哈尔滨备战中考数学复习圆的综合专项易错题

1、哈尔滨备战中考数学复习圆的综合专项易错题一、圆的综合1 . （1）如图1,在矩形 ABCD中，点 O在边AB上，/AOO/BOD,求证：AO=OB;（2）如图2, AB是。的直径，PA与。相切于点 A, OP与。相交于点C,连接CB, Z OPA=40 ；求 / ABC 的度数.【答案】（1）证明见解析；（2） 25°.【解析】试题分析：（1）根据等量代换可求得 /AOD=/ BOC,根据矩形的对边相等，每个角都是 直角，可知/A=/B=90°, AD=BC,根据三角形全等的判定 AAS证得AODZBOC,从而 得证结论.（2）利用切线的性质和直角三角形的两个锐角互余的性质

2、得到圆心角/POA的度数，然后利用圆周角定理来求 / ABC的度数.试题解析：（1） - ZAOC=Z BOD / AOC -/ COD=Z BOD-/ COD即 / AOD=Z BOC 四边形ABCD是矩形/ A=Z B=90 ； AD=BCAOD BOC.AO=OB（2）解：.AB是eO的直径，PA与eO相切于点A, .PA，AB,/ A=90 :又 / OPA=40,/ AOP=50 ,° .OB=OC, / B=/OCB.又 / AOP=/ B+Z OCB,“1 八B OCB AOP 25 . 22.图1和图2,半圆O的直径AB=2,点P （不与点A, B重合）为半圆上一点，

3、将图形延 BP折叠，分别得到点 A, O的对称点A', O',设/ABP=a.却图2(1)当a =15时，过点A作A' 0/AB,如图1,判断A西半圆O的位置关系，并说明理由.P71(2)如图2,当a.时；BA'与半圆O相切.当“二 时，。点O'落在户内上.(3)当线段BO与半圆。只有一个公共点 B时，求a的取值范围.【答案】(1) A g半圆O相切；理由见解析；(2)45;30;(3)0°<a< 30°或45° W”<90°.【解析】试题分析：(1)过。作OD,A什点D,交A行点E,利用含30&

4、#176;角的直角三角形的性 1 11a =45,当。'在尸”上时，连接AO,则质可求得 DE+OE=A' B=AB=OA,可判定 A g半圆相切；(2)当BA'与半圆相切时，可知 OB, A' H则可知II可知(3)BO =AB,利用(2)得出满足条件的可求得/ O' BA=60可求得a =30；可知当a =30时，线段O' B与圆交于O',当a =45时交于点B,结合题意可 a的范围.试题解析：(1)相切，理由如下：如图1,过。作OD过。作ODLA'吁点D,交A' B于点E,O,图口 a =15 A / AB, /AB

5、AZCA' B=3 0.DE=2A，上 OE=BE, 1DO=DE+OE= (A，1E+BE= AB=OA,A'与半圆O相切；(2)当BA与半圆。相切时，则 OB，BA', / OBA' =2 a =90 °=45 °当O'在%上时，如图2,I I连接AO ,则可知BO 2ab,/ O' AB=3,0 ° ./ABO' =60 °=3Q °(3)二.点 P, A 不重合，a>0,由(2)可知当a增大到30°时，点O'在半圆上， 当0。< av 30时点O

6、9;在半圆内，线段 BO与半圆只有一个公共点B;当a增大到450时BA'与半圆相切，即线段 BO与半圆只有一个公共点 B. 当a继续增大时，点 P逐渐靠近点B,但是点P, B不重合， a< 90 :当45 ° VB0线段BO与半圆只有一个公共点B.综上所述 0°< a<30°或 45° Wq90°.考点：圆的综合题.3.如图，已知 4ABC中，AB=AC, ZA=30°, AB=16,以AB为直径的。与BC边相交于点D,与AC交于点F,过点D作DEL AC于点E.(1)求证：DE是。的切线；(2)求CE的长；

