南京市2015届高三年级第三次模拟考试数学WORD版与答案

1、市2015届高三年级第三次模拟考试2015.05注意事项：1 .本试卷共4页，包括填空题（第 1题第14题）、解答题（第15题第20题）两部分.本试 卷满分为160分，考试时间为120分钟.2 .答题前，请务必将自己的、班级、学校写在答题纸上.试题的答案写在答题纸.上对应题目的 答案空格.考试结束后，交回答题纸.参考公式样本数据X1 X2,，Xn的方差S2= 1 E (Xi - X )2 ,其中X=' E Xi .n i = 1n i=1锥体的体积公式：V=；Sh,其中S为锥体的底面积，h为锥体的高.、填空题：本大题共 14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题纸 相应位置 上

2、.3.4.5.X + yW 2,若变量x, y满足约束条件 x>1 , 则z=2x+ y的最大值是y>0,右图是一个算法流程图，则输出k的值是 .如图是甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩（单位：环）的茎叶图，则 成绩较为稳定（方差较小）的运动员 是 .（第4题图）9 7881096（第5题图）6 .记不等式x2+x6V0的解集为集合 A,函数y=lg(xa)的定义域为集合 B.若“xC A”是“xC B”的充分条件，则实数 a的取值围为.7 .在平面直角坐标系 xOy中，过双曲线C: x2y2= 1的右焦点F作x轴的垂线1,则l与双曲线C 的两条渐近线所围成的三角形的面积是.8 .

3、已知正六棱锥 P-ABCDEF的底面边长为2,侧棱长为4,则此六棱锥的体积为.9 .在 ABC中，ABC= 120 , BA = 2, BC= 3, D, E是线段 AC的三等分点，则 BD - BE的值为 .10 .记等差数列an的前n项和为Sn.若Sk 1 = 8, Sk= 0, &+i = 10,则正整数k=.11 .若将函数f(x)= I sin( x-6) I ( >0)的图象向左平移9个单位后，所得图象对应的函数为偶函数，则实数的最小值是.4x y12 .已知x, y为正实数，则的最大值为.4x+ y x+ y13 .在平面直角坐标系 xOy中，圆C的方程为(x 1)

4、2+(y1)2=9,直线l：y=kx+3与圆C相交于A, B两点，M为弦AB上一动点，以 M为圆心，2为半径的圆与圆 C总有公共点，则实数 k的取值 围为 .14 .已知a, t为正实数，函数f(x)=x22x+ a,且对任意的xC0, t,都有f(x)C a, a,若对每 一个正实数a,记t的最大值为g(a),则函数g(a)的值域为.二、解答题：本大题共 6小题，共计90分.请在答题纸指定区域作答，解答时应写出文字说明、证 明过程或演算步骤.15 .(本小题满分14分)在 ABC中，角 A, B, C所对的边分别为 a, b, c.已知acosC+ccosA= 2bcosA.(1)求角A的值

5、；(2)求sinB+sinC的取值围.16 .(本小题满分14分)在四棱锥 P ABCD 中，BC/AD, PAXPD, AD=2BC, AB=PB, E 为 PA 的中点.(第16题图)(1)求证：BE/平面PCD;(2)求证：平面 PABL平面 PCD.17 .(本小题满分14分)如图，摩天轮的半径 OA为50m,它的最低点A距地面的高度忽略不计. 地面上有一长度为 240m的景观带MN,它与摩天轮在同一竖直平面，且AM = 60m.点P从最低点A处按逆时针方向转动到最高点B处，记 AOP= , C(0,力(1)当 =2"时，求点P距地面白高度PQ;3(2)试确定 的值，使得 M

6、PN取得最大值.18 .(本小题满分16分)在平面直角坐标系 xOy中，设中心在坐标原点的椭圆C的左、右焦点分别为 Fi、F2,右准线1: x=m+1与x轴的交点为 B, BF2=m.(1)已知点(当，1)在椭圆C上，数m的值；(2)已知定点 A(-2, 0). . TA . 一 .一若椭圆C上存在点T,使得=J2,求椭圆C的离心率的取值围；TF1当m=1时，记M为椭圆C上的动点，直线 AM, BM分别与椭圆C交于另一点P, Q,若AM = ZAP , BM= BQ ,求证:入+为定值.19 .(本小题满分16分)已知函数 f(x) = x2 x+t, t>0, g(x)=lnx.(1)

