二元一次方程组应用题的常见类型归纳

1、二元一次方程组经典题型归纳 二元一次方程组是最简单的方程组， 其应用广泛，尤其是生活、生产实践中的许多问题, 大多需要通过设元、布列二元一次方程组来加以解决，现将常见的几种题型归纳如下： 一、数字问题 例1 一个两位数，比它十位上的数与个位上的数的和大 9；如果交换十位上的数与个位 上的数，所得两位数比原两位数大 27，求这个两位数. 分析：设这个两位数十位上的数为 x，个位上的数为y,则这个两位数及新两位数及其 之间的关系可用下表表示： 十位上的数 个位上的数 对应的两位数 相等关系 原两位数 X y 10 x+y 10 x+y=x+y+ 9 新两位数 y X 10y+x 10y+x=10

2、x+ y+27 解方程组10X y 9 ，得X,因此，所求的两位数是14. JOy+x =10 x 十 y+27 =4 点评：由于受一元一次方程先入为主的影响， 不少同学习惯于只设一元， 然后列一元一 次方程求解，虽然这种方法十有八九可以奏效，但对有些问题是无能为力的，象本题，如果 直接设这个两位数为 X,或只设十位上的数为 X ,那将很难或根本就想象不出关于 X的方程.- 般地，与数位上的数字有关的求数问题，一般应设各个数位上的数为 元”然后列多元方程 组解之. 二、禾U润问题 例2 一件商品如果按定价打九折出售可以盈利 20%如果打八折出售可以盈利 10元， 问此商品的定价是多少？ 分析：

3、商品的利润涉及到进价、定价和卖出价，因此，设此商品的定价为 X元，进价为 y元，则打九折时的卖出价为 0.9X元，获利(0.9x-y)元，因此得方程0.9x-y=20%y ;打八折 时的卖出价为 0.8x元，获利(0.8x-y) 元，可得方程 0.8x-y=10. 解方程组 0.9x-y=20%y x = 200 ，解得 ， 0.8x-y=10 y=150 因此，此商品定价为 200元. 点评：商品销售盈利百分数是相对于进价而言的, 润的计算一般有两种方法，一是：利润 =卖出价-进价；二是：利润=进价X利润率(盈利百分 数).特别注意 利润”和 利润率”是不同的两个概念. 三、配套问题 例3某

4、厂共有120名生产工人，每个工人每天可生产螺栓 25个或螺母20个，如果一 个螺栓与两个螺母配成一套， 那么每天安排多名工人生产螺栓， 多少名工人生产螺母，才能 使每天生产出来的产品配成最多套？ 分析：要使生产出来的产品配成最多套， 只须生产出来的螺栓和螺母全部配上套， 根据 题意，每天生产的螺栓与螺母应满足关系式： 每天生产的螺栓数X2=每天生产的螺母数X1 因 此，设安排x人生产螺栓，y人生产螺母，则每天可生产螺栓 25 x个，螺母20 y个，依题 意，得 x12 ，解之，得 X=2 50 x 2 =20y 1 y =100 故应安排20人生产螺栓，100人生产螺母. 点评：产品配套是工厂

5、生产中基本原则之一， 如何分配生产力，使生产出来的产品恰好 配套成为主管生产人员常见的问题，解决配套问题的关键是利用配套本身所存在的相等关 系，其中两种最常见的配套问题的等量关系是： (1) 二合一 ”问题：如果a件甲产品和b件乙产品配成一套，那么甲产品数的b倍等 (2) 三合一 ”问题：如果甲产品a件，乙产品b件，丙产品c件配成一套，那么各种 四、行程问题 例4在某条高速公路上依次排列着 A、B C三个加油站，A到B的距离为120千米，B 到C的距离也是120千米分别在 A、C两个加油站实施抢劫的两个犯罪团伙作案后同时以 相同的速度驾车沿高速公路逃离现场， 正在B站待命的两辆巡逻车接到指挥中

6、心的命令后立 即以相同的速度分别往 A、C两个加油站驶去，结果往 B站驶来的团伙在1小时后就被其中 一辆迎面而上的巡逻车堵截住， 而另一团伙经过3小时后才被另一辆巡逻车追赶上. 问巡逻不要误为是相对于定价或卖出价. 利 于乙产品数的a倍，即 甲产品数 乙产品数 a b 产品数应满足的相等关系式是: 甲产品数 乙产品数 丙产品数 a b c 车和犯罪团伙的车的速度各是多少? 【研析】设巡逻车、犯罪团伙的车的速度分别为 x、y千米/时，则 因此，巡逻车的速度是 80千米/时，犯罪团伙的车的速度是 40千米/时. 点评：相向而遇”和 同向追及”是行程问题中最常见的两种题型，在这两种题型中都存 在着一