7、(3)过点B作BG/ DF,交。于点G,求弧BG的长.【答案】(1)证明见解析(2) 8-4 J3 (3) 4兀【分析】(1)如图1,连接AD, OD,由AB为。O的直径，可得 AD± BC,再卞据AB=AC,可得 BD=DC,再卞据OA=OB,则可得 OD/ AC,继而可得 D已OD,问题得证；(2)如图2,连接BF,根据已知可推导得出 DE=；BF, CE=EF根据ZA=30°, AB=16,可 得BF=8,继而得 DE=4,由DE为。的切线，可得 ED2=EF?AE即42=CE? (16- CEO ,继 而可求得CE长；(3)如图3,连接OG,连接AD,由BG/ DF

8、,可得/ CBG4 CDF=30 ,再根据 AB=AC可 推导得出/ OBG=45 ,由OG=OB,可得/ OGB=45 ,从而可得/ BOG=90 ,根据弧长公式即 可求得？G的长度.【详解】(1)如图1,连接AD, OD;.AB为。的直径，/ ADB=90 ；即 ADXBC,.AB=AC,BD=DC,-.OA=OB,.OD/AC,.DEXAC,DEXOD,/ ODE=Z DEA=90 : .DE为。O的切线；(2)如图2,连接BF,.AB为。的直径，/ AFB=90 ,° .BF/ DE, .CD=BD,一1 一.DE=- BF, CE=EF2 / A=30 ； AB=16,.B

9、F=8,.DE=4,. DE为。O的切线，ED2=EF?AE -42=CE? (16-CE), .CE=8-4«, CE=8+4百(不合题意舍去)；(3)如图3,连接OG,连接AD,1. BG/ DF,/ CBG=Z CDF=30,°,.AB=AC,/ ABC=/ C=75 ；/ OBG=75 - 30 =45 ；.OG=OB,/ OGB=Z OBG=45 ；/ BOG=90 ,°【点睛】本题考查了圆的综合题，涉及了切线的判定、三角形中位线定理、圆周角定理、弧长公式等，正确添加辅助线、熟练掌握相关的性质与定理是解题的关键4.定义：有一个角是其邻角一半的圆内接四边形

10、叫做圆内倍角四边形.(1)如图1,四边形 ABCD内接于OO, /DCB- /ADC=/ A,求证：四边形 ABCD为圆内 接倍角四边形；(2)在(1)的条件下，。半径为5.若AD为直径，且sinA=,求 BC 的长;5若四边形ABCD中有一个角为60°,且BC=CD则四边形 ABCD的面积是(3)在(1)的条件下，记 AB=a, BC=b, CD=j AD=d,求证：d2-b2=ab+cd.图1备用图备用图【答案】(1)见解析；(2)BC=6, &5或75； (3)见解析44【解析】【分析】(1)先判断出Z ADC=180° - 2Z A.进而判断出/ABC=2/

11、A,即可得出结论；(2) 先用锐角三角函数求出 BD,进而得出AB,由(1)得出/ADB=/BDC,即可得出 结论；分两种情况：利用面积和差即可得出结论；(3)先得出 BE=BC=b, DE=DA=b,进而得出 CE=d - c,再判断出 EBCEDA,即可得出 结论.【详解】(1)设/A=a,则 /DCB=180° a. Z DCB- Z ADC=Z A, . . / ADC=/DCB / A=180 - a- a =180-2 a, ./ABC=180ZADC=2 a =2A, 四边形ABCD是。O内接倍角四边形；(2)连接BD. AD 是。的直径，Z ABD=90 :在 RtA

12、BD 中，AD=2 X 5=10sinZ A=4 ,BD=8,根5据勾股定理得： AB=6,设 / A=a,/ ADB=90° -a, / BDC=90° - %/ ADB=Z BDC,BC=AB=6；四边形ABCD是圆内接倍角四边形，/ BCD=120或/ BAD=30 :I、当 /BCD=120 时，如图 3,连接 OA, OB, OC, OD. 1 _一 BC=CD,Z BOC=Z COD, . / OCD=/OCB=/ BCD=60/ CDO=60 ，AD 是。O的直径，(为了说明 AD是直径，点O没有画在AD上) / ADC+Z BCD=180 :BC/ AD,.

