工程力学 09扭转ppt课件

1、1291 扭转的概念和实例扭转的概念和实例 92 外力偶矩的计算外力偶矩的计算 扭矩及扭矩图扭矩及扭矩图93 薄壁圆筒的扭转纯剪切薄壁圆筒的扭转纯剪切94 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力 强度条件强度条件95 圆轴扭转时的变形圆轴扭转时的变形 刚度条件刚度条件96 矩形截面杆扭转理论简介矩形截面杆扭转理论简介第九章第九章 扭扭 转转 391 扭转的概念和实例扭转的概念和实例 构件特征：等圆截面直杆构件特征：等圆截面直杆圆轴。圆轴。MM受力特征：外力偶矩的作用面与杆件的轴线相垂直。受力特征：外力偶矩的作用面与杆件的轴线相垂直。 两个横截面之间绕杆轴线发生相对转动两个横截面之间绕杆轴线发生相对转

2、动，称为扭转角。，称为扭转角。变形特征：纵向线倾斜一个角度变形特征：纵向线倾斜一个角度 ，称为剪切角，称为剪切角( (或称切应变或称切应变) )；AB4工工 程程 实实 例例5工工 程程 实实 例例对称扳手拧紧镙帽对称扳手拧紧镙帽6扭转工扭转工 程程 实实 例例792 外力偶矩的计算外力偶矩的计算 扭矩及扭矩图扭矩及扭矩图 一、外力偶矩的计算一、外力偶矩的计算 其中：其中：P 功率，千瓦功率，千瓦kW）其中：其中：P 功率，马力功率，马力PS）其中：其中： n 转速，转转速，转/分分rpm）MM MP602 n n 转速，转转速，转/分分rpm）其中：其中： 角速度角速度1/s）P 功率功率W

3、）602 nMP 892 外力偶矩的计算外力偶矩的计算 扭矩及扭矩图扭矩及扭矩图 一、外力偶矩的计算一、外力偶矩的计算 功率、转速与外力偶矩的关系：功率、转速与外力偶矩的关系：m)(kN549. 9 nPMm)(kN024. 7 nPM其中：其中：P 功率，千瓦功率，千瓦kW）其中：其中：P 功率，马力功率，马力PS）1PS=735.5W , 1kW=1.36PSm)(N 9549 nPM n 转速，转转速，转/分分rpm）93 扭矩的符号规定：扭矩的符号规定： “T的转向与截面外法线方向满足右手螺旋规则为正，的转向与截面外法线方向满足右手螺旋规则为正，反之为负。反之为负。二、扭矩及扭矩图二、

4、扭矩及扭矩图 1 扭矩：构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作扭矩：构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作“T”。 2 截面法求扭矩截面法求扭矩MMMT0 xMxMTMT 0104 扭矩图：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。扭矩图：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。 目目 的的扭矩变化规律；扭矩变化规律；xTMM|T|max值及其截面位置值及其截面位置 危险截面强度计算）。危险截面强度计算）。11例例1知：一传动轴，知：一传动轴， n =300r/min，主动轮输入，主动轮输入 P1=500kW，从动轮输出从动轮输出 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘，

5、试绘制扭矩图。制扭矩图。nA B C DM2 M3 M1 M4解：计算外力偶矩解：计算外力偶矩m)15.9(kN 3005009.549549. 911 nPMm)(kN 78. 43001509.549549. 9232 nPMMm)(kN 37. 63002009.549549. 944 nPM12nA B C DM2 M3 M1 M4112233求扭矩扭矩按正方向设）求扭矩扭矩按正方向设）0 , 021 MTMCmkN56. 9)78. 478. 4( , 0 322322 MMTMMTmkN37. 6 , 0 4343 MTMT2M11mkN78. 4 21 MT1T13mkN 569

6、max .TBC段为危险截面。段为危险截面。xT绘制扭矩图绘制扭矩图nA B C D4.78 4.78 15.9 6.374.789.566.37kNmmkN56. 9 2 TmkN37. 6 3 TmkN78. 4 1 T14aa1.5 a2 a6kNm6kNm30kNm10kNm8kNm6kNm14kNm24kNm6kNmBACDExT1593 薄壁圆筒的扭转纯剪切薄壁圆筒的扭转纯剪切 薄壁圆筒：壁厚薄壁圆筒：壁厚0101R （R0：为平均半径）：为平均半径）一、薄壁圆筒扭转实验一、薄壁圆筒扭转实验1.实验前实验前绘纵向线，绘纵向线，绘圆周线。绘圆周线。R0dx162.实验后实验后圆筒表面

