小学奥数辅导系列讲座 整数计数

1、小学奥数辅导系列讲座 整数计数2学法点拨 整数计算的学习主要应用的方法是：枚举、估算、分解质因数，然后进行恰当分析与推理，使其转化为其它易于求解的问题.     1.有一串数，任何相邻的 4个数之和都是19，从左边起第 5，10，11个数分别是3，2，8.求第4个数是几？     解：为了便于分析，我们把这一串数设为： A1,A2,A3,A4,3, A6, A7, A8, A9, 2 ,

2、8, A12根据题意我们可得， A1+ A2+ A3+ A4= A2 + A3+ A4+ 3.于是可知 A1=3，不妨继续延伸，第九个数是多少呢？第九个数仍然是3，那么其它位置的数互相之间又有什么关系呢？     经观察我们可以发现 A1、A5、 A9位置上的数是相同的，即第1个数、第5个第9个数、第13个数（1、5、9、13除以4，都余1）是相同的，同理可以得到第2个数、第6个数、第10个数（2、6、10除以4，都

3、余2）也是相同的.     有了上面的结论，那么这道题做起来就非常容易了，因为第5个数是3，那么第1、9个数也都是3，又因为第10个数是2，第11个数是8，所以第8个数为6（19-8-3-2=6），第4、8、12个数都与第8个数相同，所以第4个数是4.     答：第4个数是4.     此类题我们是否可以扩展，假如一串数相邻5个数的和都相等，会如何？相邻6个数的和都相等又会如何？相邻n(n2)个数的和都相等结果怎样？（如果把这串数按位置进行排列

4、，那么位置号除以n所得余数相同的位置上的数都相同）     1.试一试：在商店的货架上摆放着一些装糖果的盒子，已知相邻5个盒子里装的糖果数量总和相等，第1个盒子里装有80粒，第10个盒子装30粒，第12个盒子装90粒.那么第5、 6个盒子的总和是多少？     2.七个自然数排成一排，从第三个数开始，每个数都是它前面两个数之和，已知第四个数是 4，求第七个数.     解：此题尚无什么技巧去解答.根据题意设第一个数为x，第二个

5、数为y，则第三个数为x+y，第四个数为y+x+y=x+2y，那么有x+2y = 4，经讨论，x=2，y=1符合要求.所以这一排数依次为：2，1，3，4，7，11，18.即第七个数是18.     答：第七个数是18.     2.试一试：八个小朋友站成一排，玩报数的游戏，游戏规则是第一个小朋友任意报一个自然数，第二个小朋友报出第一个小朋友所报数加1的数，从第三个小朋友开始，每个人报与其相邻的前两个小朋友所报数的和，已知第5个小朋友所报的数是13，那么第八个小朋友报的是几？&#

6、160;    3.有些两位数加上49后得到三位数，而减去49后得到一位数，那么所有这样的两位数的和是多少？     解：减去49以后得到一位数的两位数有49+1，49+2，49+3，49+4，49+9.又一个两位数如果加上49以后是三位数，那么它应大于等于100-49=51，帮故符合题意的两位数有49+2，49+3，49+4，49+9综合以上，知符合条件的有8个.它们的和是49×8+（2+3+4+5+6+7+8+9）=436.     答：所得

7、两位数的和是436.     3.试一试：某些三位数加上475后得四位数，减去475后得两位数，这样的三位数有多少个？     4.从自然数1开始到100截止，所有数字的和是多少？     解：这道题如果1、2、3、4、5、6、7、8、9、1、0、1、1、1、2这些数字连加起来，岂不是很麻烦，那么我们能否把它转变成其它的形式呢？     现在我们把这些自然数分成两组，1、2、3、496、97、98

8、、99一组，100一组.到此还不是那么好计算，为了便于计算，我们在第一组的前面加上一个0，这样再适当组合，即（0、99），（1、98），（2、97）（49、50），每组里的数字和均为18，第一组的数字和是18×50=900，第二组的数字和是1+0+0=1，所以1100这100个自然数的所有数字和为901.     答：1100这100个自然数的所有数字和为901.     4.试一试：自然数250的所有数字和是多少？     5.计算1