13、 BC=CD, ，AB=BC=CD, . .OAB,3 、，2 75 3abcd=3Saob=3 XX 5=.44 . AB=CD. BOC, ACOD是全等的等边三角形，S四边形n、当/ BAD=30时，如图4,连接OA, OB, OC, OD.2四边形 ABCD是圆内接四边形， ，/BCD=180BAD=150BC=CD,/ BOC=Z COD,/ BCO=Z DCO=- / BCD=75 ；/ BOC=Z DOC=30 ；2，/OBA=45； ，/AOB=90：连接 AC, / DAC=- / BAD=15 :2 / ADO=Z OAB- / BAD=15 ； ：. D DAC=Z AD

14、O, . .OD/ AC,Soad=Saocd.过点C作CHI± OB于H.在 RtZxOCH 中，CH=- OC= ， 二 S 四边形 abcd=Szcod+S boc+S aob22S>A AOD=S BOC+S AOB= X 5+- X 5X 5=.2 224故答案为：75 3或75 ;1 ,四边形 ABCD是。的内接四边形， ，/BC2/ A=/ABC.2 / ABO/BC&/A,Z E=ZBCE=Z A, . . BE=BC=b, DE=DA=b, . CE=d c./ 八 /""CE BC d c b _2 /BC曰/A, /E=/E,

15、.-.AEBCAEDA,. ,/. - ,，d2-AE AD a b db2=ab+cd.【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了圆的内接四边形的性质，新定义，相似三角形的判定和性 质，等边三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解答本题的关键.5.如图，4ABC的内接三角形，P为BC延长线上一点， / PACW B, AD为。的直径, 过C作CG± AD于E,交AB于F,交。O于G.(1)判断直线PA与。O的位置关系，并说明理由；(2)求证：AG2=AFAB；(3)若。的直径为10, AC=275 AB=4j5求4AFG的面积.【答案】（1） PA与。O相切，理由见解析；（2）证明见解析；

16、（3） 3.【解析】试题分析：（1）连接CD,由AD为。的直径，可得/ACD=90,由圆周角定理，证得ZB=Z D,由已知Z PAC=Z B,可证得 DA, PA,继而可证得 PA与。O相切.（2）连接BG,易证得AF8 4AGB,由相似三角形的对应边成比例，证得结论 （3）连接BD,由AG2=AF?AB,可求得AF的长，易证得 AEFABD,即可求得 AE的长，继而可求得 EF与EG的长，则可求得答案.试题解析：解：（1） PA与OO相切.理由如下：如答图1 ,连接CD,. AD 为。的直径，/ACD=90.°/ D+/CAD=90 :. /B=/D, /PAC玄 B,，/PAC=

17、/D. / PAC吆 CAD=90 ；即 DA± PA.点A在圆上，.PA与。O相切.答圄1(2)证明：如答图2,连接BG,. AD 为。的直径，CG± AD, . . AC Ad . /AGF=Z ABG. /GAF=/ BAG,AAGFAABG.AG： AB=AF： AG. . AG2=AF?AB.(3)如答图3,连接BD, AD 是直径，/ ABD=90. AG2=AF?AB, AG=AC=2x/5, AB=4y5, ，AF=V5.-. CG± AD,/ AEF=/ ABD=90 . /EAF=/ BAD, .AEFABD.AEAB, EFAF2 AE2 1

18、 .EG ,AG2 AE24， FG EG”，即AE巨AD 4 510EF 4 1 3.解得：AE=2.考点：1.圆周角定理；2.直角三角形两锐角的关系；3.相切的判定;角形的判定和性质；6.勾股定理；7.三角形的面积4.垂径定理；5.相似三、2中分别过圆外一点6 .不用圆规、三角板，只用没有刻度白直尺，用连线的方法在图 1A作出直径BC所在射线的垂线.【答案】画图见解析.【解析】【分析】根据直角所对的圆周角是直角，构造直角三角形，利用直角三角形性质可画出垂线；或结合圆的轴对称性质也可以求出垂线【详解】解：画图如下：【点睛】本题考核知识点：作垂线 .解题关键点：结合圆的性质和直角三角形性质求出