7、令 h(x) = f(x)+g(x),求证：h(x)是增函数；(2)直线l与函数f(x), g(x)的图象都相切.对于确定的正实数t,讨论直线l的条数，并说明理由.20 .(本小题满分16分)已知数列an的各项均为正数，其前 n项的和为Sn,且对任意的 m, nCN*, 都有(Sm + n + S1)2 = 4a2ma2n .(1)求辿的值； a1(2)求证：an为等比数列；(3)已知数列Cn, dn满足|cn|=|dn|=an, p(p>3)是给定的正整数，数列Cn , dn的前p项的和分别为Tp,Rp,且Tp =Rp,求证：对任意正整数k(1WkWp),Ck=dk.市2015届高三年

8、级第三次模拟考试2015.05数学附加题注意事项:1 .附加题供选修物理的考生使用.2 .本试卷共40分，考试时间30分钟.3 .答题前，考生务必将自己的、班级、学校写在答题纸上.试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格.考试结束后，交回答题纸.21.【选做题】在 A、B、C、D四小题中只要选做 2题，每小题10分，共计20分.请在答 卷纸指定 区域作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.选修4-1 :几何证明选讲CD = BD CE.(第21A题图)如图，AB, AC是。的切线，ADE是。的割线，求证： BEB.选修4-2:矩阵与变换已知矩阵A= a 1 ,直线l: xy+4=0在

9、矩阵A对应的变换作用下变为 1 a直线 l : x-y+ 2a=0.(1)数a的值；(2)求 A2.C.选修4 4:坐标系与参数方程在极坐标系中，设圆 C:=4 cos与直线1:=4 ( C R)交于A, B两点，求以AB为直径的圆的极坐标方程.D .选修4 5:不等式选讲1已知头数 X, y 满足 MX，求证：2X+x2_2xy+y2 >2y+3.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答卷纸指定区域作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22 .(本小题满分10分)BD = FA如图，四棱锥 P-ABCD 中，PA 平面 ABCD, AD / BC, AB A

10、D, BC：2, AB = 1 =2.(1)求异面直线BD与PC所成角的余弦值;(2)求二面角 A PD C的余弦值.23 .(本小题满分10分)已知集合A是集合Pn=1, 2, 3,，n (n>3, nCN*)的子集，且A中恰有3个元素，同时这3个元素的和是3的倍数.记符合上述条件的集合A的个数为f(n).(1)求 f(3), f(4);(2)求f(n)(用含n的式子表示)2015.05市2015届高三第三次模拟考试数学参考答案及评分标准说明:本解答给出的解法供参考.如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查容比照评分标准制订相应的评分细则.2.对计算题，当考生的解答在某一步出现

11、错误时，如果后续部分的解答未改变该题的容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分.3.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4.只给整数分数，填空题不给中间分数.、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.2. 0.743.4.5. 甲7. 4 .38.129.11910. 9311. 2412. -313.+ OO14.(0, 1)U2二、解答题：本大题共6小题，共90分.15.解：(1)因为 acosC+ ccosA= 2bcosA,所以 sinAcosC+sinCcosA = 2sinBc

12、osA,即 sin(A+C) = 2sinBcosA.因为 A+ B+C=兀，所以 sin(A+C)= sinB.从而 sinB = 2sinBcosA. 4 分1因为 sinBw。，所以 cosA=2.因为0V Av Tt,所以A= 3c. 7分2 22(2) sinB+ sinC= sinB+ sin(-B)= sinB + sin-cosB-cos-sinB= 3sinB +/cosB= V3sin(B+j. 11 分因为 0V B< 所以 fv B+-f< 366 6一. 一一 3.所以sinB + sinC的取值围为 -2-, 73. 14分16.证明：（1）取PD的中点

13、F,连接EF, CF.因为E为PA的中点，所以 EF/AD, EF=|aD.因为1BC A AD, BC = AD ,所以EF / BC, EF = BC .所以四边形BCFE为平行四边形.所以BE / CF .因为BE平面PCD,CF平面PCD,所以BE/平面 PCD .(2)因为 AB = PB, E 为PA的中点，所以 PAXBE.因为BE/ CF,所以 PAXCF.因为PAXPD , PD 平面 PCD, CF 平面 PCD,PDACF = F,所以PAL平面 PCD.12分因为PA 平面PAB,所以平面 PAB 平面PCD.14分17.解:(1)由题意，得 PQ= 5050cos从而

