第一章 鞅 第三节 离鞅的基本不等式_第1页
第一章 鞅 第三节 离鞅的基本不等式_第2页
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第一章 鞅 第三节 离鞅的基本不等式_第5页
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文档简介

1、第三节 离散鞅的基本不等式定义1-3-1 若为可积适应序列，且对每个则称为鞅差（或下鞅差）序列。命题1-3-1 若为鞅（或下鞅），则为鞅差（或下鞅差）序列。反之，为鞅差（或下鞅差）序列，则为鞅（或下鞅）。证明：设为鞅序列，则又设为鞅差，则故为鞅。（习题1-3-1，证明下鞅差的情形）定义1-3-2 设随机序列，若，且当时，则称为可料的。定义1-3-3（鞅变换） 若，为随机变量序列，定义新的序列 （1-3-1）则记。定理1-3-1 若为鞅（下鞅），为可料的（非负可料的），则是鞅（下鞅）。证明：由式（1-3-1）可知，是对可测的，因而是适应的，又因为，所以，所以是鞅（下鞅）。（习题1-3-2，证明下

2、鞅的情形）。 END推论1-3-1 若为鞅（下鞅），为停时，则必是鞅（下鞅）。证明：取则。因为，所以 ，故是可料的，非负有下界的。若若，则所以，故为鞅。（习题1-3-3 证明下鞅的情形）END定理1-3-2 （有界停时定理）设为下鞅（鞅），,为有界停时，且,则 。证明：设，则是非负可料的，所以是下鞅（鞅）。实际上，在推论1-3-1中我们已经证明了，故，从而。同时，我们令，故。此外，因为，所以，于是 （3-2）任取，记和为和在上的限制，另取，则是有界停时（习题1-3-4），且，则，将替代不等式（3-2）中的，得到，由条件期望的定义可知（习题1-3-4 证明鞅的情况）END推论1-3-2 设为下鞅

3、（鞅），,为有界停时，则 证明：因为,为有界停时，所以也是有界停时，于是因为，由定理1-3-2知，所以时，当时，所以END推论1-3-3 设为下鞅（鞅），则证明： 因为，由定理1-3-2知 又因为，定理1-3-2知所以 又再令，由引理得。END定理1-3-3 （极值不等式）设为下鞅，则对有 （） （） （）证明：取，则为停时，由定理1-3-2知，于是得 取，则也是停时，且，同样有定理1-3-2知 故 （习题1-3-5证明（）式）END推论1-3-4 设为鞅，则证明：因为是鞅，为下鞅，故注1-3-1 机序列，记定理1-3-4 设为非负下鞅，是上的任意非降右连续函数，,则有证明：因为 所以 时， 令，对上式从1到求和，得 定理1-3-5 设为非负下鞅，则对任意的，有

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