19、垂线7 .如图，AB是。的直径，PA是。的切线，点C在。上，CB/ P0.（1）判断PC与。的位置关系，并说明理由；（2）若 AB=6, CB=4,求 PC 的长.3 -【答案】（1） PC是。的切线，理由见解析；（2） 3J52【解析】试题分析：（1）要证PC是。的切线，只要连接 OC,再证/PCO=90即可.（2）可以连接 AC,根据已知先证明 ACPPCO再根据勾股定理和相似三角形的性质 求出PC的长.试题解析：（1）结论：PC是。的切线.证明：连接OC1 . CB/ PO，/POA=/ B, /POC=/ OCB2 .OC=OB/ OCB=Z BZ POA=Z POC又. OA=OC,

20、 OP=OP3 .APOACPO/ OAP=Z OCP.PA是。O的切线/ OAP=90 °/ OCP=90 °2 .PC是。的切线.p(2)连接AC.AB是。O的直径/ ACB=90 (6 分)由(1)知/ PCO=90 , / B=Z OCB=/ POC3 / ACB=Z PCO4 .ACBAPCOCC FC.二 .一 二一 - -二 二.BC 442点睛：本题考查了切线的判定.要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点(即为半径)，再证垂直即可.同时考查了勾股定理和相似三角形的性质.8.如图AB是4ABC的外接圆。的直径，过点 C作。O的切线CM,延长BC

21、到点D,使CD=BC连接AD交CM于点E,若。OD半径为3, AE=5,(1)求证：CMXAD;(2)求线段CE的长.A6【答案】（1）见解析；（2） J5【解析】分析：（1）连接OC,根据切线的性质和圆周角定理证得AC垂直平分BD,然后根据平行线的判定与性质证得结论；（2）根据相似三角形的判定与性质证明求解即可.CM切。O于点C,/ OCE=90,°.AB是。的直径，/ ACB=90 ,° .CD=BC.AC垂直平分BD,.AB=AD,/ B=/D/ B=/OCB/ D=Z OCB .OC/ AD / CED土 OCE=90 ° CMXAD.(2) OA=OB,

22、 BC=CD.OC=1AD2.AD=6DE=AD-AE=1Mffi ACDE-AACECE DEAE CE.CE2=AEX DE.CE=.5点睛：此题主要考查了切线的性质和相似三角形的判定与性质的应用，灵活判断边角之间 的关系是解题关键，是中档题.9.如图.在 4ABC 中，/C=90°, AC=BC, AB=30cm,点 P 在 AB 上，AP=10cm,点 E 从点 P 出发沿线段PA以2cm/s的速度向点A运动,同时点 F从点P出发沿线段PB以1cm/s的速 度向点B运动，点E到达点A后立刻以原速度沿线段 AB向点B运动，在点 E F运动过程 中，以EF为边作正方形 EFGH使

23、它与4ABC在线段AB的同侧，设点E、F运动的时间为t (s) ( 0<t<20).(1)当点H落在AC边上时，求t的值；(2)设正方形EFGH与4ABC重叠部分的面积为 S. 试求S关于t的函数表达式； 以点C为圆心，1t为半径作OC,当。C与GH所在的直线相切时，求此时 S的值. 2 29t2?(0 t 2)7 2【答案】(1) t=2s 或 10s； (2)S=-t2 50t 50(2 t 10); 100cm 2.2_ _t 40t 400? (10 t 20)【解析】试题分析：(1)如图1中，当0vtW5时，由题意 AE=EH=EF,即10-2t=3t, t=2;如图2

24、中，当 5vtv20 时，AE=HE, 2t - 10=10- ( 2t 10) +t, t=10；(2)分四种切线讨论 a、如图3中，当0vtW2时，重叠部分是正方形 EFGH S= (3t) 2=9t2. b、如图4中，当2vtW5时，重叠部分是五边形 EFGMN. c、如图5中，当5<t< 10时，重叠部分是五边形 EFGMN. d、如图6中，当10vtv20时，重叠部分是正方形 EFGH分别计算即可；分两种情形分别列出方程即可解决问题.试题解析：解：(1)如图1中，当0vtW5时，由题意得：AE=EH=EF,即10-2t=3t, t=2(2) 如图3中，当0VtW2时，重叠

