15连续性和间断点

1、第五节詢敷的遵綾徃一、函数连续性的定义二、函数的间断点1、初等函数的连续性T<i连续函数的性质、函数连续性的定义定义：设函数J = /（X）在兀0的某邻域内有定义，且 lim /（对=/（兀0），则称函数/在X。连续.X-Xq可见,函数/（X）在点x0连续必须具备下列条件：(1)(2)/（X）在点兀0有定义,即/（兀0）存在； 极限lim f（x）存在;X- Xqlim /二/（兀0）.X Xq若/（x）在某区间上每一点都连续，则称它在该区间上 连续，或称它为该区间上的连续函数.在闭区间匕，切上的连续函数的集合记作Ca,b.又如，有理分式函数心芻在其定义域内连续.只要（2（兀0）工

2、76;，都有Hm &兀）=&兀0）XXq对自变量的增量Ax = x-x0,有函数的增量Ay = f(x) - /(x0) = /(x0 + Ax) - /(x0) 函数/(兀)在点兀°连续有下列等价命题： lim f(x) = f(x0) = lim f(x0 + Ax) = /(x0)二、函数的间断点设/(力在点%0的某去心邻域内有定义，则下列情形 之一函数于(劝在点不连续：(1) 函数/(X)在兀0无定义;(2) 函数/(x)在虽有定义，但血1 /(对不存在；XT"。Um /(x)f(%0)(3) 函数/(x)在x0虽有定义，且lim /(x)存在，但

3、xx0这样的点x0称为间断点.间断点分类：第一类间断点:/(兀0一)及/(兀)均存在，若/(x0") = /(x0+),称兀0为可去间断点.若/(兀0一)北/(%+)，称兀0为跳跃间断点第二类间断点:/(%-)及/(%+)中至少一个不存在,若其中有一个为OO ,称兀0为无穷间断点.若其中有一个为振荡，称兀0为振荡间断点. 堪垄奋耳勺理NgOOEj0E0例如：(1) y = tan xx = %为其无穷间断点x(2) y 二 sin x=0为其振荡间断点.x2_l(3) 厂x-1X = 1为可去间断点.堪苓奋耳6/X(4)y = fM = ,12，X = 1(5) y = fM = &

4、lt;x < 0x = 0x>0显然=x>l兀=1为其可去间断点.x 10 ,X + 1，Jf(0-) = -tf（o+）=l=0为其跳跃间断点.堪苓奋耳X三、初等函数的连续性基本初等函数在定义区间内连续连续函数的四则运算的结果连续连续函数的反函数连续初等函数在 定义区间内 连续连续函数的复合函数连续说明：分段函数在界点处是否连续需讨论其 左、右连续性.1、最值定理工上营解紫滋術咪洗ZHEJIANG INDUSTRY POLYTECHNIC COLLEGE定理1在闭区间上连续的函数在该区间上一定有最大y = f(xY a Z'值和最小值.xBCAy = fM2、零点存在定理o 定理 2. f(x)eCa,b,o ab x设 /(x) e Ca,b,且 f(a) = A,且/(q)/(6 < 0 >至少有一点 gw(a,b),使/© = 0 (证明略)3介值定理=则对A与B之间的任一数C,至少有好哀弟&辭妙使/(C = c.1. /(x)在点兀0连续的等价形式lim /(x) = /(x0)lim /(x0 + Ax) /(x0 ) = 0XXqAxtO2./(x)在点兀o间断的类型第一类间断点J可去间断点跳跃间断点左右极限都存在第二类间断点J无穷间断点【振荡间断点左右极限至少有一 个不存在思考