九年级数学上册专题突破讲练切线长定理和三角形的内心试题(新版)青岛版

1、切线长定理与三角形的内心【重点难点易错宜点点精谨】1. 切线长的概念经过圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。说明：“切线”和“切线长”是两个不同的概念，“切线”是直线，不可度量，是无限长的；而“切线长”是切线上一条线段的长，即圆外一点与切点之间的距离，可以度量，是有 一定长度的。2. 切线长定理从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。/ PA从圆外任意一点都可以引圆的两条切线，过圆上一点只能引圆的一条切线。 “切线长定理”为证明线段相等，角相等，弧相等，垂直关系提供了理论依 据。3. 三角形的内心与三角形各边都相切的

2、圆叫做三角形的内切圆。三角形内切圆的圆心叫做三角形的内是三角形的三个内角角 平分线的交点；三角形的内心到三边的距离相等且都等于三角形内切圆的半径。4. 切线长定理的基本图形研究如图，P 是OO 外一点，PA PB 是OO 的两条切线，直线 0P 交OO 于 D、E,交弦 AB 于C,则:符号语言：说明：(1)(2)2解析：在切线性质定理中，MD二MP,NP二NE，再根据三角形周长的定义及等量代换即可求解。解：连接 OD、OE, 丫_O 是 Rt ABC的内切圆， OD 丄 AB, OE 丄 BC。又TMD,M都是O切线，且D、P是切点， MD= MP 同理可得NP = NE。由切线长定理得：P

3、A= PB由等腰三角形三线合一性质得：由垂径定理得：AD=BD;由切线性质定理得：OAL AP,PCL AB AC= BCAt BDOBL BP/1=Z2=Z例题 如图，Rt ABC 的内切圆OO与两直角边 AB BC 分别相切于点 D、E,过劣弧6（不 包括端点 D E）上任一点P作OO的切线 MN 与 AB BC 分别交于点 M N,若OO的半径为 r, 则 Rt MBN的周长为（）B. - r2A.rC. 2rD.5r2常见的辅助线是连接经过切点的半径，结合切线长定理可知3.cRtMBN=MB BN NM=MB BN NP PM=MB MDBN NE= BD + BE= 2r。.选 Co

4、答案：C点拨：涉及到圆的切线性质定理或判定定理时，最常见4利用切线长定理进行推理证明“切线长定理”为证明线段相等，角相等，弧相等，垂直关系提供了理论依据。必须掌 握并能灵活应用它进行相关的计算和证明。满分训练 已知OO中，AC 为直径，MA MB 分别切OO于点AB。（I）如图，若/ BAC= 25,求/ AMB 的大小；（n）如图，过点 B 作BD丄AC于点 E,交OO于点 D,若 B MA 求/ AMB 的大 小。解析：（1）由切线与经过切点的半径垂直，/ BAC= 25,易算/ MAB 再由切线长定理，可得 MA= MB 则/ MBAFZMAB 得解。（2）连接 BA BD,可得平行四边

5、形 BMAD 是菱形，由AB=AD，可得 BA= AD= BD,可得BAD 为等边三角形，从而可得/AMB0。答案：解：(I)：MA 切OO于点 A,有/MAC =90。又/ BAC= 25, NMAB =NMAC NBAC =65。： MA MB 分别切OO于点A、 B MA= MB有MAB MBA AMB =180 -(MAB . MBA) =50。（n）如图，连接 AD AB/ MA丄AC，又BD丄AC, BD/ MA 又 BD= MA 四边形 MADB 是平行四边形。 MA= MB -四边形 MADB 是菱形，有 AD= BD。又 AC 为直径，BD _ AC，得/BAD, 有AB=

6、AD。.：ABD是等边三角形，有.D = 60。在菱形 MADB 中 / AMB= . D =60。点拨：利用切线长定理时，恰当的添加辅助线，构造特殊的图形，有利于问题的 快速解决。半径，而且半径与切线垂直。对直角三角形来说，内切圆的半径a b-c（a、b是直角边，c是斜边）。图MA图5（答题时间：30 分钟）1.一个钢管放在 V 形架内（如图），O 为钢管的圆心。如果钢管的半径为25 cm，/ MPN6C. EF = AE+ BFD. EF AE+ BF确的结论有（A.B.D.AOB4.（武汉中考）如图，OA与OB外切于点 D, PC PD PE 分别是圆的切线, 切点，若/ CED-x,Z

7、ECD-y,OB的半径为 R,则DE的长度是（C、D、E 是）E、卩，则C.50 3cmD. 50 . 3 cmB. EFVAE+C.7A.兀(90_x RB.二90 - y R90C兀(180 -x RD兀(180-y R180 18090C85. 如图，PA PB 是OO的切线，AB 为切点，AC 是OO的直径，若/ P= 46，则/ BAC的周长为DO 平分/ ADC(1)求证：CD 是OO的切线;(2)若 AD= 4, BC= 9，求OO的半径 R。10.如图，AB 是OO的直径，AM 和 BN 是它的两条切线，DE 切OO于点 E,交 AM 于点 D,交 BN 于点 C,6.如图，O