25、部分是正方形 EFGH, S= (3t) 2=9t2如图 2 中，当 5vtv20 时，AE=HE, 2t - 10=10- (2t10) +t, t=10.综上所述：t=2s或10s时，点H落在AC边上.如图4中，当2vtW5时，重叠部分是五边形 EFGMN, S= (3t) 2- - (5t-10) 2 = -27 t2+50t - 50.2S= (20-t) 21c(30 - 3t) 2=-27 t2+50t - 50.2EFGHS= (20-t) 2=t2-40t+400.29t2?(0 t 2)7 2综上所述：S= - 12 50t 50(2 t 10)t2 40t 400? (10

26、 t 20)30t=，7此时 S=100cm2,当 5vtv20 时,1 如图7中，当0vtW5时，-t+3t=15,解得:21 _,_-t+20-t=15,解得：t=10,此时 S=100.2卸B2综上所述：当OC与GH所在的直线相切时，求此时 S的值为100cm2点睛：本题考查了圆综合题、正方形的性质、等腰直角三角形的性质、切线的性质等知 识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，注意 能漏解，属于中考压轴题.10.已知， ABC内接于e O ,点P是弧AB的中点，连接 PA、PB ;(1)如图 1,若 AC BC,求证：AB PC;(2)如图2,若PA平分

27、CPM ,求证：AB AC ;24 一(3)在(2)的条件下，若sin BPC ，AC 8,求AP的值.25【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)2 J5.【解析】【分析】BCE可得(1)由点P是弧AB的中点，可得出 AP=BP通过证明 APC BPC , ACE 出 AEC BEC进而证明AB PC.(2)由PA是/ CPM的角平分线，得到 / MPA=Z APC,等量代换得到/ ABC=Z ACB,根据等腰三 角形的判定定理即可证得 AB=AC.过A点作AD± BC有三线合一可知 AD平分BC,点O在AD上，连结 OB,则/ BOD=/ BAC,根据圆周角定理可知 / BOD

28、=Z BAC, / BPC=Z BAC,由/ BOD=Z BPC可得BDsin BOD sin BPC ，设OB=25x ,根据勾股定理可算出 OB、BD、OD、AD的 OB长，再次利用勾股定理即可求得AP的值.【详解】解：(1)二.点P是弧AB的中点，如图1,.AP=BP,在 APC和4BPC中AP BPAC BC ,PC PC2 .APCABPC (SS§ ,/ ACP= / BCP,在 ACE和 BCE中AC BCACP BCP,CE CE3 .ACEABCE (SAS ,/ AEC= / BEC4 / AEG/BEC= 180 :/ AEC= 90 ；ABXPC；(2) PA

29、平分/CPM,/ MPA= ZAPC, / APO / BPG/ ACB- 180 ； / MPA+Z APC+Z BPC= 180 ；/ ACB= / MPA= / APC, / APC= / ABC,/ ABC= / ACR .AB= AC；(3)过A点作ADXBCX BC于D,连结 OP交AB于E,如图2,由(2)得出AB= AC, AD 平分 BC, .点O在AD上， 连结 OB,则 / BOD= / BAC, / BPC= / BAC,24 BD sin BOD sin BPC = ， 25 OB设 OB= 25x,贝U BD= 24x, -OD= qOB_B5T = 7x，在 Rt

30、VABD 中，AD= 25x+7x=32x, BD= 24x, AB= JAD2BD2 =40x,.AC= 8,.-，AB=40x=8,解得：x=0.2,.OB=5, BD= 4.8, OD=1.4, AD= 6.4, 丁点p是Ab的中点，OP垂直平分AB,1 ,，八。，AE=AB= 4, /AEP=/AEO= 90 ,2在 Rt AEO 中，OE= Jao2ae2 3，PE= OP- OE= 5- 3 = 2,在 Rt APE 中，ap=Jpe2 AE2 V22 42 2店 【点睛】本题是一道有关圆的综合题，考查了圆周角定理、勾股定理、等腰三角形的判定定理和三线合一，是初中数学的重点和难点，

