概率论复习题

1、v1.0可编辑可修改1.假设有两箱同种零件： 第一箱内装第一章 50件，其中10件为一等品；第二箱内装30件，其中1218件一等品，现从两箱中随意挑出一箱,然后从该箱中先后随机取出两个零件(取出的零件均不放回)，求:(1)先取出的零件是一等品的概率;(2)在先取出的零件是一等品的条件下，第二次取出的零件仍然是一等品的概率。次取到一等品, j=1,2解：设Ai=取到第i个箱子, i=1,2 , Bj=第j(1)由全概率公式1P(Bi) P(Ai)P(Bi Ai) P(A2)P(BiA2) 210 1501830(2)所求概率为P(B2B1)P(BiB2)P(Bi)P( B1B2) P(A)P(B

2、iB2 A) P(A2)P(BiB2 A2)1050 491 18 172 30 290.1942故：P(B2 B1)PM)P(B1)0.19420.4856252.某段时 间t 0,t 0+t内,t>0，证券交易所来了人 , ( t)k 个股民的概率为Lt)_k!e t,k=0,1,2，入>0,每个来到交易所的股民购买长虹股票的概率为p,且各股民是否购买这种股票相互独立。(1)求此段时间内，交易所共有 r个股民购买长虹股票的概率;(2)若已知这段时间内有 r个股民购买了长虹股票，求交易所内来了m个股民的概率。解：设 为=交易所来了 k个股民, k=0,1,2,B=有r个股民购买长

3、虹股票。(1)由于 P(Ak)( "e t,k 0,1,2 k!p(ba)0,k0,1,2.r1,p(ba)C：pr(1 p)kr,k r,r 1故由全概率公式可得v1.0可编辑可修改P(B)P(Ak)P(BAk)k 0八 r rk rCkP (1 p)k r(t)k e k!以叽tpr!(2)由Bayes公式得所求概率为P(Am)P(B|Am)P(AmB)P(B)t(1 PHmre(m r)!t(i p),mr,r1,22显然，P(AmB) 0,m 0,1,.r 13.设一射手每次命中目标的概率为p,现对同一目标进行若干次独立射击，直到命中目标5次为止，则射手共射击了10次的概率为

4、(A) C150P5(1 p)5(B) C；p5(1 p)5(C) CwP4(1 p)5(D) C；p4(1 p)5解：B4.设有三个事件 A,B,C,其中P(B)>0,P(C)>0 ,且事件B与事件C相互独立，证明:P(A| B) P(A| BC)P(C) P(A| BC)P(C)分析：利用关系式 AB (ABC) (ABC)证明：由于事件 B和事件C相互独立，故事件 B和事件C相互独立，又因为AB AB AB(C C) (ABC) (ABC)所以P(AB) P(ABC) P(ABC)P(A | BC)P(BC) P(A| BC)P(BC)P(A| BC)P(B)P(C) P(A

5、| BC)P(B)P(C)从而有P(A| B) P(AB) P(B)P(A| BC)P(C) P(A| BC)P(C)第二章1.假设一厂家生产的每台仪器，以概率可以直接出厂；以概率需进一步调试，经调试后以v1.0可编辑可修改概率可以出厂；以概率定为不合格品不能出厂。现该厂生产了n(n 2)台仪器，假设各台仪器的生产过程相互独立，试求：(1)全部能出厂的概率；(2)其中恰好有两件不能出厂的概率3 ；(3)其中至少有两件不能出厂的概率。解：设A=一台仪器能出厂, B=一台仪器能直接出厂, C=一台仪器经调试能出厂,则A B BC ,且B与BC显然互不相容。于是P(A) P(B) P(BC) P(B

6、) P(B)P(CB) 0.7 0,3* 0.8 0.94令X表示n台仪器中能出厂的台数，则有XB(n,。故(1) P(X n) 0.94n;(2) P(X n 2) Cn 20.94n 20.062(3)由于至少有两件不能出厂等价于至多有n-2件能出厂，故P(X n 2) 1 P(X n 1) P(X n) 1 n 0,06 0.94n 1 0.94n112.假设随机变量X的绝对值不大于1, P(X 1) - P(X 1) 在事件(1 X 1) 8,4，出现的条件下，X在(-1,1)内的任一子区间上取值的条件概率与该子区间长度成正比，试求：(1) X的分布函数F(x);(2) X的取负值的概

