复数的运算说课稿

1、复数的运算说课稿林萍萍2012-10-21一、说教材（一）教材的地位与作用：1、依据新大纲及教材分析，复数四则运算是本章知识的重点。2、 新教材降低了对复数的要求，只要求学习复数的概念，复数的代数形式及几何意义，加减乘除运算及加减的几何意义。因此，复数的概念， 复数的代数运算是重点，在教学中要注意与实数运算法则和性质的比较，多采用类比的学习方法，在复数的概念和复数的代数运算的教学中，应避免烦琐的计算，多利用复数的概念解决问题。3、将实数的运算通性、通法扩充到复数，是对数学知识的一种创新，有利培养学生的学习兴趣和创新精神。（二）学情分析：1、学生以了解复数的概念与定义以及复数在数域内的地位。2、

2、学生知识经验与学习经验较为丰富，以具有类比知识点的学习方法。3、学生思维活泼，积极性高，已初步形成对数学问题的合作探究能力。4、学生层次参差不齐，个体差异比较明显。（三）教学目标：1、知识目标：掌握复数代数形式的加、减、乘、除、乘方运算法则。2、能力目标：培养学生运算的能力。3、情感、价值观目标培养学生学习数学的兴趣，勇于创新的精神。（四）教学重点：复数的概念，复数的代数运算是重点（五） 教学难点：复数代数形式的乘、除法法则。教学方法：（六）启发式教学法关键：掌握复数加法、减法的定义和复数相等定义的运用。二、说教法：1 、本节课通过复习整式的运算，复数的运算，通过类比思想体会整式的运算与复数的

3、运算的共性，使学生体会其中的思想方法，培养学生创新能力和运用数学思想方法解决问题的能力。2、例题的学习，使学生在学会复数运算的基础上归纳计算方法，提高运算能力，归纳、概括能力。三、说学法：2 、复习已学知识，为本节课学习作铺垫。通过对数系学习的回忆，引出课题，激发学生学习动机。3 、让学生板演运算法则，有利于培养学生创新能力和主动实现学习目标。4 、通过例题学会复数的运算，归纳运算简便方法。培养学生归纳问题、转化问题的努力。四、说课过程：(一)、复习提问：1、1.虚数单位i：(1)它的平方等于-1 ,即i21； (2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算 律仍然成立2、i与

4、一1的关系：i就是一1的一个平方根，即方程 X2=-1 的一个根，方程 x2=- 1的另一个根是一 i3、复数的概念：形如 a+bi (a, b6 R)叫做复数，a, b 分别叫做它的实部和虚部。4、复数的分类：复数 a+bi (a, bSR),当b=0时，就是 实数；当b+0时，叫做虚数； 当a=0, b + 0时，叫做纯 虚数；5、复数Z1=a1+b1i与Z2=a2+b2i相等的充要条件是 a1=a2, b1=b2o实数(b=0)复数Z a bi4的一般虚数(b 0,a 0)虚数(b 0)6、复数的分类：纯虚数(b 0，a 0)虚数不能比较大小，只有等与不等。即使是 也没有大小。 uu .

5、 ., uu .7、复数的模：若向量 迎表示复数z,则称OZ的模r为复数z 的模，z 1abi1 ,a2 b2；积或商的模可利用模的性质(1) z1 L zn z1 z2 L zn , (2)Z14-z2z2z28、复平面、实轴、虚轴：点Z的横坐标是a,纵坐标是b,复数z=a+bi(a、bSR)可用 点Z(a, b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面 叫做复平面，也叫高斯平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0 , 0),它所确定的复数是 z=0+0i =0表示是实数.故除了 原点外，虚轴上的点都表示纯虚数复数集C和复

6、平面内所有的点所成的集合是一一对应关系， 即复数z a bi 对应 复平面内的点Z(a(二)类比代数式，引入复数运算：一、复数代数形式的加减运算类似根据代数式的加减法，则复数 zi 与 Z2 的和：Zi+Z2=( a+bi)+( c+di )=( a+c)+( b+d) i . a,b,c,d R复数 zi 与 z2 的差:zi- z2=( a+bi)-( c+di )=( a- c)+( b- d) i . a,b,c,d R二、复数的加法运算满足交换律和结合律1、复数的加法运算满足交换律：zi+z2=z2+zi.证明：设z尸ai+bii,z2=a2+b2i(ai,bi,bzSR).; zi