9、155这些自然数中所有数字的和.     解：有的同学一定会问，这道题与上一题的类型不是一样吗？那么根据上一题的说法，就可以计算出结果为：把1149分成一组，150155分为另一组.这样计算出的结果应为1+1+4+9=15，15×75=1125， 1×6+5× 6 +（1+2+3+4+5）=51，1125+51=1176.想一想，这个结果对吗？那么这道题究竟应该怎样解答呢？     这道题应这样分组，把199分成一组，100149分成一

10、组，150155分成第三组.第一组再分为（0、99），（1、98），（2、97）（49、50）共50个数对，每对的数字和是18.第二组再分为：（100、149），（101、148），（102、147）（124、125）共25个数对，每对的数字和是15；第三组6个1，7个5，另有1、2、3、4.正确的结果应是（0+9+ 9）×50+（1+1+ 4+ 9）×25+ 1×6+5× 6 +（1+2+3+ 4 + 5）=1326    

11、 答：所有数字的和是1326.     综上，我们知道要结合具体的题去寻找适合于本题的解法，千万不能以点引面.     5.试一试：求3160这些自然数中所有数字的和.     6.有如下两种对自然数的运算：第一种运算将数的每一位换为它被9减的差，例如这种运算将25变为74，将197变为802；第二种运算将一个数加上111.现有一个三位数406，对它进行四次运算，每次可以是以上两种运算中的任意一种，那么所能得到的最大得数是多少？

12、0;    解：为了解题方便，不妨记第一、二种运算分别为A、B，我们考虑相继的两次运算，设在此之前所得的数为三位数x，并且此数作任意两次运算后仍保持为三位数.容易计算出先后作运算 A1， B1， A2， B2后所得的结果分别是999 -（999-x）=x，999 -（x+111）=888-x，（999-x）+111=1110-x，（x+111）+111=a+222.由此可以看出，      A1= x <

13、60;x=222 = B2，      B1= 888 - x < 1110 - x = A2.     所以后一次运算是B时才有可能得到较大的结果.     对题中所给的数406作四次运算将总得到三位数.这样由前面的分析，仅当后三次均为B时才会出现最大的结果.在此限制下，当第一次运算是A时，得到的结果是 (99

14、9-406)+111+111+111=926，当第一次运算是B时得到的结果为406+111+111+111+111=850，相比之下，926即为所求.     答：所能得到的最大数是926.     6.试一试：甲乙进行数字游戏，游戏规则有两种，用 8分别减去一个自然数的每一个数位上的数，变为一个新数，如45变为43，175变为713；用222加上一个自然数.现有一个自然数为202，经过三次操作，每次操作可以是以上两种方法中任意一种，如果谁先算出最大的数谁就为胜者，最后乙获胜，那么乙算

15、出的数是多少？     7.今有10个数：17，23，31，41，53，67，79，83，101，103.如果将它们分成两组，每组五个数，并且每组中的各数之和相等，那么把含有101的这组数从小到大排列，第二个数是多少？     解：由题知这10个数的和为：     17+23+31+41+53+67+79+83+101+103=598，所以每组中五个数的和为299（598÷2=299）.在这些数中，个位数字是的1有3个，个位数字是3的数

16、有4个，个位数字是7的数有2个，而仅有79的个位数字为9.     在含有79的那组数中，其余的四个数之和应为299-79=220，个位数字为0.因此这四个数的个位数字可能有以下三种情况：三个1和一个7，一个1和三个3，两个3和两个7.     在中，因为31+41+101=173，220-173=47，所给的10个数中没有47，故不可能.     在中，所给数中没有个位是3的数相加，和为23+53+83+103=262，262-220=42，所

17、以要从53，83，103中找出一个数用比它小42的数代替.经计算，53-42=11，83-42=41，103-42=61，其中只有41在给定的数中，所以得到一种分级方法为：（23，41，53，79，103）和（17，31，67，83，101）.     在中，个位是 7的两数之和是17+67=84.由于220-84=136，且恰有53+83=136，故此时仅有一种分组方法是：（17，53，67，79，83）和（23，31，41，101，103）.     由以上分析知，无论哪种分法，含

18、101的那组数中第二小的数总是31.     答：含101的那组数中第二小的数是31.     7.试一试：今有9个数：11，13，15，19，100，75，71，32，42如果将它们分成三组，每组三个数，并且每组中的各数之和相等，那么把含有75的这组数从小到大排列，最小的数是多少？     8.将自然数N接写在每一个自然数的右面，如果得到的新数都能被N整除，那么称N为“魔术数”，在小于120的自然数中，“魔术数”有几个？  