7、率 p1解：由条件知，当x 1时 F(x) 0,F( 1) 一8115P( 1 X 1) 1.8 4 8一x 1又P( 1 X x| 1 X 1)2于是，当 1 x 1时F(x) P(X 1) P( 1 X x)33v1.0可编辑可修改1P( 1 X x, 1 X 1)81P( 1 X 1)P( 1 X x| 1 X 1)815x18 825x 716F(x)1,故0,x1,F(x)5 一x 16716,1,451,x 1.(2) p P(X0) F(0 0) F(0)716,1 ，一 ，一.1 一，,3.假设一设备开机后无故障工作的时间X服从参数为-的指数分布，设备定时开机，出现5故障时自动

8、关机，而在无故障的情况下工作 2个小时便关机，试求该设备每次开机无故障工 作的时间Y的分布函数FY(y)解：由题意得，Y min X,2，于是FY(y) P(Y y) P(min X,2 y)1 P(min X,2 y)1 P(X y,2 y)，一,一，1 ,一,又X的分布函数是参数的 1的指数分布，即其分布函数为51-xFx(x)1 e 5 ,x 00.其它因此，当y 2时，P(X y,2 y) 0 ,即FY(y) = 1 ；v1.0可编辑可修改当y 2时，P(Xy,2 y) P(X y),即FY(y) 1 P(X y)P(X y)FY(y) i 5y1 e 5 ,y 0 0,y 0i,y

9、2iy1 e 5 ,0 y 2 0,y 04.设随机变量X的概率密度为1 x3x2/30里他1,8,解:F (x)是X的分布函数，试求随机变量 YF(X)的分布函数Y F(X)的分布函数为FY(y) P(Yy) P(F(X) y).注意到F(x)为分布函数，于是有 0 F(x) 1,因此,当 y 0时，Fy(y) 0；当 y 1 时，Fy(y)1；当0 y 1时，由于F(x)为单调增加函数，从而存在反函数，故一一一 1FY(y) P(F(X) y) P(X F (y)F(F 1(y) y. ( F 1表示F的反函数)55v1.0可编辑可修改即Y的分布函数为:.0,y 0My) i0iy1第三章

10、1 .设(X, Y)的联合密度为C Cxy,0 x 1,0 y 1.f(x, y) v0【，其他试求：(1)常数 C;(2) P (X=Y) ;(3) P (X v Y )。解：(1)由 f(x, y)dxdy 1,得 C = 4。(2) 由于x=y为平面上的一条直线，而二维连续型随机变量在平面上任何一条曲线上取得的概率均为零，故P (X = Y) = 0;(3) P (X < Y ) = f(x,y)dxdyx y=4xydxdyD1 y=(4xydx)dy0 03 .2y dy066v1.0可编辑可修改2 .设连续型随机变量 X, Y相互独立且服从同一分布，证明 P (X w Y尸1

11、 .2证明： 不妨设X, Y的密度函数为f(x), f(y),于是由X与Y相互独立得(X, Y)的联合密度为f (x, y) f(x)f(y).是 P (X < Y) = f (x)f (y)dxdy.x y由于被积函数f (x)f(y)关于x,y对称，故f(x)f(y)dxdyyf ( y) f (x)dxdyy xf(x)f(y)dxdyyf (y) f (x) dxdyy xf (x) f (y)dxdy 1,R22其中R表示整个平面，所以f (x) f (y)dxdyx y1 2,rr _1即 P (X < Y)=23 .在10件产品中有2件一等品，7件二等品和1件次品，现

12、在从10件产品中无放回地抽取3件，令X表示其中一等品数，Y表示其中二等品数，试求：(1) (X, Y)的联合分布律(2) (X, Y)关于X和Y的边缘分布律(3) X和Y是否相互独立(4) 在X=1的条件下Y的条件分布。分析： 由题意知X的可能取值为 0, 1, 2; Y的可能取值为0, 1, 2, 3。因此用古典概型分别计算它们的概率即可解： (1)因为当i j 2或i j 3时，有P(X i,Y j) 0.而当 2 i j 3寸，P(X=i,Y=j)= CICC； j/C130.分另将i 0时，j=2,3;i=1 时，j=1,2;i=2 时，j=0,1代入计算可得(X, Y)的联合分布律如

13、下表77v1.0可编辑可修改88(2)由联合分布律易得两个边缘分布律为Pi151515Pj21120404024(3)因为 P (X=1, Y=0) =0,但(X=1) = , P (Y=0) =,15120故 P (X=1, Y=0)P (X=1) P (Y=0)。所以X与Y不相互独立(4)因为 P (Y= j | X=1)=P1j / P1.=15P1j 00,123.而 P100, P1114120742一,P1260120,P130,于是在X=1的条件下 Y20的条件分布为v1.0可编辑可修改1004.设二维随机变量（X,Y）在区域D上服从均匀分布，其中 D=（X,Y）|0Vx<

