+P(BB1)= 0.9X0.98 +0.1X0.1 =0.892（2）由于各箱产品是否通过验收互不影响，则设P=P（B）=0.892 的二项分布。10箱产品中通过验收的箱数为X, X服从参数为n=10,X.

3、P 90% =PX 9 10=P X =9 +PX =1010 1 9=0.892+C10(0.892)9 0.108=0.705【例32】设随机变量X的密度函数为fx（X）-I 1 X , 1 X吒1亠”亠丄r、曰2 C求随机变量Y = X 2 +1的分布函数与密度函数。0,其他【详解】令 y =X2 +1，寫-1 ex 1,二 0 x c1,0 X2 1,1 x2 +1 2. fY（y）取非零值的范围为1，2。当1yv2时，有FY(y)二 p(丫兰 y)二 P(X2+1Ey)=P(-JX Qi)=打戶(1-|x|)dx=2.0(1-x)dx= 2(x-)2)|尸=1-(1-Jy -4f0,

4、y1.Y=X2 +1 的分布函数FY(y)=1-(1-jrh)2,1y 2i1,心1-1,1 y 2Y的密度函数为fY(y) =F (y) Jy _1i 0,其他注意：本题中y = x2 +1(1 cxcO不是单调函数，不能直接用公式求解。此例表明，先考虑随机变量的取非零值的范围，然后在此范围内求分布函数值可以简化运算。 函数的性质决定其为 0或1。【例33】袋中有n只黑球，每次从中随意取出一球，并换入一个白球，如此交换共进行 数的数学期望为a,则第n+1次从袋中任取一球为白球的概率是 至于取非零值范围之外的分布函数值，可以由分布n次。已知袋中白球n【详解】依题意，袋中白球数是一个随机变量，X

5、可取0，1，2,，n且EX =送kP(x=k)=ak若记B=第n+1次从袋中任取一球为白球”，人=“第n次交换后袋中有k个白球”X=k。则由全概率公式，得nP(B) =Z： P(Ak)P(B|Ak) kzSn=2 P(Xk zSn=2 P(Xk =Q=k) F(B|X =k)k1 na=k)-：=送 k P(X =k)=nn k=0n【例34】设一台机器上有 3个部件，在某一时刻需要对部件进行调整,3个部件需要调整的概率分别为0.1,0.2,0.3,且相互独立，任一部件需要调整即为机器需要调整。(1)求机器需要调整的概率；(2)记X为需要调整的部件数，求期望E(X)、方差D(X)。【详解】设事

6、件A为机器要调整，记 A为第i个部件需要调整，i =1,2,3.(1)显然 A = A +A2 +人，贝y P (A)=1-P( A) = 1-卩(几 +A2 + 人)=1 -P(A A .A3)(根据事件的独立性知)=1 -卩(人)卩(人)卩(人)=1-0.9x0.8x0.7 = 0.496.(2)求期望E(X)、方差D(X)有两种解法:解法一：先求X的分布律,根据分布律再求数学期望和方差。根据X的意义，显然有X=0,1,2,3.事件的记法如(1),并注意到事件之间的独立性，有P(X =0) = P(A A 汽)=0.9.8天0.7 =0.504;P(x =1)= P(A A A) + P(

7、A A 人)+ P(A 识2 A)=p (A) Pg p(A3)+ p(Ai) p(A2)p(A3)+ p(A) p(A2)p(A3)= 0.1 xO.8 咒 0.7 +0.9 X 0.2 X 0.7 + 0.9 x 0.8x 0.3 = 0.398 ;P(X =2) = P(AA2A3) +P(A A2A3) +P(AA2A3)=p (Al) P(A2)P(A3)+ P(A) P(A2)P(A3)+ P(A) P(A2)P(A3) = 0.1 X 0.2 X 0.7 +0.1 X 0.8 X 0.3 +0.9 X 0.2 X 0.3 = 0.092 ；P(X =3) = P( A1A2A3)

8、 = P(Ai) P(A2)P(A3)=0.1x0.2x0.3 = 0.006.c 0123、所以，X 0.504 0.398 0.092 0.00，E(X) =0x0.504 + 1x0.398 + 2x 0.092 +3 x 0.006 = 0.6 ,D(X) = E(X2) - (EX)2 =12 X 0.398 + 22 x 0.092 + 32 x 0.006- (0.6)2 = 0.46E（X）、方差 D（X）。解法二：可以不求X的分布律，引进新的随机变量，利用期望、方差的性质求出期望现引进新的随机变量Xi定义如下：XiJ1,第i个部件需要调整即事件A发生 ii 0,第i个部件不需