14、，当=2-时，PQ= 50-50cos2r = 75.33即点P距地面的高度为 75m.(2)(方法一) 由题意，得 AQ = 50sin ,从而 MQ = 6050sin , NQ = 300-50sin又 PQ=50 50cos ,所以 tan NPQ = PQ6 sinMQ 6 5sin1-cos，tan MPQ= PQ5-5cos从而 tan MPN = tan(NPQ- MPQ)tanNPQ tan MPQ1 + tan NPQ tan MPQ6 sin6 5sin1cos55cos6 sin6 5sin1x -1 cos5 5cos12(1 cos ) 2318sin 5cose

15、(0,兀),人，、12(1 - cos )令 g()=2318sin -5cos12 x 18(sin + cos 1)(2318sin 5cos )2由 g （ ） = 0,得 sin + cos -1=0,解得=2. 11分当 e（o, 2）时，g（ ）>o, g（）为增函数；当（2,）时，g （ ）< 0, g（）为减函数,所以，当 =2时，g（）有极大值，也为最大值.因为 0V MPQv NPQV2,所以 0V MPNV2,从而当g（ ） = tan MPN取得最大值时，MPN取得最大值.即当 =2时， MPN取得最大值. 14分（方法二）以点A为坐标原点，AM为x轴建立平

16、面直角坐标系， 则圆。的方程为 x2+ (y-50)2 =502,即 x2+y2100y=0,点 M(60, 0), N(300, 0).设点 P 的坐标为(x0, y0),所以 Q (x0, 0),且 x02+y。2100y0= 0.从而tanNPQ =NQ 300-x0PQMPQMQ=PQ =60x0y0从而 tan MPN = tan( NPQ- MPQ)300-x060-x018.tan NPQ tan MPQ1 + tan NPQ tan MPQV。300 x01 +y0V。60 x0 x y0= 10y0 一 36x00+ 1800由题意知，x0= 50sin , y0= 50 5

17、0cos所以tanMPN = =（下同方法一）12(1 cos )2318sin 5cos石一、1 , x2 y2解：（1）设椭圆C的方程为02 + 2= 1（a>b>0）.a2-a2=m+1,什-g = m+ 1,o由题意，得 c解得b2=m,(m+1) c = m,c=1.所以椭圆方程为 一d+y2=1.m+1 m因为椭圆C过点,1),所以2(m+1) m=1,1解得m=2或m = i (舍去)所以m=2. 4分(2)设点 T(x, y).由借=企,得(x+2)2+y2=2(x+1)2 + y2,即 x2 + y2=2. 6 分x2+ y2= 2,由 x2 +y2_ 1 得 丫

18、2=仔一01.m+1 m '因此 CKm2mWm,解得 1wmW2.所以椭圆C的离心率,坐. 10分ym+ 13 乙(方法一) 设 M(x0, yo), P(xi, yi), Q(X2, y2),则AM = (xo+2, yo), AP= (xi+2, yi).,/口 xo+ 2= (X1 + 2),由AM= AP，得yQ="一上 xo= xi + 2( 1),八从而' 八 12分yo= yi.22日, xo ,9 / x+ 2( 1) , .9 .因为"+丫。2=1,所以12 +( yi)2= 1.Xi2即 2(y+ yi2) + 2( -i)xi+2(

19、-1)2- 1 = 0.X12因为+ yi2= 1,代入得 2 ( - 1 )xi + 3 2-4 +1 = 0.由题意知，w 1,2 1 3故 X1 = ,所以 xo=.一 + 3同理可得Xo=-. 14分因此一， 22所以+ =6. 16分(方法二) 设 M(xo, yo), P(xi, yi), Q(X2, y2).直线AM的方程为y=7(x+2).xo+22将 V= x。； 2(x+2)代入:+ y2= 1 ,得 q(xo+2猿+佑* + 44x+4黄(xo + 2)2 =0(*).因为因为x 22- + y02= 1 ,所以(*)可化为(2x0+3)x2+4y0x3x04x0= 0.