7、的各圆周线的形状、大小和间距均未改变，只是圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改变，只是绕轴线作了相对转动。绕轴线作了相对转动。各纵向线均倾斜了同一微小角度各纵向线均倾斜了同一微小角度 。 所有矩形网格均倾斜成同样大小的平行四边形。所有矩形网格均倾斜成同样大小的平行四边形。MM17 横截面和纵截面上无正应力横截面和纵截面上无正应力 横截面上各点处，只产生垂直于横截面上各点处，只产生垂直于半径的均匀分布的切应力半径的均匀分布的切应力 ，沿，沿圆周大小不变，而且由于管壁很圆周大小不变，而且由于管壁很薄，沿壁厚也可视为均匀分布薄，沿壁厚也可视为均匀分布,方方向与该截面的扭矩方向相同。向与该截面的

8、扭矩方向相同。3. 推论推论 MM单元体图单元体图abcddydxabcdydxtdb TR0184. 纯剪切纯剪切 单元体的四个侧面上只有切单元体的四个侧面上只有切应力而无正应力作用，这种应力应力而无正应力作用，这种应力状态称为纯剪切应力状态。状态称为纯剪切应力状态。5. 切应力互等定理切应力互等定理0 zM 单元体相互垂直的两个平面上，切应力必然成对出单元体相互垂直的两个平面上，切应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方向现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方向则共同指向或共同背离该交线。则共同指向或共同背离该交线。dxdydxdy 故故acddxb dy z1

9、9二、薄壁圆筒扭转时切应力二、薄壁圆筒扭转时切应力 大小大小 TRAA 0d TRRARA 000 2d 2 20RT MMTabcdydxtdb R020三、剪切虎克定律三、剪切虎克定律 与与 的关系：的关系：LRRL00 RM RT 202022 M 与与 的关系：的关系：R0LMM21 T=M 020 2RL R T 剪切虎克定律：当切应力不超过材料的剪切比例极限时剪切虎克定律：当切应力不超过材料的剪切比例极限时 （ p)，切应力与切应变成正比关系。，切应力与切应变成正比关系。 G22 G式中：式中：G为剪切弹性模量，不同材料的为剪切弹性模量，不同材料的G值可通过实验确定，值可通过实验确

10、定，钢材的钢材的G值约为值约为80GPa。u剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三个常数。的三个常数。u对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系推导见后面章节）：推导见后面章节）：u在三个弹性常数中，只要知道任意两个，第三个量就可在三个弹性常数中，只要知道任意两个，第三个量就可以推算出来。以推算出来。)1(2 EG23GdV)dx(dzdy)(dW212122121dddd GVWVVv 四、四、 剪切应变能剪切应变能acddxb dy dzzxy单元体微功：单元体微功：剪切应变能

11、密度：剪切应变能密度： VVVVVVVd2Gd21d2 dWdV 2494 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力 强度条件强度条件实验实验变形几何方面变形几何方面物理关系方面物理关系方面静力学方面静力学方面假设假设应力公式应力公式研究方法：研究方法： 强度条件强度条件25一、等直圆杆扭转实验观察一、等直圆杆扭转实验观察26 1. 圆周线变形后其形状、大小、间距保持不变。圆周线变形后其形状、大小、间距保持不变。 2. 轴向无伸缩；轴向无伸缩； 3. 纵向线变成斜直线，但仍为平行线。纵向线变成斜直线，但仍为平行线。 平截面假设：横截面变形后仍为形状、大小、间距不变的平平截面假设：横截面变形后仍为形状、

12、大小、间距不变的平 面；只是绕轴线发生了相对转动。面；只是绕轴线发生了相对转动。 MM27二、等直圆杆扭转时横截面上的应力二、等直圆杆扭转时横截面上的应力1. 变形几何关系变形几何关系dxdxGG dtg1dxd 距圆心为距圆心为 任一点处的任一点处的与到圆心的距离与到圆心的距离成成正比。正比。dxd 扭转角沿长度方向变化率。扭转角沿长度方向变化率。282. 物理关系物理关系虎克定律：虎克定律： GxGxGGdddd xGdd dxd 293. 静力学关系：静力学关系：OdA ATAdAIApd2 令令xGI Tpdd pGITx dd 代入物理关系式代入物理关系式 得：得：xGdd pIT

13、ddd 2AxGA AxGAddd 2 dA 30pIT 横截面上距圆心为横截面上距圆心为处任一点切应力计算公式。处任一点切应力计算公式。4. 公式讨论：公式讨论： 仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面 直杆受扭。直杆受扭。 式中：式中：T横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。 该点到圆心的距离。该点到圆心的距离。 Ip极惯性矩，纯几何量，无物理意义。极惯性矩，纯几何量，无物理意义。31单位：单位：mm4，m4。AIApd2 尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，尽管由实心