31、一般以压轴题形出现，难度较大11.如图1,是用量角器一个角的操作示意图，量角器的读数从M点开始(即M点的读数为0),如图2,把这个量角器与一块 30。(/CAB= 30。)角的三角板拼在一起，三角板的 斜边AB与量角器所在圆的直径 MN重合，现有射线 C绕点C从CA开始沿顺时针方向以每 秒2。的速度旋转到与 CB,在旋转过程中，射线 CP与量角器的半圆弧交于 E.连接BE.(1)当射线CP经过AB的中点时，点E处的读数是 ,此时4BCE的形状是;(2)设旋转x秒后，点E处的读数为V,求y与x的函数关系式；(3)当CP旋转多少秒时，4BCE是等腰三角形？【答案】(1) 60°,直角三角

32、形；(2) y=4x (0<x<45 ; ( 3) 7.5秒或30秒【解析】【分析】(1)根据圆周角定理即可解决问题；(2)如图2-2中，由题意ZACE2x, / AO曰y,根据圆周角定理可知 ZAOE= 2/ACE 可得 y= 2x (0»w 45 ;(3)分两种情形分别讨论求解即可；【详解】解：(1)如图2 - 1中，. /ACB= 90 °, OA= OB, .OA=OB= OC,/ OCA= / OAC= 30 °,/ AOE= 60 ；，点E处的读数是60 : / E= / BAC= 30 °, OE= OB,/ OBE= ZE=

33、30 ；/ EBC= / OBE+ZABC= 90 °,.EBC是直角三角形；故答案为60。，直角三角形；(2)如图2 2中，圉2 3. /AC& 2x, /AOy, / AOE= 2/ACE, . y= 4x (0虫w 45 .BC,(3) 如图2-3中，当EB= EC时，EO垂直平分线段 . AC± BC,1. EO/ AC,/ AOE= ZBAC= 30 ;一1 ， 一 。 ./ ECA= /AOE= 15 :2.x=7.5.若2 4中，当BE= BC时, E易知 / BEC= / BAC= / BCE= 30°,/ OBE= / OBC= 60 ；

34、-.OE= OB,.OBE是等边三角形，/ BOE= 60 °,/ AOB= 120 ；-1 / ACE= - ZACB= 60 ,x= 30,综上所述，当CP旋转7.5秒或30秒时，4BCE是等腰三角形；【点睛】本题考查几何变换综合题、创新题目、圆周角定理、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题.12.如图，OO是4ABC的外接圆，AB是直径，过点 O作ODL CB,垂足为点 D,延长DO 交。O于点E,过点E作PE! AB,垂足为点P,作射线DP交CA的延长线于F点，连接EF,E(1)求证：OD= OP; (2)求证：FE

35、是。的切线.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】试题分析：(2)证明POEADO可得DO=EQ(3)连接AE, BE,证出APEAFE即可得出结论.试题解析：(1)Z EPO=Z BDO=90 ZEOP=Z BODOE=OB.,.OPEAODB .OD="OP"(2)连接 EA, EB.1. / 1 = / EBC, AB是直径/ AEB=Z C=90 °/ 2+/ 3=90 ° / 3=/ DEB / BDE=90 ° / EBC-+Z DEB=90 °/ 2=Z EBC4 1 / C=90 °Z BDE=90 ° .CF/ OE/ ODP=/ AFP .OD=OP/ ODP=Z OPD / OPD=Z APF/ AFP=Z APF，AF=AP 又 AE=AE.APEAAFE/ AFE=Z APE=90 °/ FED=90 °.FE是。O的切线考点：切线的判定.13.如图，等边4ABC内接于。O, P是弧AB上任一点（点P不与A、B重合），连 AP, BP,过C作CM / BP交PA的延长线于点 M ,(1)求证：PCM为等边三角形；(2)若PA= 1