7、+z2=(ai+bii)+( a2+b2i )=( ai+a2)+( bi+b) i .Z2+zi=(a+b2i)+( ai+bii )=( &+&)+( b2+bi) i .又 ai+a2=a2+ai, bi+b2=b2+bi.，Zi+Z2=Z2+Zi.即复数的加法运算满足交换律.2、 复数的加法运算满足结合律：(Zi+Z2)+Z3=Zi + (Z2+Z3)证明：设 Zi=ai+=&+b2i , Z3=a3+hi (ai, a2, a3, bi, b2, a6 R).( Zi+Z2)+ Z3= (ai+bii)+( a2+b2i) +(a3+b3i)=(ai+a2)+

8、( bi+b2) i +(a3+b3) i=(ai+a2)+a31+ (bi+b2)+b31i=( ai+a2+a3)+( bi+b2+b3) i .Zi+(Z2+Z3)=( ai+bii)+ (a2+b2i)+( a3+b3i)=(ai+bii)+ (a2+a3)+( b2+b3) i =ai+( a2+a3) + bi+( b2+b3) i=(ai+a2+a3)+( bi+b+b3)i( ai+a2)+ a3=ai+( az+a) , (bi+b)+ b3=bi+( b2+b3).，(Zi+Z2)+ Z3=Zi+( Z2+Z3).即复数的加法运算满足结合律三、复数代数形式的加减运算的几何意

9、义复数的加(减)法(a+bi) ± (c+di )=( a± c)+( b± d) i .与多项式加(减)法是类似的.就是把复数的实部与实 部，虚部与虚部分别相加(减).一一哥由一 uuiu1 .复平面内的点Z(a，b)平面向量OZuuiu2 . 复数Z a bi 对应平面向量OZ3 .复数加法的几何意义：设复数 zi=a+bi , Z2=c+di ,在复平面上所 对应的向量为OZ；、OZ；,即0Z；、OZ；的坐标形 式为0乙=（a, b）, 0Z2=（c, d）以0乙、。乙为令日边作平行四边形 0ZZZ2,则对角线 0Z寸应的向量是oz,oz = 0Z1 + O

10、Z2 =（a , b）+（ c , d）=（ a+c , b+d）=(a+c)+( b+d) i4 .复数减法的几何意义：复数减法是加法的逆运算，设z=（a- c）+（ bd）i ,所以zz产Z2, Z2+Z产z,由复数加法几何意义，以Oz为一条对角线，。1为一条边画平行四边形，那么这个平行四边形的另一边0Z所表示的向量 近就与复uuur uur数z- zi的差（a c）+（ b- d） i对应由于0Z2 Z1Z ,所以，两个 复数的差zzi与连接这两个向量终点并指向被减数的向量 对应.讲解范例：例 1 计算：(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)解：(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)

11、= (5-2-3)+(-6-1-4) i= -11 i例 2 计算:(1 2i )+( 2+3i )+(3 4i )+( 4+5i )+ +( 2002+2003i )+(2003 2004i )解法一：原式=(1 2+3 4+ - 2002+2003)+( 2+3 4+5+20032004i)=(2003 - 1001)+(1001 - 2004) i =1002 - 1003i .解法二：二 (1 2i)+( 2+3i )= 1+i ,(3 4i)+( 4+5i )= 1+i ,(2001 -2002i )+( - 2002+2003) i =1+i .相加得(共有1001个式子)：原式=

12、1001( 1+i )+(2003 -2004i )=(2003 -1001)+(1001 - 2004) i =1002- 1003i例3已知复数Z1=2+i z=1+2i在复平面内对应的点分别为A、B,求而对应的复数z, z在平面内所对应的点在第几象限？ 解：z=Z2- Z1=(1+2i) (2+i )= 1+i ,.z 的实部 a=1v0,虚部 b=1>0, ，复数z在复平面内对应的点在第二象限内.点评：任何向量所对应的复数，总是这个向量的终点所对应 的复数减去始点所对应的复数所得的差.即AB所表示的复数是zbza ,而函所表示的复数是 za zb,故切不可把被 减数与减数搞错尽管

13、向量 AB的位置可以不同，只要它们的终 点与始点所对应的复数的差相同，那么向量AB所对应的复数是惟一的，因此我们将复平面上的向量称之自由向量，即它 只与其方向和长度有关，而与位置无关5、复数的乘除法运算：复数的乘法：z1z2= (a+bi)( c+di )=( ac bd)+( bc+ad) i .a,b,c,d R复数的乘法运算满足交换律、结合律和分配律。实数集R中正整数指数的运算律，在复数集C中仍然成立.即 对 z1,z2,z3 CC及m,nCN9： z 吗n=zm+n (z ,n=zmn (z 1z2) n=z1nz2n.6、共辗复数：若两个复数的实部相等，而虚部是互为 相反数时，这两个