7、个相等关系，这个关系涉及到两者的速度、 原来的距离以及行走的时间， 具体表现在: 相向而遇”时，两者所走的路程之和等于它们原来的距离； 同向追及”时，快者所走的路程减去慢者所走的路程等于它们原来的距离. 五、货运问题 典例5某船的载重量为300吨，容积为1200立方米，现有甲、乙两种货物要运，其中 甲种货物每吨体积为 6立方米，乙种货物每吨的体积为 2立方米，要充分利用这艘船的载重 和容积，甲、乙两重货物应各装多少吨？ 分析：充分利用这艘船的载重和容积 ”的意思是 货物的总重量等于船的载重量 ”且 货 物的体积等于船的容积” 设甲种货物装x吨，乙种货物装y吨，则 X y 二 300 X y 二

8、 300 x = 150 ，整理，得i y ，解得彳 , 6x 2y =1200 3x y = 600 y = 150 因此，甲、乙两重货物应各装 150吨. 点评：由实际问题列出的方程组一般都可以再化简， 因此，解实际问题的方程组时要注 意先化简，再考虑消元和解法，这样可以减少计算量，增加准确度化简时一般是去分母或 两边同时除以各项系数的最大公约数或移项、合并同类项等. 六、工程问题 例6某服装厂接到生产一种工作服的订货任务，要求在规定期限内完成，按照这个服 装厂原来的生产能力， 每天可生产这种服装150套，按这样的生产进度在客户要求的期限内 4 只能完成订货的 ；现在工厂改进了人员组织结构

9、和生产流程， 每天可生产这种工作服 200 5 套，这样不仅比规定时间少用 1天，而且比订货量多生产 25套，求订做的工作服是几套？ 要求的期限是几天？ 分析：设订做的工作服是 x套，要求的期限是 y天，依题意，得3 x 一 y =120 x y =120 ，整理，得 x - y = 40 x y =120 ，解得！ = 点评：工程问题与行程问题相类似， 关键要抓好三个基本量的关系， 即 工作量=工作时 间x工作效率”以及它们的变式 工作时间=工作量 勺工作效率，工作效率 =工作量 y工作时 间”其次注意当题目与工作量大小、多少无关时，通常用 二元一次方程组实际问题赏析 【知识链接】 列二元一

10、次方程组解应用题的一般步骤可概括为 审、找、列、解、答”五步，即： （1） 审：通过审题，把实际问题抽象成数学问题，分析已知数和未知数，并用字母表 示其中的两个未知数； （2） 找：找出能够表示题意两个相等关系； （3） 列：根据这两个相等关系列出必需的代数式，从而列出方程组； （4） 解：解这个方程组，求出两个未知数的值； （5） 答：在对求出的方程的解做出是否合理判断的基础上，写出答案 【典题精析】 例1（ 2006年南京市）某停车场的收费标准如下：中型汽车的停车费为 6元/辆，小型汽 车的停车费为4元/辆.现在停车场有 50辆中、小型汽车，这些车共缴纳停车费 230元，问 中、小型汽车各

11、有多少辆？ 解析：设中型汽车有 x辆，小型汽车有y辆.由题意，得 +y = 50, 6x +4y =230. .x =15, 解得， J =35. 故中型汽车有15辆，小型汽车有35辆. 例2（ 2006年四川省眉山市）某蔬菜公司收购蔬菜进行销售的获利情况如下表所示： 150y =4x 5 200 y -1 =x 25 ，解得= 3375 卜=18 T表示总工作量. 销售方式 直接销售 粗加工后销售 精加工后销售 单纯的课本内容，并不能满足学生的需要，通过补充，达到内容的完善 每吨获利(兀) 100 250 450 现在该公司收购了 140吨蔬菜，已知该公司每天能精加工蔬菜 6吨或粗加工蔬菜

12、16 吨(两种加工不能同时进行). (1)如果要求在18天内全部销售完这140吨蔬菜，请完成下列表格： 销售方式 全部直接 全部粗加工后 尽量精加工，剩余部分直接 销售 销售 销售 获利(元) (2)如果先进行精加工，然后进行粗加工，要求在 15天内刚好加工完140吨蔬菜，则 应如何分配加工时间？ 解：(1 )全部直接销售获利为： 100X140=14000 (元)； 全部粗加工后销售获利为： 250 X140=35000 (元); 尽量精加工，剩余部分直接销售获利为：450X( 6X18) + 100( 140 6X18)=51800(元) (2)设应安排x天进行精加工，y天进行粗加工. x + v = 15 由题意，得丿y Qx +16y =140. 故应安排10天进行精加工，5天进行粗加工. 【跟踪练习】 为满足市民对优质教育的需求， 某中学决定改变办学条件，计划拆除一部分旧校舍，建 造新校舍，拆除旧校舍每平方米需 80元，建新校舍每平方米需 700元.计划在年内拆除旧 校舍与建造新校舍共 7200平方米，在实施中为扩大绿地面积， 新建校舍只完成了计划的 80% 而拆除旧校舍则超过了计划的 10%结果恰好完成了原计划的拆、建总面积 . (1