北师大版高中数学选修高二复数的四则运算导学案

1、做学问的功夫，是细嚼慢咽的功夫。5.2复数的四则运算一、学习目标：1、掌握复数的加法运算及意义；2.理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，深刻理解它是乘法运算的逆运算。二、学习重点 ：1 .复数的代数形式的加、减运算及其几何意义2 .复数的代数形式的乘除运算及共轲复数的概念学习难点：1 .加、减运算的几何意义2 .乘除运算三、学习方法：探析归纳，学练结合四、学习过程(一)、复习准备：1 .与复数对应的有？2 .试判断下列复数 1+4i,7 2i,6, i,20i,7i,0,0 3i在复平面中落在哪象限？并画出其对应的向量。I3 .同时用坐标和几何形式表示复数4 =1 +4i与Z2 =7

2、-2i所对应的向量，并计算 OZ1 +OZ2。向量的加减运算满足何种法则？4 .类比向量坐标形式的加减运算，复数的加减运算如何？(二)、探析新课：1.复数的加法运算及几何意义.复数的加法法则：4=a+bi与Z2 =c+di ,则 Z1+Z2 =(a+c)+(b+d)i。2例 1.设 m w R,复数乙=-+ (m - 15)i,z2 = -2 + m(m -3)i ,若乙 + z2 是虚数，求m 2m的取值范围.复数加法的几何意义：复数的加法可以按照向量的加法来进行(满足平行四边形、三角形法则) 例2、如图在复平面上复数 i, 1, 4+2i所应对的点分别是 A、B、C,求平行四边形 ABCD

3、的顶点D所对应的复数.2、复数的减法及几何意义：类比实数，规定复数的减法运算是加法运算的逆运算，即若Zi+Z=Z2,则Z叫做Z2减去Zi的差，记作Z=Z2Zi。讨论：若 乙=a +b,Z2 =c +di ,试确定Z =乙-Z2是否是一个确定的值？(引导学生用待定系数法，结合复数的加法运算进行推导，师生一起板演)复数的加法法则及几何意义：(a+bi)-(c+di) = (ac)+(bd)i ,复数的减法运算也可以按向量的减法来进行。例3.已知复数 乙=3+2i, z2 =1-3i,则复数z = z1 -z2,在复平面内对应的点位于复平面内的()A.第一象PMB.第二象限C.第三象限D.第四象限3

4、.复数代数形式的乘法运算.复数的乘法法则：(a 十bi)(c +di) =ac+bci +adi +bdi2 =(ac bd) +(ad +bc)i。共轲复数：两复数 a+bi与a-bi叫做互为共轲复数，当 b00时，它们叫做共轲虚数。注：两复数互为共轲复数，则它们的乘积为实数。例4、已知复数z =a+bi(a,b w R)且a2+b2 = 25, (3+4i)z是纯虚数，求z共轲复数.类比 二|=(1+1)(2+噌) ,试写出复数的除法法则。2- 3 (2 - 3)(23)abi(abi)(cdi)acbdbc ad.2.复数的除法法则 ：(a+bi)+(c+di)=z +2icdi(cdi

5、)(c-di)c2d2c2d2其中c -di叫做实数化因子除法运算规则：设复数a+bi(a, b R),除以c+di(c, dCR),其商为x+yi(x, yC R),即(a+bi) +o+di)=x+yi(x+yi)(c+di)=(cx dy)+(dx+cy)i. cx dy = a,(cx- dy)+(dx+cy)i=a+bi.由复数相等te义可知px + cy = b.ac +bd x = 22 ,解这个方程组，得c c +d于是有：(a+bi) y+di尸ac+bd + bc - ad i.bc-adc2d2 c2 d2丫 = 2.2 .c d2 2 a bi利用(c+di)(c di

6、)=c?+d .于是将的分母有理化得：c di原式_a bi (a bi)(c - di) _ ac bi (-di) (bc- ad)i=22c di (c di)(c-di)c d(ac bd) (bc-ad)iac bdbc-ad .= =rI2,22,22.2 1 .c dc d c dac bd bc - ad . (a+bi) +c+di)= - + i .c2 d2c2d2m - 2i ,、例5.星数z=(m = R)在复平面上对应的点不可能位于()1 2iA.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限(1 i)2复数(1)等于()1 -iA. 1 ib. -1 -iC. 1

7、-id. -1 i3、例题探析：例6、复数Z1=1+2i, Z2 = 2+i, Z3 = -1 -2i,它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数分析一：利用复数减法几何意义及复数相等，求点 D的对应复数.（三）.课堂小结：1 .两复数相加减，结果是实部、虚部分别相加减，复数的加减运算都可以按照向量的加 减法进行。2 .两复数的乘除法，共轲复数，共轲虚数五、课堂练习1,已知一m=1ni,其中m, n实数，i是虚数单位，则 m+ni=（）1 iA. 1+2iB. 1-2iC. 2+iD. 2-i22 .如果复数（m +i）（1+mi）是实数，则实数 m=（）