8、O的外切梯形 ABCD 中，若AD / BC，那么.DOC的度数为7.如图，OOH 的点。若/ A= 50，则/ EPH=是四边形 ABCD 的内切圆,G H 是切点，点P 是优弧 EFH 上异于 E、8.(恩施州中考)如图所示,60的扇形，则扇形E、F、OC半径为1 的圆内切于一个圆心角为9.如图，AB 是OO的直径,9(1)求证：OD/ BE (2)如果 OD= 6cm, OC= 8cm,求 CD 的长。10D11.（雅安中考）如图， AB 是OO的直径，BC 为OO的切线，D 为OO上的一点，CD= CB, 延长CD 交 BA 的延长线于点 E。（1）求证：CD 为OO的切线；（2）若

9、BD 的弦心距 0F= 1,ZABD= 30，求图中阴影 部分的面积。（结果保留n）2111OPN/MPI43，所以在 Rt OPN 中，0 吐 20Nk250 cm，故选 A。2. C 解析：如下图，连接 OA 0B 贝 U OA OB 分别是/ CAB 与/ CBA 的平分线，则/ EAO=ZOAB 又 EF/ AB 则/ EOA=ZOAB=ZEAO 贝 U EA= EQ 同理可求出：FO= FB,贝 U EF=AE+ FB;3. A 解析：如图，连接 OE中结论可由切线性 质及切线长定理可得 OEL CD / 1 = / 2, / 3=74,所以/ 2+Z3= 90,可证 OEDTACO

10、D 得OD2二DECD;根据切线 长定理可得 AD= DE BC= CE所以AD - BC =CD,中结论不正确，中高应该是 AB 而不是 OA 故选 Ao4. B 解析： 由切线长定理， 知：PE= PD= PC,设/ PEC= z,所以，7PED=7PDE=( x+z), 7PCE=7PEC= z, 7PDC=7PCD=(y+z), 7DPE=(180-2x2z) , 7DPC=( 180 2y 2z),在厶 PEC中，2z + ( 180 2x 2z) + ( 180 2y 2z) =180 ,化简，得：z =( 90 x y),在四边形 PEBD 中,7EBD=( 1807DPE =

11、180 (1802x 2z) = ( 2x + 2z) = ( 2x+ 180 2x 2y) = ( 180 2y),所以，弧DE的长为：(1802y)：R=二9-yR,故选 BO180905. 23 解析：由 PA PB 是OO是切线， PA= PB,又7P= 46,/-7PAB=7PBA=67 ,又 PA 是OO是切线，AO 为半径，OALAP,7OAP= 90 ,7BAC=7OA7PAB=9067=23 o6. 90解析：若AD / BC 7ADCF7DCB= 180又TDA、DC与OO相切，17ODC-7OC= -(7ADCF7DCB =90, NDOC= 90。27. 65 解析：连

12、接OH OE因为OO是四边形ABCD勺内切圆，所以OHLAD, OELAB1而7A= 50o ,所以7HO= 130o ,所以7EPH=丄7HO= 65o。1. A 解析：由切线长定理知：/128. 6+n解析：如图所示：设OO与扇形相切于点AB,则/CAO= 90,ZACB= 30, 一半径为1 的圆内切于一个圆心角为 60的扇形， AO= 1,. CO= 2AO= 2,BC= 2=1=3,.扇形的弧长为：_=n,A则扇形的周长为：3+3+n=61809. 解析：（1）证明：过点O作O吐CD于点E。/ AM 且OO于点 A,. OAL AD 又TDO 平分/ ADC OE= OA 又TOA

13、是OO的半径。CD 是OO的切线。（2）解：过点 D 作 DF 丄 BC 于点 F。（如上图）TAM BN 分别切OO于点AB,AB 丄 AD AB 丄 BC 四边形 ABFD 是矩形。 AD= BF, AB= DR 又TAD= 4, BC= 9。 FC=9 4= 5。又TAM BN DC 分别切OO于点 A B E。. DA= DE CB= CE DC=AD+ BC= 4 + 9= 13。在 Rt DFC 中，DC= DF2+ FC。DF=、DC2-FC2= .13252=12。. AB=12.OO的半径 R 是 6。110.解析：（1）证明：连接 OETAD 和 DE 是OO 的两条切线，/ AOD=ZEOD= /21AOET弧 AE 所对的圆心角是/ AOE 弧 AE 所对的圆周角是/ ABE / ABE= / AOE2 /AOD= ZABEOD/ B 吕13(2)如下图，TBC 和 CE 是OO的两条切线， CE= CB 点 C 是线段 BE 垂直平分线 上的一点，又 OB= OE 点 0 是线段 BE 垂直平分线上的一点，.线段 0C 是线段 BE 的垂 直平分线， OCLBETOD/ BE;. OCLOD 在 Rt OCD 中，0D= 6cm, 0C= 8c