20、2 .3x0+ 4x03x0+4xoxi =-, 所以 xi = -同理3x0 4X2 = -2x0 314分2x0 + 32x0+3x0+2 ,x。一2x0+2,x。一 2+ = +xi + 2 xi 23x0+ 43x04+2 -2所以十因为 AM= AP , BM = BQ ,2x0+ 32x0 3=(x0+ 2)(2x0 + 3) + (x0 2)(2x03) = 6x0+ 2-x0+ 2即计为定值6. 16分19 .解：(1)由 h(x)=f(x) + g(x) = x2 x+t+lnx,得 h'(x)= 2x1 +1，x>0. x因为 2+；>21 =2四，所以

21、 h' (x)>0, 从而函数h(x)是增函数. 3分(2)记直线 l 分别切 f(x), g(x)的图象于点(x1, x2 x + t), (x2, lnx2),由 f(x)=2x1,得 l 的方程为 y(x2 x+t)= (2x1 1)(x x)，即 y= (2x11)x x12+t.,、11一 1由 g(x)晨得 l 的万程为 y1nx2=G(x-x2),即 y=£x+lnx2-1所以c /12x1 1 =x2x12 + t= lnx2 1(*)档土 /日.(1 +*2)2消去x1得lnx2+ / 24x2(t+1)=0(*).(1 + x)21令 F(x)=ln

22、x+'2 (t + 1),则 F'(x)=-4xx1 + x 2x2x 1(2x+ 1)(x 1)2x3 =2x32x3,x>0.由 F'(x) = 0,解得 x=1.当 0vxv1 时，F'(x)v0,当 x> 1 时，F'(x)>0,所以F(x)在(0, 1)上单调递减，在(1, +8)上单调递增,从而 F(x)min=F(1) = -t. 9 分当t= 0时，方程(*)只有唯一正数解，从而方程组(*)有唯一一组解，即存在唯一一条满足题意的直线；11分当 t>0 时，F(1)<0,由于 F(et+1)>ln(et+

23、1)- (t+ 1)= 0,13分故方程（*）在（1 , +8 ）上存在唯一解;1令 k(x)= lnx + - 1(x< 1),x由于11 X 1"=厂7=?wo,故k（x）在（0, 1上单调递减,1故当 Ovxvl 时，k(x)>k(1) = 0,即 lnx> 1-, X,(1 +x)“11 2 ,从而 lnx+ 4X25)一匕所以1111F(E)>(+/T=5+/°'又 °<就而故方程（*）在（0, 1）上存在唯一解.所以当t>0时，方程（*）有两个不同的正数解，方程组（*）有两组解.即存在两条满足题意的直线.综上

24、，当t=0时，与两个函数图象同时相切的直线的条数为1;当t>0时，与两个函数图象同时相切的直线的条数为 2. 16分20 .解：(1)由(Sm+n+S)2 = 4a2na2m,得(及+S1)2 = 4al, IP (a2+2ai)2=4al.Q2因为 ai>o, a2>0,所以 a2+2ai = a2,即一=2. 3 分ai证明：(2)(方法一)令 m=1, n = 2,得(S3+Si=4a2a4,即(2a+a2+a3)?= 4a2a4,令 m= n=2,得 S4+ Si = 2a4,即 2ai+ 32+ as = a4.所以 34 = 4a2= 8ai.又因为篝2,所以a-

25、.(Sn+2+Sl)=a42+9(Sn+1+ Si)2 a2'Sn + 1 + S由(Sm+n+Sl= 4a2na2m,得(Sn+1 + Sl=4220 , (Sn+2+ Sl)2= 4d2nd4.两式相除，得即 Si+2 + Si = 2(Sn+ 1 + Si),从而 Sn + 3+Sl = 2(Sn+2 + Sl).所以an+3=2an+2,故当n>3时，an是公比为2的等比数歹!j.又因为 3s = 2d2 = 4ai,从而 an= ai , 2 n 1, n C N* .显然，an = ai - 2厂1满足题设，因此an是首项为ai,公比为2的等比数列. 10分(方法一)