8、A. -l B. 1C. - 2D.233 .复数（1 -i）的虚部为（）A. 3 B. -3 C. 2 D. -24 .复平面上三点 A, B, C分别对应复数l, 2i, 5+2i,则由A, B, C所构成的三角形是（）A.直角三角形B.等腰三角形C.锐角三角形D.钝角三角形5 .已知复数z与（z+2）2 -8i均是纯虚数，则z=。1 2i 一八一6、复数的值是.3 i37 .已知复数zo =3+2i ,复数z满足 乙zo =3z+Zo,则复数z=。,2.3100，8 .已知 z =8+6i,求 z -16z 的值.z5.2复数的四则运算答案（二）、探析新课:2 .例1.解：因为z1+(m

9、 -15)i, z2 = 2 + m(m 3)i,所以m 22z15(： T2) ("5) mgFL_2m -m-4 / 2(m - 2m - 15)i因为Zi +Z2是虚数，所以 m2 2m 15#0,且 m¥2.所以m¥5 ,m 3且 m = -2(m R).例2.解：由已知oAoB,oC分别对应复数i, 1,4+2i,且bA = oA oB,bC = oCF,所以向量BABC所对应的复数分别为 -1 +i、3 + 2i ,因为BD =BA + BC ,所以向量BD对 应的复数为(-1 i) (3 2i) = 2 3i.又因为OD =OB +BD，所以OD ,

10、所对应的复数为1 + (2 + 3i) =3 + 3i.即点D对应的复数为3+3i.一4，所以 4a+3b术0,例3.解：A 点拨：z = 3+2i -1+3i =2+5 ,对应的点位于第一象限.例 4.解法一：(3+4i)(a+bi) =(3a 4b)+(4a+3b)i 是纯虚数，所以 b =3a.43.2 一 2把b=-a代入 a +b =25,得a = ±4.所以 a =4 时，b=3;a = 4 时，b =-3. 4故所求z的共轲复数为4-3i或-4+3i.解 法 二： 设 (3+4i)(a + bi) =ki(kw R 且 k 术0), 所 以a bi所以a_ ki _ k

11、i(3 -4i) _ 4k 3ki-_- _22 一 一 ,3 4i32422543k2222=一k,b = 一代入 a +b =25,得 k =25,所以卜=25时，z=4 + 3i,z=4 - 3i; 2525k = -25 时，z =-4-3i,z = -4 + 3i.例 5.答案：A点拨： m -2i = (m - 2i)(1 - 2i) = (m -4) +(-2 - 2m)i,1 2i55 ，m -4 >0,m> 4, .若Z对应的点位于第一象限，则得这样的m不存在，因此不可能位2-2m>0,、m<1.于第一象限.2点拨：(1=2= 2i(1 I). =2i

12、(1 I) =i(1+i) = _1+i ,故选 D.1-i1 -i(1 -i)(1 i) 2C,正方形的第四个顶点 D对应的复数为例6解法一：设复数Z1,Z2,Z3所对应的点为A、B、x+yi(x , y C R),是：(x+yi) (1+2i)=(x 1)+(y 2)i; ( 1 2i) ( 2+i)=1 3i.即(x1)+(y 2)i=1 3i, 解得x=2, y= 1.故点 D 对应的复数为2 i.分析二：利用原点 O正好是正方形 ABCD的中心来解.解法二：因为点 A与点C关于原点对称，所以原点。为正方形的中心，于是(2+i)+(x+yi)=0 , . x=2 , y= 1.故点 D

13、 对应的复数为 2 i.点评：根据题意画图得到的结论，不能代替论证，然而通过对图形的观察，往往能起到启迪解题思路的作用五、课堂练习m1.答案：C点拨： =1 ni,所以 m =(1 +n) +(1 n)i ,因为 m,n w R,所以1 i1 n =0, n = 13'所以3'即m+ni =2 + i.1 + n = m, m = 2.一一一,2 一 .，,2、.3-.3, 一2 .答案：A点拨：由于(m +i)(1 + mi) = (m m) + (m + 1)i是实数，所以m +1 = 0, 又因为m是实数，所以m = -1.3 .答案：D点拨：(1i)3 =13+3i2

14、i3 =2 2i,虚部为 24 .答案：A 点拨：因为 |AB|=1+22 = J5; | AC|=d(51f + 22 =2工5; |BC |=5且AB|2 +|AC|2=|BC|2,所以A, B, C构成的三角形为直角三角形.24-b =0,所以，4b-8 于 0.5 .答案：2i点拨：设2=皿9术0),则(bi十2)2 8i =(4 b2) + (4b8)i为纯虚数，所以 b = d2,'所以b = -2.b苧2.6.-17 .斛：十i点拨:10101 2i1 2i3 i3二(1 2i)(3 i) = 3 i 6i -21 7i(3 - i)(3 i)101017i.10 107. 1 -3i2一 一一Zo点拨：由已知得z = z 33 2i2i= 1+-3 = 12i3.-i.