14、1,|y|<x,试求（X, Y）关于X和关于Y的边缘密度和条件密度分析：求边缘密度时，首先确定随机变量的取值范围，X （或Y）的取值范围是二维随机变量（X, Y）的取值范围在 X轴（或Y轴）上的投影，在取值范围外，密度函数 的值为0解： 易知D的面积为1,故（x,y） 的联合密度函数为：1 r , 0 x 1,| y | x,f（x, y） *01，其他因X的取值范围为（0, 1）,于是当0Vx<1时，xfX（x） f（x, y）dy 1dy 2x.x故fX（x）2,黑x1,11dx 1 y,0 y11dx 1 y, y又y的取值范围为（-1, 1）,于是当|y| 1时fY(y)f

15、 (x, y)dxy 1,1 y 0.故:v1.0可编辑可修改fY(y)1 |y|,|y| 1, 0,其它因为在Y=y的条件下，当y(1,1)时fY(y) 0 , X的条件下分布不存在;当 Y ( 1,1)时，fY(y)1 ly I,故X的条件密度函数为f(x|y)T-.,|y| x 1, 11 |y| 0,其它同理可得:f(y|x)1二|y| x 1, 2x0,其他5.某种商品一周的需求量 X是一个随机变量，其概率密度为f (x) xxe ,x0,其他1010假设各周的需求量相互独立，以 Uk表示k周的总需求量(1) 求U2,U3的概率密度(2) 求接连三周中的周最大需求量的概率密度。分析：

16、 若以Xi表示第i周的需求量i 1,2,3，则X1，X2,X3相互独立且同分布，U2 X1 X2,U3 X1 X2 X3,Z max X1,X2,X3 ,从而问题归结为求随机变量X1,X2,X3的函数的分布解：利用卷积公式v1.0可编辑可修改设Xi表示第i周的需求量i 1,2,3, Z表示三周中的周最大需求量，于是U2 Xi X2,U3 Xi X2 X3,Z max Xi,X2,X3，且 Xi,X2,X3 与 X同分布（1） 由卷积公式，U2的密度为fu2（x）fXi（t）fX2（x t）dt(x t)dt,x 0f (t)f (x t)dtte t|(x t)e00,x 01x3e x,x

17、0 6,x0fj(x)fu2(t)fX3(x t)dt：5' t(x t)e (x t)dt,x 0 0,x 0x5e 120x,x0,x 0（2） 因为Z的分布函数为Fz(z)P(Z z)1111v1.0可编辑可修改P(max X1,X2,X3z)P(Xi z,X2 乙 X3 z)P(Xi z)P(X2 z)P(X3 z)z3f (x)dx故z的密度函数为xe03xdx ,z 00,z 01 (1 z)e z ,z0,z 0fz(z), Fz(z)3 3ze z(1 e z ze z)2 ,z 0 0,z 06.设随机变量X与Y相互独立，X的密度函数为f(x), Y的分布律为P(Y

18、ai) pi,i 1,2,HI，n.试求 Z X Y 的密度函数分析：这是一个求两个随机变量的和函数的分布问题，两个随机变量中一个为离散型，另一个为连续型，从而写不出“联合密度”，因此在分布函数的求法，也就是概率的计算方法上有所不同解： 因为Z的分布函数为Fz(z) P(Z z)1212v1.0可编辑可修改P(X Ynz)P(Yai)P(X Y z|Y ai),(全概率公式)P(Y2)P(X z aJY ai)piP(X z ai),(因 X与 Y独立)Piz aif (x)dx,因此，Z的密度函数为:fz(z) Fz(z)nRf(z ai).i 11313第四章1 .设学校乘汽车到火车站的途

19、中有3个交通岗，设在各交通岗遇到红灯是相互独立的，其概率均为2/5 ,求途中遇到红灯次数的数学期望与方差。解：设X表示途中遇到红灯的次数，则XB(3,2/5),所以E(X尸np=3 X 2/5 = 6/5D(X)=np(1-p)=3 X 2/5 X 3/5=18/252 .设相互独立的两个随机变量X, Y具有同一分布，且X的分布律为X01p1/21/2求Z=min(X,Y)的数学期望与方差。解：因X与Y独立同分布，所以(X, Y)的联合分布律为:v1.0可编辑可修改由此得Z=min(X,Y)的分布律为:Z=min(X,Y)01P3/41/4因此 E(Z)=0*3/4+1*1/4=1/4E(Z2

