极限与连续基础练习题含解答

1、第二章 极限与连续 基础练习题(作业)§2.1 数列的极限、观察并写出下列数列的极限:1.2.2,4,6,8川极限为13 5 711 J L I4，5，111极限为01 ex3. an2n 12n2n 12nn为奇数极限为1n为偶数§2.2 函数的极限一、画出函数图形，并根据函数图形写出下列函数极限:1. lim ex X极限为零2. lim tan x x 2无极限3. lim arctanx x3) 3； lim f (x) lim(2 xx 1x 123 ；吗 f (x)网(x x极限为 一 24. lim ln x x 0无极限，趋于2x 1,二、设 f(x)x”2

2、I lim f(x) lim( x 1) x 3,x2 1,2(lim f(x) lim( x x2时，f(x)的极限是否存在?1) 33) 5 3pm2 f (x)不存在。1,-、，一 _、设f x求x 0时的左、右极限，并说明 x0时极限是否存在.lim f(x)不存在。x 0四、试讨论下列函数在 x0时极限是否存在.1 .绝对值函数f x |x|,存在极限为零2 .取整函数f x x 不存在3 .符号函数f x sgnx不存在S.3无穷小量与无穷大量、判断对错并说明理由:错,1 1x sin 一 是无否小重.x无穷小量需相对极限过程而言，在某个极限过程中的无穷小量在其它极限过程中可能不再

3、是无穷小量。当. 1 八， 一 .10时，xsin -0；当x 1时，xsin sin1不是无劣小量。xx2 .同一极限过程中两个无穷小量的商，未必是该极限过程中的无穷小量.对，两个无穷小量的商是“ 0/0”型未定式，即可能是无穷小量，也可能是无穷大量或其它有极限但极限不为零 的变量。3 .无穷大量一定是无界变量，而无界变量未必是无穷大量.对，无穷大量绝对值无限增大因此一定是无界变量, 任意给定的正数。但无界变量可能是个别点无限增大，变量并不能一致地大于卜列变量在哪些极限过程中是无穷大量，在哪些极限过程中是无穷小量:2.x 27，x 12时，或x1时，或x,kln tan x时，为无穷小量;1

4、时，为无穷大量。(k)时，tanx,贝 Uln tanx,从而一1 ln tan x0+为无穷小量;时，tanx 0 ,则 Intanx一时，tanx 1,则 Intanx 0 ,从而 4ln tan x10为无穷小量;ln tan x为无穷大量;0时，x2, Jx和次都是无穷小量，它们是否为同阶无穷小量，如果不是它们之间最高阶和最低阶的无穷小量分别是谁?x2Jim、,xlimx 0xx 0,所以当x 0时，x2是Jx的高阶无穷小量。1Ix2I lim 3x 0 * xlimx 0x(3 x)223 一x)- 0,所以当x 0时，x是3x的高阶无穷小量。12通过比较可知，当x 0时，x；xim

5、% 网半),所以当x。时，百是次的高阶无穷小量。jx和双不是同阶无穷小量，其中x2是jx和3/x的高阶无穷小量，因此x23/x是三者中最低阶的无穷小量。是三者中最高阶的无穷小量。x2和G都是W的高阶无穷小量，因此四、利用无穷小量与极限的关系证明:lim f(x)g(x) lim f(x)limx x)x x°x x)g(x) .证明：设 lim f (x) A, lim g(x)X x0X x0B,则由无穷小量与极限的关系,f(x) A,g(x) B ，其中Xo时的无穷小量。则limx /f(x)g(x) Hnx( A)(B)如(AB B A )ABS.4极限的性质与运算法则、如果

6、lim f (x) A 0 , x x则存在Xo的空心邻域，使得(1) (2) (4)成立.(1) f (X)有界；(2) f(x)非负;(3) f(x)落入其中;(4) |f(x) A| ,二、求下列函数的极限limHn3n1 ( 2)n 12. lim n 1 23.2, . x lim x 13x 4x 14. lim x 1 1 x5.lim xx4x2 1 2x6.lim x 31 x3x原式 lim x14x2 1原式三、求a,b ,使得 lim x2xlimx1x2x3.1=x3L(3,1=x3)2必有a1(否则原式四、若32x axlim x 1 x 1x2 1 axx 1);

7、同时有0.0(否则原式0);x 4.八x b为有限值，求a,b.25极限存在性定理与两个重要极限、判断题:lxm12.limx 1sin x d _1错 xsin(x 1)1 对3.limxx 1 sin x4.limx5.lxm0x1xsin 一 x1xsin 一6.lim(1x 1)x x7.0时,xsin x,arcsin x,tan x,arctan x,ln(1 x), e 1 都是 x 的等价无否小.对二、求下列函数极限:sin 2x1. lim x 0 tan 3x2. ， 2、sin(x 4)3. x limx 0 arctan x4. limx5.limx 11x1 x1)1

8、 x6.limx2xx2 1xlimx7.limx 01 ln(1x8.sin(sin x) lim x 0 ln(1 x)、求极限lim(n由两面夹法则III0-1可使f x在x 0处连续.1.设函数f xx四、设Un1321不，证明数列Un的极限存在. n由单调有界定理，数列un的极限存在.五、设a0,2(xn2) J"xn1,2, |),证明数列的极限存在,并求极限.由单调有界定理,数列xn的极限存在S.6函数的连续性、填空题ln 1 x,若补充f2. x 1是函数yx 1 一,、，的第1类间断点，且为可去 间断点.x2 3x 2 一3. x 0是函数y x的第1类间断点，且为

9、 可去 间断点. tan xxx k k 1, 2 是函数y 的第 2 类间断点,且为 无否间断点.tanxxx k 一 k 1, 2是函数y 的第 1 类间断点,且为 可去 间断点.2tan x一一 x a 一，、一, 一、，4. x a是函数y 的第 1类间断点,且为 跳跃 间断点.x a口 一2 1,5. x 0是函数y cos2的第2类间断黑x、研究下列各函数的连续性，找出其间断点，并判断其类型:1. f (x)1 cosx2xx2 1,11 1.1 cosx1, 2 八，八lim 一 一； lim( x1) 1, x 0为第一类跳跃间断点。I x 0 x22 x 012. f(x)

10、e，1tL1,lim e 0为第一类跳跃间断点。x 1为第一类可去间断点。x 1为第二类无穷间断点 0; lim ex, x 0为第二类无穷间断点。I x 0x 03.f(x)2|x|(x2 1)x(x 1)|x|(x 1)(x 1)四、f (x)sin xxa,x 0x 0 ，确定a,b使b xsin1,x1. f (x)在x 0处有极限2. f (x)在x 0处连续sinx1、lim lim( b xsin-),x 0 x x °xlimx 0sin xlim( b xsin-) a .x 0b 1.a 1.五、f (x)(x a)(x 1),确定a,b使同时满足(1) x 0是f (x)的无穷间断点，即(x a)(x 1) a0.(2) x 1是f(x)的可去间断点，即六、设f (x)在a,b上连续，且f (a)lim f(x)存在，则必有 lim ex b=0, b e. x 1x 1a, f(b) b,证明在区间a, b上至少存在一点使得f() 证明：设F(x) f (x) x,则F(x