17无穷小的比较

1、第七节无穷小的比较一、无穷小的比较二、等价无穷小代换三、小结思考题【复习】. smx limX>0=推广形式lim(l + -)x =eX>00JQ机动目录上页下页返回结束一、无穷小的比较3/191.【问题】两个无穷小的和、差、积仍是无穷小【例如】观察各极限商=?1当兀0xx2?smx?x2sin 都是无穷小 V2lim =0，20 3兀X*比3工要快得多;limx->0巴1兰=1,sin工与r大致相同；X2 . 1x sin=lim sin -不存在.不可比X2°兀丁亠【结论】极限不同，反映了趋向于零的“快慢”程度不2【定义】设a,0是同一过程中的两个卿小且工0(

2、1) 如果lim = 0,就说a(x)是比0(兀)高阶的无穷小， 记作a(x)=o(j3(x)；也秘(x)为a (x)的低阶无穷/(2) 如果lim = A工0,就说0与a是同阶的无穷小；a特殊地,如果lim0 = 1,则称0与a是等价的无穷小:a记作a 0;【例如】(1) -lim1 cosx:.当工tO时丄-cos工是r高阶的无穷才BPl-cosx =o(x) (x > 0).1-COSX 1' 7xto x2 2/.当X ->0时,1-cos xx2同阶的无穷小. sinx limx->° x:.当x -> 0时,sinx与兀是等价无穷小.即 s

3、in 兀 x (x -> 0).2、代换方法【定理2】（等价无穷小代换定理）设a </，0 0但lim 存在，则lim弓=lim炉 pa a常用等价无穷小：当TTO时，sinx 兀，arcsinx 兀，tanx 工， arctanx 兀，1 2ln(l + x) - ex -1 - 1-cosx - -x a/ 1 + X 1 Xa 1 + X 1 X2n(1 + x)a 1 ax注1.上述10个等价无穷小（包括反、对、幕、 指、三）必须熟练掌握2 将兀换成VA （工）T 0都成立【教材例1】limtan7x*to sin5xlimtan7xx->° 5x解 因为v

4、 0时,tan7兀7xsin5x5兀，所以sin5x【教材例3】求Iim*n(l + 2)X->00兀33【解】当兀> oo时,ln(l )，故X X73? 3=limx2ln(ld)=limx2 y = 3X>00兀X>co兀【定义2】某一极限过程抵是0"的同阶无穷小*>0),则称濾0的反阶无穷小童【例4】证明:当兀-> 0时,tan兀-sin兀为x的三阶无穷小【证】/ limtan x-sinxlim(COS X Xsinx 1-cosx)X2= lim30 COS Xsinx limx->0 xlimx01 - COS XX2:.tan

5、 x -sin xJx的三阶无穷小【例1】求limX->O X【解】令 ex 1 = u,即 x = ln(l +w),贝当兀T 0时，有眈tO,lim 1 = lim=limxto xln(l + u) “toIlimln(l +w)wu>01lnwln(l + n)w即：当兀TO时 Xln(l + x) i【练习】求极限lim兀虻-1)XTQOx ex -1【例2】求lim塑性3° 1 一 cos X【解】 当兀 T 0时，l-cosx 1*, tan2x - 2x.2原式= lim竺=8.【说明】若未定式的分子或分母为若干个因壬的乘积，则 可对其中的任意一个或几个无

6、穷小因子作等价无 穷小代换，而不会改变原式的极限.【例3】求lim(x + l)sinxarcsin x【解】当兀 T 0时,sin兀兀， arcsin x - x.原式= limE±xtO X=lim(x + 1) = 1.【注意】不能滥用等价无穷小代换.无穷小代换原则积商可部分代换,和差只能总体代换.切记，只可对函数的因子作等价无穷小代换， 对于代数和中各无穷小一般不能分别代换. 如上【练习】极限limx(-l)用等价无穷小代换更简单1XT8Lil 衣】M K)【X】机动目录上页下页返回结束ex 1 (x > oo)X【例 4】 求 limtanXS11go sin 2x【

7、错解】 当兀T 0时，tan兀工，sin兀x.原功如器"【正确解法】当兀t 0时，sin2兀 2兀，13X3 原式二出（1好= 16tan 兀一 sin 兀=tan 兀（1一 cos 兀）x1 2机动目录上页下页返回结束【例6】求恤（1 + *尸一1兀t0cosx-1【解】当兀TO时（1+兀2）3一1 兀231 1 2cos X -1 X2叭（"-1兀一0 COS x-1-X2= lim xtO 1机动目录上页下页返回结束三、小结1、无穷小的比较【注】不是所有的无穷小都可进行比较.0是a的高阶无穷小，0是a的低阶无穷小C(h0)9 0是。的同阶无穷小设a,0对同一自变量的变化过程为无穷小，且"工00是。的等价无穷小0是a的&阶无穷小(0, 1， lim 彳二 C 工 0, a2、等价无穷小的代换：求极限的又一种方法，注意适用条件.OEEJHQE机动目录上页下页返回结束【思考题】任何两个无穷小都可以比较吗?机动目录上页下页返回结束【思考题解答】不一定例当X > +00时