19、   解：由题知：N接写在任意一个自然数X右面得新数XN.     若N是一位数，则XN=10X+N能被N整除，即对任何一个自然数X，10X都能被N整除，就是10应是N的倍数，则N只能是1，2，5，共3个；     若N是两位数，则XN=100X+N能被N整除，100应是N的倍数，N只能是10，20，25，50，共4个；     若N是三位数，则XN=100X+N能被N整除，1000应是N的倍数，而N<120，

20、只有100一个.     所以小于120的“魔术数”有3+4+1=8个.     答：小于120的“魔术数”有8个.     8.试一试：所有三位的“魔术数”有多少个？     9.今有一个各位数字均不相同的五位数把组成它的数字的顺序颠倒过来便组成一个新的五位数，这两个五位数的和是163535.求原五位数的百位数字.     解：把这两个五位数的两

21、个位数字相加，两万位数字相加，应得到相同的和，它均等于原五位数的万位数字与个位数字之和.两五位数的和163535是六位数，说明这个相同的和大于10，而个位数字是5意味着这个和的个位是5，于是原五位数的万位与个位数字之和是15.     从这两个五位数中划去它们的个位和万位数字将得到两个数字顺序互相颠倒的三位数.由上面的分析，这两个三位数的和是（163535-150015）÷10=1352.类似地讨论可知，此两位数百位与个位数字之和，即原五位数的千位与十位数字之和必定大于10，个位为2，所以只可能是12.  

22、0;  因此这两个三位数十位数字的2倍等于（1352-1212）÷10=14，那么这个十位数字为7.它同时又是原五位数的百位数字，因此7即为本题的答案.     答：原五位数的百位数字是7.     9.试一试：有一个每个数位上数字都一相同的四位数，这个四位数各数位上的数字颠倒，得到一个新数，新数与原数的和是12221，那么原来的四位数是什么？     10.已知A、B、C分别代表不同的数字，四个三位数AB4，B03

23、，B3C，BA1排成一行，其中任意相邻两数之差均相等，那么A+B+C等于多少？     解：由题中叙述可知：三位数B03和BA1不相等，所以依题设知后三个首位为B的三位数是按照递增或递减的顺序排列的.类似，由于AB4，B3C不等，所以前在在个数也是按照升序或降序排列的.又中间两个数的大小关系总是确定的，因此这四个数是逐渐增大或减小的，它们确实构成等差数列.     我们再来观察AB4和B03的个位数字相差1，因此对中间两个数的个位数字来说，有3-C=1，得C=2.这样B03-B3C=32-3=2

24、9，于是数列中相邻两数之差为29，而且是逐渐增加的，进而由BA1=B3C+29得A为6，再由B03-AB4=29知B为7.所以A+B+C=6+7+2=15.     答：A+B+C等于15.     10.试一试：甲、乙、丙三人站成一排，手里分别拿着写有自然数的卡片（三人彼此互不知道），东东来到他们面前发现了有趣的规律，于是他说：你们三人卡片上的数都是三位数，而且百位数字都相同；甲数的个位数字与丙数十位数字相同；你们三人卡片上的三个数十位数字构成一个等差数列（相邻两个数的差相等的数列，叫等差数列

25、.），个位数字也是一个等差数列，并且这三个数在一起，也构成等差数列.那么你能想出甲、乙、丙三人卡片上分别写着什么数吗？     11. 50枚棋子围成了一个大圆圈，依次编上号码1、2、350.从第一枚开始，按顺时针方向（第一次拿第一枚），每隔一枚拿掉一枚，剩下最后一几号？如果剩下的这枚棋子的号码是"39"，那么，第一个被取走的棋子的号码是多少？     解：我们先从简单情况分析，按顺时针方向先从第1枚拿，假如只有4枚，经过操作剩下的是第4枚.假如有5枚，最后剩下的是

26、第2枚.假如有7枚，最后剩下的是第6枚.假如有10枚，最后剩下的是第4枚当m=0时，剩下的是第2a枚.当m0时，剩下的是第2m枚.     由此可知最后剩下的是第36号（50= 25+18， 2×18=36）.     因为从36到39有4个数，所以最先拿的是第4号.     进一步得到：棋子总数为2am（a0，0m2a）枚，按顺时针方向，每隔一枚拿掉一枚，直到剩下最后一枚棋子为止.最后剩下的是第T枚，则第一次拿走的