9、要调整3E(X)辽 EXi ,i3因此我们有z Xi,i i而Xi服从（0 -1）分布,E(Xi) = P(Xi =1) = P(A)，所以3E(X) =ZirnEX P(A)+ P(A2)+ P(A3) =0.1 +0.2+ 0.3 = 0.6，又因为D(Xi) = p(Xi =1)p(Xi =0) = P(A)P(A)，且 Xi之间相互独立,所以33 D(X)=2 D(Xi)=：S P(Ai)P(Ai)= P(A)P(A) + P(A2)P(A2)+P(A3)P)i ztiT= 0.1 咒 0.9 +0.2 咒 0.8 +0.3咒 0.7 =0.46.【评注】本题中解法二比解法一简单得多，

10、这就是引进新的随机变量的好处，但如何引进新的随机变量是-个难点。一般在考研试题中，总是引进Xi服从（0 -1）分布，用独立性和 S Xi来简化计算。i100件产品，其中一、二、三等品分别为80，10，10件。现在从中任抽取一件，记【例35】假设一批共J1,若抽到k等品0,若不然试求：（1 ）随机变量(k =1,2,3)X1和X2的联合分布；（2）随机变量X1和X2的相关系数。【详解】引进事件Ak T抽到k等品（k =1,2,3）由条件，知 P（A1）=0.8 ,P （A2）=0.1, P（ A3）=0.1.易见，（X1,X2）有四个可能值：（0,0），（ 0,1），（ 1,0），（ 1，1）P

11、X1PX1PX1PX1= 0,X2 7 = P(A3)=0.1,= 0,X2 =1 = P(A2)=0.1,= 1,X2 =0 = P (A1) =0.8, = 1,X2 =1 = P 伸)=0.又-P(X1X2 =0) =1又/ EX1 =0.8, DX1 =0.8x0.2 =0.16 ; EX 2 =0.1, DX 1 =0.1 x0.9 =0.09.EX1X2 =0cov(X1,X2)=2X1X2 -EX1EX2 = -0.08_ P_ cov(X1, X 2) _-0.08_ 2 JDX1 JdX2700.093【例36】一生产线上源源不断地生产成箱的零件，假设每箱平均重50千克，标准

12、差为5千克，若用最大载重量为5吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保证不超载的概率大于0.977?(=0.977 )。【详解】以Xi(i=1,2,n)表示装运的第i箱产品的实际重量，n为所求箱数。由条件 X1,X2，Xn是独立同分布随机变量(但具体分布未知)，因而总重量为T= XX- +Xn。由条件知EXi =50千克，b =75X7 =5千克.二ET =50 n千克,才=JdX i =5石千克。又随机变量 X1, X2，Xn独立同分布且数学期望和方差都存在，故根据列维一林德伯格中心极限定理,只要n充分大，随机变量 T就近似服从正态分布N(5On,25n)。由题意知

13、，所求 n应满足条件:Pr 0.977当n充分大时变量U-5Onyjn近似服从N (0,1)，可见 p 2 = 0.977，从而有空护2工2.n 98.Jn即最多只能装98箱。Xi,X2，Xn。试求在曲线f(X)下方，统计量【例37】设总体 X为连续型随机变量，概率密度函数为f(x)，从该总体抽取容量为n的简单随机样本M =maxXi对应的统计值m=mgxXi的右方的(曲边形)面积S的数学期望。【详解】设f(x)为总体X的分布函数，则S = gf (x)dx =1 - (x)dx =1 -F (m)先求M =maxXi的分布函数 G (m)的概率密度g(m)。 1兰笛寫M的分布函数G(m) =

14、P(M m) =P(maxXi m)1 m,X2 m, Xn m )= Xm)P(Xm)- P(Xn m)= Fn(m)/. M 的概率密度 g(m) =G(m) = Fn(m)】=nFn(m) f (m)因此，计算S的数学期望:5ES = E(1 -F(M )=1-EF(M )-be=1 - f F(m)，g(m)dm 、皿-he=1 - r nF-be=1 - f nF-he=1 - f nFn(x) g(x)dxn(x)f(x)dxn(x)dF(x)27n _ 1n +1n +11令t =F(x)1 - 0ntndt =1 -【例38】已知某种材料的抗压强度X N(巴CT2)，现随机地抽取10个样品进行抗压试验，测得数据如下(单位：105 Pa)：样本均值x= 457.50，样本方差s2 =35.222.(1) 求平均抗压强度 卩的矩估计值；(2) 求平均抗压强度 卩的95%的置信区间;(3)若已知b =30，求卩的95%的置信区间.【详解】(1)P=X =457.50.(2)设总体XN( Rb2),b2与卩均未知，则 卩的置信水平为1-a的置信区间为f-SZ,X +孚扎、,I JnJn 丿其中人=5( n- 1),P(tta( n1)=石.222性质：t a(n 1), =ta(n1).1 (XiX)2.V n -1 iT由