14、圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆， 只是只是Ip值不同。值不同。AIApd2 对于实心圆截面：对于实心圆截面：DdO 202d2 D 32 4D 32对于空心圆截面：对于空心圆截面： 2222d2 dDdApAI )(DddDOd)(32 44dD )1(32 44 D33 应力分布应力分布（实心截面）（实心截面）（空心截面）（空心截面）工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻，工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻， 结构轻便，应用广泛。结构轻便，应用广泛。34 确定最大切应力：确定最大切应力：pIT由知：当max , 2 DR)2 ( 22 maxDIWWTDI

15、TIDTppppp 令令 pWT max Wp 抗扭截面系数抗扭截面模量），抗扭截面系数抗扭截面模量）， 几何量，单位：几何量，单位：mm3或或m3。对于实心圆截面：163DRIWpp 对于空心圆截面：16)1(43 DRIWpp35三三 、圆轴扭转时的强度计算、圆轴扭转时的强度计算强度条件：强度条件：对于等截面圆轴：对于等截面圆轴：maxmax pWT( 称为许用切应力。)强度计算：强度计算： 校核强度：校核强度： 设计截面尺寸：设计截面尺寸： 计算许可载荷：计算许可载荷：maxmax pWTmax TWp max pWT ）（空空：实实：433116 16 DDWp36MPaITPAA4

16、.203205. 0405. 010004 MPaWTP7 .401605. 010003max 310248. 0820004 .20 GAA 37例例2 功率为功率为150kW，转速为，转速为15.4转转/秒的电动机转子轴如图，秒的电动机转子轴如图， 许用切应力许用切应力 =30M Pa, 试校核其强度。试校核其强度。nPMTBC 2103 m)(kN55. 1m)(N4 .1514. 32101503 TM解：求扭矩，作扭矩图解：求扭矩，作扭矩图计算并校核切应力强度计算并校核切应力强度此轴满足强度要求。此轴满足强度要求。D3 =D2=75 D1=70ABCMMxMPa231607. 01

17、055. 133max pWT38例例3 知：知：n=100r/min， P=10马力，马力， =20MPa， 试选择实心试选择实心轴直径轴直径d和内外径比值为和内外径比值为1/2的空心轴外径的空心轴外径 d2 。解：NmnPMT4 .7027024 d d2 d1 5 .0: 求求空空心心轴轴直直径径 432max116dTWTP mmTd6 .57116342 163maxdTWTP mmTd3 .56163 :求求实实心心轴轴直直径径39例例4知：钢质实心轴和铝质空心轴内外径比知：钢质实心轴和铝质空心轴内外径比=0.6），横截面面积相同，），横截面面积相同， 钢钢=80MPa， 铝铝=5

18、0MPa 。若仅从强度考虑，哪一根轴能承受。若仅从强度考虑，哪一根轴能承受较大的扭矩？较大的扭矩？解：钢质轴直径为解：钢质轴直径为d，铝质轴外径为，铝质轴外径为D，由两轴横截面面积相同得：，由两轴横截面面积相同得：222214)1(4 dDDd80163 dT 钢钢 5016143 DT铝铝 941. 050118050180432323433 ddDdTT铝铝钢钢钢质轴承受的扭矩：钢质轴承受的扭矩：铝质轴承受的扭矩：铝质轴承受的扭矩：所以：铝质轴承受的扭矩较大。所以：铝质轴承受的扭矩较大。40四、等直圆杆扭转时斜截面上的应力四、等直圆杆扭转时斜截面上的应力低碳钢试件：低碳钢试件：沿横截面断开

19、。沿横截面断开。铸铁试件：铸铁试件：沿与轴线约成沿与轴线约成45的螺旋线断开。的螺旋线断开。因此还需要研究斜截面上的应力。因此还需要研究斜截面上的应力。411. 点点M的应力单元体如图的应力单元体如图(b)：(a)M(b)(c)2. 斜截面上的应力；斜截面上的应力； 取分离体如图取分离体如图(d)：(d)x42(d)xnt转角规定：转角规定：x 轴正向转至截面外法线轴正向转至截面外法线逆时针：为逆时针：为“+”顺时针：为顺时针：为“”由平衡方程：由平衡方程：0)cossind()sincosd(d ; 0 AAAFn0)sinsind()coscosd(d ; 0 AAAF解得： 2cos ;