20、)=0 2*3/4+1 2*1/4=1/4D(Z尸E(Z2)-E(Z) 2=1/4-1/16=3/163 .设随机变量X的概率密度为ax, 0vx<22x4f(x)= cx+b其他又已知 E(X)=2 , D(X)=2/3 ,求：(1) a,b,c 的值(2) 随机变量Y=eX的数学期望与方差解：(1)因为f(x)为概率密度函数，故24f(x)dx ° axdx 2(cx b)dx 1即有：2a+2b+6c=12 2 4又 E(X) xf (x)dx o ax dx 2x(cx b)dx 2故有 4a+9b+28c=3因D(X)=2/3 ,于是E(X2) D(X) E(X)21

21、4/322 一2342一即 E(X ) x f (x)dx ° ax dx 2 x (cx b)dx 14/3于是有 6a+28b+90c=7联立(1)、(2)、 (3)解得 a=1/4、 b=1、 c= - 1/41415v1.0可编辑可修改(2)由(1)知一 x/4 0vx<25 xf(x)=12x44 40其他于是XE(Y) E(e )22XE(Y ) E(e )故 D(Y) E(Y2)ex f(x)dxe2x f (x)dx2-exdx42(x 2x , e dxx442(1)exdx - (e2 1)2 4x 2x ,1 , 421)e dx (e 1)416_212

22、22旧Y)4e(e 1)15154 .设XN(小 屋)，丫N(科，一)，且设X, 丫相互独立，求 Z= a X+3 Y, Z2=aX- 3 丫的相关系数(其中a 3是不为 0的常数)解：Cov(Z1,Z2)=Cov( a X+3 Y, a X- 3 Y)=a 2Cov(X,X) - a 3 Cov(X,Y)+ 3 a Cov(Y, X)- 3 2Cov(Y,Y)a 2D(X)- 3 2D(Y)=(a 2- 3 2)(T 2又X, Y相互独立，所以D(Z1)=D( a X+3 Y)=a2D(X)+32D(Y)= (a2+ 3 2) (r 2D(Z2)=D( a X- 3 Y)=a2D(X)+32

23、D(Y)= (a2+ 3 2) (r 2故Cov(乙,Z2)( 2- 2) 22- 2Z1Z2D©)、. DG)( 22 ) 2225 .卡车装运水泥，设每袋水泥重量X (以公斤计)服从 N(50,问最多装多少袋水泥使总重量超过2000的概率不大于。解：设最多装n袋水泥使总重量超过 2000的概率不大于，n袋水泥的总重量为 Y, X表示第i袋水泥的重量，i=1,2n，则K,% X n独立同服从 N(50，且Y=X+%+Xn于是v1.0可编辑可修改E(Y尸E(X 1)+ E(X 2)+ E(Xn)=50nD(Y)= D(X 1)+ D(X 2)+ D(X n)=即 丫N(50n ,PY

24、2000 0.05PY 2000 0.95Y 50n2000 50n、2000 50n、PY 2000P( )() 0.952.5. n 2.5 . n2.5 . n查表得2000 50n 1.65 n 39.72.5 . n故最多装39袋水泥。6.设随机变心的分布烹度力工.求£(工)和。(刀卜< 2)求X可丫|的协力差，并问X叮|工|是否和美*<箱工与卜力生再独立？为什么？触曰“(4) =比因为被枳函数为奇函数，积分区域关于原点时称)T -Z>(t)= j *、-"亦=一七-'/十 j 2,ve-1£rfar = 2 0d(2) 3(耳

25、 I -V|) = E(X I .V I)- E(X)E( X I)=J X I X I 不一"itv = 0因而工与|乂不相关对手的定的0 m a < 46仃| X5词二(五，ajKPfX< 1P V |£ 胃。故< a/| JV I，G < P X |£即PX $0vl X 悍词二产|昨 er)*PXa PX性a因而|X与工不独立第五章1.现有一大批种子，其中良种占 1/6 ,现从中任取6000粒种子，试分别用切比雪夫不等式估计和用中心极PM定理计算这6000粒种子中良种所占的比例与1/6之差的绝对值不超过的 概率。1616v1.0可编辑可修改解：设X表示所取的6000粒种子中良种的粒数，由题意可知XB(6000,1/6),因此E(X)=np=1000 , D(X)=np(1-p)=5000/6 , X1要估计的概率为P(-J 1 0.01)。6000 6(1)由切比雪夫不等式知，P(X60000.01) P(X 100060)咚 1 刎,0.768