27、是当T2m时，为T2m（2a）1枚.当T2m（2a）时，为2m2aT1枚.     答：从第一枚开始拿，那么最后剩下的是第36号；如果最后剩下的是第39枚，那么第一次拿的便是第4号.     11.试一试：有100名学生围成了一个大圆圈，依次编上号码1、2、3100.按顺时针方向，1、2报数，凡报1的学生离开，直到剩下最后一名学生为止.那么最后剩下的学生编号是几？如果剩下的这名学生的号码是"80"，那么，第一个报数的学生号码是多少？   

28、0; 方法归纳在解此类问题时，没有太多普遍解法。我们主要应多看、多练、多动脑，充分理解数与数之间的关系，然后采取恰当解法。学法点拨 整数计算的学习主要应用的方法是：枚举、估算、分解质因数，然后进行恰当分析与推理，使其转化为其它易于求解的问题.     1.有一串数，任何相邻的 4个数之和都是19，从左边起第 5，10，11个数分别是3，2，8.求第4个数是几？     解：为了便于分析，我们把这一串数设为： A1,A2,A3,A4,3, 

29、;A6, A7, A8, A9, 2 ,8, A12根据题意我们可得， A1+ A2+ A3+ A4= A2 + A3+ A4+ 3.于是可知 A1=3，不妨继续延伸，第九个数是多少呢？第九个数仍然是3，那么其它位置的数互相之间又有什么关系呢？     经观察我们可以发现 A1、A5、 A9位置上的数是相同的，即第1个数、第5个第9个数、第13个数（1、5、9、13除

30、以4，都余1）是相同的，同理可以得到第2个数、第6个数、第10个数（2、6、10除以4，都余2）也是相同的.     有了上面的结论，那么这道题做起来就非常容易了，因为第5个数是3，那么第1、9个数也都是3，又因为第10个数是2，第11个数是8，所以第8个数为6（19-8-3-2=6），第4、8、12个数都与第8个数相同，所以第4个数是4.     答：第4个数是4.     此类题我们是否可以扩展，假如一串数相邻5个数的和都相等，会如何？相邻6

31、个数的和都相等又会如何？相邻n(n2)个数的和都相等结果怎样？（如果把这串数按位置进行排列，那么位置号除以n所得余数相同的位置上的数都相同）     1.试一试：在商店的货架上摆放着一些装糖果的盒子，已知相邻5个盒子里装的糖果数量总和相等，第1个盒子里装有80粒，第10个盒子装30粒，第12个盒子装90粒.那么第5、 6个盒子的总和是多少？     2.七个自然数排成一排，从第三个数开始，每个数都是它前面两个数之和，已知第四个数是 4，求第七个数.  &#

32、160;  解：此题尚无什么技巧去解答.根据题意设第一个数为x，第二个数为y，则第三个数为x+y，第四个数为y+x+y=x+2y，那么有x+2y = 4，经讨论，x=2，y=1符合要求.所以这一排数依次为：2，1，3，4，7，11，18.即第七个数是18.     答：第七个数是18.     2.试一试：八个小朋友站成一排，玩报数的游戏，游戏规则是第一个小朋友任意报一个自然数，第二个小朋友报出第一个小朋友所报数加1的数，从第三个小朋友开始，每个人报与其相

33、邻的前两个小朋友所报数的和，已知第5个小朋友所报的数是13，那么第八个小朋友报的是几？     3.有些两位数加上49后得到三位数，而减去49后得到一位数，那么所有这样的两位数的和是多少？     解：减去49以后得到一位数的两位数有49+1，49+2，49+3，49+4，49+9.又一个两位数如果加上49以后是三位数，那么它应大于等于100-49=51，帮故符合题意的两位数有49+2，49+3，49+4，49+9综合以上，知符合条件的有8个.它们的和是49×8+（2+3+4+5+6+

34、7+8+9）=436.     答：所得两位数的和是436.     3.试一试：某些三位数加上475后得四位数，减去475后得两位数，这样的三位数有多少个？     4.从自然数1开始到100截止，所有数字的和是多少？     解：这道题如果1、2、3、4、5、6、7、8、9、1、0、1、1、1、2这些数字连加起来，岂不是很麻烦，那么我们能否把它转变成其它的形式呢？  