14、复数叫互为共辗复数；特别地，虚部不为 0的两个共辗复数也叫做共辗虚数；z a bi，z a bi a，b R ,两共辗复数所对应的点或向量关于实 轴对称。z |z| 'F及2 4zizza2 b2 R,z z |z2|z2zi z2zi z2， zi z2z2，FI亘abiacbd bc ad.7、复数的除法：z2(a+bi)(c+di)= Cdi= c2d2 c2 d2a，b，c，d R ,分母实数化是常规方法复数的运算，典型例题精析：例4. (1)复数等于() 1 ii +i C.-1+ i D.-1i2 2i 口,，(1+i) i(1 i) 1 i ,解析：复数一=1 i，选C.

15、1 i(2)若复数z同时满足z z = 2i, z=iz ( i为虚数单位)，则z解：已知Z iZ 2i Z d i 1 1 i（3）设复数z满足关系z |z| 2 i ,求z;22解：设z=a+bi （a,b为头数），由已知可得a bi a b 2 i a a2 b22q233a , b 1z 由复数相等可得：b 1,解得 4,所以 4设z=a+bi-x+yi （a,b为实数）复数问题实数化。（4）若x C,解方程|x| 1 3 x22解：设乂=2+旧（a,b 6 R）代入条件得："a b 1 a （3 b）i,由复数相、a2 b2 1 a等的定义可得：3bo ,.a=_4, b=

16、3,.x= 4+3i。22例4: （1）复数z满足1z i | |z i| 1 ,则z对应的点在复平面内表示的图形为（A）A.直线 B.圆 C .椭圆 D .抛物线解：令 z=x+yi (x, y6R),贝U x2+(y+1)2 x 2+(y 1)2=1 , . .y=1/4。故选A8.复数的代数式运算技巧:（1） i的周期性：4n=1 ni4=1,所以，产i4n+2=-1, i 4n+3=-i, i 4n,4n1, 4n2,4n3 cii i i 0n Z1 i ,1 i.2 2_i _i6 i) 2i。D 2i1 i 1 i1-3. i(3) “1”的立方根 2 2的性质：1.1 一_3_

17、2_21 一110扩充知识:9、特别地，zuuBZb-Za,超ABzB zA为两点间的距离。；|z z0| r,七,Z对应的Z对应的点的|Z Z1| |Z4殳对应的点的轨迹是线段乙Z2z对应的点的轨迹是一个圆;|z z11 |z Z2I 2a 乙Z2点的轨迹是一个椭圆;|zZ1 |zZ2I2a乙Z2 2a轨迹是双曲线。Z1Z22Z1Z22Z1Z2210、显然有公式:z1Z2z1Z2Z1Z211、实系数一元二次方程的根问题:(1)当b24ac。时，方程有两个实根x1，x2 o此时有b2x1注意两种题型:4ac。时，方程有两个共钝虚根，其中x22Cx1 x2x1,2a且b 一 i2a °

18、(1) x1 x2(2) x1x2X2虚系数一元二次方程有实根问题:不能用判别式法,般用两个复数相等求解。但仍然适用韦达定理。已知x2 X1是实系数一元二次方程ax2 bx c 0的两个根，求x2 xi 的方法： 12-(1)当 b 4ac 0时，-2 -vb2 4acx2 x1 q(x1 x2)4x1 x2 a ,2当 b 4ac。时，X2Xi、(x1X2)24x1x24ac b2已知X1，X2是实系数一元二次方程ax2 bX c 0的两个根，求X2 X1的方法:12-(1)当 b 4ac 0时,c 一-0X2X1X1 x20,即a ,则bX1X2a_c 0X2 X12)x1 x20,即 a ,则2(2)当 b 4ac 0时，.2位"勺 b 4acx1 x2*;(x1 x2) 4x1x2ax2x12 x12 Jx1 x2_19962.3 i上2例6 (1)计算：1 2内1 i答案：1 i(2)设复数z满足：|z 3 风再，求|z|的最大值与最小值;解：|z|的最大值为36,最小值为 晶;(3)若 x C ,解方程 |x| 1 3i x解：设乂=2+旧(a,b 6R)代入条件得：&