20、 2sin 43 2cos ; 2sin 分析：当 = 0时，max00 , 0当 = 45时，0 , 45min45当 = 45时，0 , 45max45当 = 90时，max9090 , 045 由此可见：圆轴扭转时，在横截面和纵截面上的切应力为最大值；在方向角 = 45的斜截面上作用有最大压应力和最大拉应力。4495 圆轴扭转时的变形圆轴扭转时的变形 刚度条件刚度条件一、扭转时的变形一、扭转时的变形由公式由公式pGITx dd 知：长为 l一段杆两截面间相对扭转角 为 lpxGIT0d d pGITl T为常数为常数45二、单位长度扭转角二、单位长度扭转角j ：(rad/m) dd pG

21、ITx /m)( 180 dd pGITx 或三、刚度条件三、刚度条件 (rad/m) maxmax pGIT /m)( 180 maxmax pGIT 或GIp反映了截面抵抗扭转变形的能力，称为截面的抗扭刚度。反映了截面抵抗扭转变形的能力，称为截面的抗扭刚度。j 称为许用单位长度扭转角。46刚度计算的三方面：刚度计算的三方面： 校核刚度：校核刚度： 设计截面尺寸：设计截面尺寸： 计算许可载荷：计算许可载荷： max max GT Ip max pGIT 47例例1长为长为 L=2m 的圆杆受均布力偶的圆杆受均布力偶 m=20Nm/m 的作用，如图，的作用，如图，若杆的内外径之比为若杆的内外径

22、之比为 =0.8 ，G=80GPa ，许用切应力，许用切应力 =30MPa，试设计杆的外径；假设，试设计杆的外径；假设j =2/m ，试校核此，试校核此杆的刚度，并求右端面转角。杆的刚度，并求右端面转角。解：设计杆的外径解：设计杆的外径max TWp 11643）（D Wp 314max 116 ）（TD48314max 116）（TD40NmxT代入数值得：D 0.0226m。 由扭转刚度条件校核刚度由扭转刚度条件校核刚度 180maxmax PGIT4940NmxT 180maxmax PGIT mD/89. 1)1(108018040324429右端面转角为：右端面转角为： LPdxGI

23、T0 202040dxGIxP )4(10202xxGIP ）rad( 033. 0 50例例2 某传动轴设计要求转速某传动轴设计要求转速n = 500 r / min，输入功率，输入功率P1 = 500 马力，马力， 输出功输出功率分别率分别 P2 = 200马力及马力及 P3 = 300马力，知：马力，知：G=80GPa ， =70M Pa，j =1/m ，试确定：，试确定： AB 段直径段直径 d1和和 BC 段直径段直径 d2 ？ 若全轴选同一直径，应为多少？若全轴选同一直径，应为多少？ 主动轮与从动轮如何安排合理？主动轮与从动轮如何安排合理？解：（解：（1 1求外力偶矩，作扭矩图求外

24、力偶矩，作扭矩图 500400P1P3P2ACBTx7.024 4.214(kNm)7.024kNmm)(kN024. 711 nPMkNm810. 2m)(kN024. 722 nPMkNm214. 43 M5116 31 TdWp mm4 .67107014. 3421416163632 Td 3116 Td 500400P1P3P2ACBTx7.0244.214(kNm)（2按强度条件设计轴的直径按强度条件设计轴的直径 mm80107014. 3702416163631 Td52 mm4 .741108014. 3180421432 3249242 GTd41 32 GTd mm75 ,

25、mm8521 dd综上：综上：500400P1P3P2ACBTx7.0244.214(kNm) 32 4 GTdIp（3 3按刚度条件设计轴的直径按刚度条件设计轴的直径mm841108014. 31807024324921 d53 （5 5轴上的绝对值最大的扭矩越小越合理，所以，轴上的绝对值最大的扭矩越小越合理，所以，1 1轮和轮和2 2轮应该换位。轮应该换位。 4.2142.810（4全轴选同一直径时全轴选同一直径时 mm851 dd换位后换位后, ,轴的扭矩如图所示。轴的扭矩如图所示。此时此时, ,轴的最大直径才为轴的最大直径才为 75mm 75mm。500400P1P3P2ACBTx7.0244.214(kNm)Tx(kNm)54pABABWTAB )(:max pBCBCWTBC )(:max MPa2 .3616075. 030003 MPa9 .481605.012003 MPa9 .48max 55BCAB maxABPABABABPABABIGlTIGlT)()( 3205. 010825 . 0120032075. 0108275. 030004949 orad22. 102128. 0 56N