35、60;  现在我们把这些自然数分成两组，1、2、3、496、97、98、99一组，100一组.到此还不是那么好计算，为了便于计算，我们在第一组的前面加上一个0，这样再适当组合，即（0、99），（1、98），（2、97）（49、50），每组里的数字和均为18，第一组的数字和是18×50=900，第二组的数字和是1+0+0=1，所以1100这100个自然数的所有数字和为901.     答：1100这100个自然数的所有数字和为901.     4.试一试：自然数250

36、的所有数字和是多少？     5.计算1155这些自然数中所有数字的和.     解：有的同学一定会问，这道题与上一题的类型不是一样吗？那么根据上一题的说法，就可以计算出结果为：把1149分成一组，150155分为另一组.这样计算出的结果应为1+1+4+9=15，15×75=1125， 1×6+5× 6 +（1+2+3+4+5）=51，1125+51=1176.想一想，这个结果对吗？那么这道题究竟应该怎样解答呢？  

37、   这道题应这样分组，把199分成一组，100149分成一组，150155分成第三组.第一组再分为（0、99），（1、98），（2、97）（49、50）共50个数对，每对的数字和是18.第二组再分为：（100、149），（101、148），（102、147）（124、125）共25个数对，每对的数字和是15；第三组6个1，7个5，另有1、2、3、4.正确的结果应是（0+9+ 9）×50+（1+1+ 4+ 9）×25+ 1×6+5× 6 +（1+2+3+ 

38、4 + 5）=1326     答：所有数字的和是1326.     综上，我们知道要结合具体的题去寻找适合于本题的解法，千万不能以点引面.     5.试一试：求3160这些自然数中所有数字的和.     6.有如下两种对自然数的运算：第一种运算将数的每一位换为它被9减的差，例如这种运算将25变为74，将197变为802；第二种运算将一个数加上111.现有一个三位数406，对

39、它进行四次运算，每次可以是以上两种运算中的任意一种，那么所能得到的最大得数是多少？     解：为了解题方便，不妨记第一、二种运算分别为A、B，我们考虑相继的两次运算，设在此之前所得的数为三位数x，并且此数作任意两次运算后仍保持为三位数.容易计算出先后作运算 A1， B1， A2， B2后所得的结果分别是999 -（999-x）=x，999 -（x+111）=888-x，（999-x）+111=1110-x，（x+111）+111=a+222.由此可以看出，  &#

40、160;   A1= x < x=222 = B2，      B1= 888 - x < 1110 - x = A2.     所以后一次运算是B时才有可能得到较大的结果.     对题中所给的数406作四次运算将总得到三位数.这样由前面的分析，仅当后三次

41、均为B时才会出现最大的结果.在此限制下，当第一次运算是A时，得到的结果是 (999-406)+111+111+111=926，当第一次运算是B时得到的结果为406+111+111+111+111=850，相比之下，926即为所求.     答：所能得到的最大数是926.     6.试一试：甲乙进行数字游戏，游戏规则有两种，用 8分别减去一个自然数的每一个数位上的数，变为一个新数，如45变为43，175变为713；用222加上一个自然数.现有一个自然数为202，经过三次操作，

42、每次操作可以是以上两种方法中任意一种，如果谁先算出最大的数谁就为胜者，最后乙获胜，那么乙算出的数是多少？    7.今有10个数：17，23，31，41，53，67，79，83，101，103.如果将它们分成两组，每组五个数，并且每组中的各数之和相等，那么把含有101的这组数从小到大排列，第二个数是多少？     解：由题知这10个数的和为：     17+23+31+41+53+67+79+83+101+103=598，所以每组中五个数的和为299（59

43、8÷2=299）.在这些数中，个位数字是的1有3个，个位数字是3的数有4个，个位数字是7的数有2个，而仅有79的个位数字为9.     在含有79的那组数中，其余的四个数之和应为299-79=220，个位数字为0.因此这四个数的个位数字可能有以下三种情况：三个1和一个7，一个1和三个3，两个3和两个7.     在中，因为31+41+101=173，220-173=47，所给的10个数中没有47，故不可能.     在中，所给数中没有个位是3的数相加，和为23+53+83+103=262，262-220=42，所以要从53，83，103中找出一个数用比它小42的数代替.经计算，53-42=11，83