26、 在(Sm + n+Sl)2= 4a2n32m 中，令 m= n,得 &n+S=2a2n.令 m= n+ 1 ,得 S2n+ 1 + Si = 2la2n32n + 2 ,在中，用 n+1 代 n 得，S2n+2+ Si = 2a2n + 2 .一，得 a2n+1 = 2ja2na2n+2 2a2n= 2-/a2n(>/a2n + 2/a2n),一，得 a2n + 2=2a2n+22-/a2na2n+2 = 2,a2n + 2川22n+ 2 32n),由得 32n+1= Ma2na2n+2 . 8分代入，得 32n + 1 = 2a2n ；代入得 32n+2= 2a2n+1,所以

27、当上=随2=2.又名=2, a2n + 1 a2nai从而 an=ai - 2n 1, n N* .显然，an = ai -1满足题设，因此an是首项为ai,公比为2的等比数列. 10分(3)由(2)知，an= ai , 2 n 1 因为 |Cp|= |dp|= ai , 2P 1,所以 Cp= dp 或 cp = dp.Cp= dp,不妨设 Cp>0, dp<0,则 Tp>ai , 2P 1 (ai - 2P 2+ ai - 2P 3+ ai) = ai , 2P 1 ai , (2P 1 1)= ai>0.RP< - ai - 2p-1 + (ai - 2P

28、2+a1 2P飞+ ai)= - ai - 2P 1 + ai - (2P 1- 1)= - ai< 0.这与Tp=Rp矛盾，所以 cp= dp.从而 Tp-i = Rp-1.由上证明，同理可得 Cp 1 = dp 1 .如此下去，可得 Cp-2 = dp 2, Cp-3 = dp-3.，C1 = di.即对任意正整数 k(1p), Ck = dk. 16分市2015届高三第三次模拟考试数学附加题参考答案及评分标准2015.0521 .【选做题】 在A、B、C、D四小题中只能选做 2题，每小题10分，共20分.A.选修4-1 :几何证明选讲证明：因为AB是。的切线，所以 ABD= AEB

29、.又因为 BAD = EAB,所以 ABADs eab.所以同理,ABAECD AC-=CE AE"因为AB, AC是。O的切线，所以 AB=AC.因此瞿=段，即BE CD=BD CE. BE CEB.选修42:矩阵与变换解：(1)设直线l上一点Mo(xo, yo)在矩阵A对应的变换作用下变为l上点M(x, y),a 1X01 ay0ax0+ y0X0 + ay0所以 x=ax0+y0, y= x0+ ay0.代入 l 方程得（axo + y。）（x0+ay0） +2a=0,即（a1）x0（a 1）y0+2a=0.因为(刈，y0)满足x°y0+4=0,2a所以占=4,解得a

30、=2.,21r21（2）由A=21,得A2=2'12123分6分10分C.选修44：坐标系与参数方程解：以极点为坐标原点，极轴为 x轴的正半轴，建立直角坐标系，则由题意，得圆C的直角坐标方程x2+y2 4x= 0,./口 x= 0, f解得 c或y=0,x=2,y= 2.直线l的直角坐标方程y= x.,x2+y2-4x=0, 由y=x,所以 A(0, 0), B(2, 2).从而以AB为直径的圆的直角坐标方程为(x- 1)2+(y-1)2=2,即x2+y2=2x+2y. 7分将其化为极坐标方程为：22 (cos + sin ) = 0,即 =2(cos +sin ).10分D.选修4

31、5:不等式选讲证明：因为x>y,所以x-y>0,从而1 一左边=(x- y)+(x-y) + -巨+2y(x-y)>3 (x-y) (x-y) 01 c 1从而 f(n)= 6n36n2 + n, n=3k, kCN*.当 n= 3k- 1 时，贝卜 A0 I =k-1, I A1 I 2 + 2y,(X y)= 2y+3=右边.即原不等式成立. 10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共20分.22.解：(1)因为 PA 平面 ABCD, AB 平面 ABCD, AD 平面 ABCD, 所以 RA AB, PA AD.又 AD AB,故分别以AB, AD, AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系.根据条件得AD =木.从而 BD = (-1,V3, 0), PC = (1,乎,-2).所以 B(1, 0, 0), D(0,小,0), 0(1,乎，0), P(0, 0, 2).设异面直线BD, RC所成角为一 一BD PC则 cos = |cos< BD , PC > |= | 1(1,品 0) (1,挛=1-1382X即异面直线BD与P