正余弦定理讲义

1、培优教育一对一辅导讲义科目：_数 年级：高_ 姓名： 教师： 时间：、田眄正弦定理、余弦定理珠必授课时间：备课时间：教学目标1、掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题2、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的 实际问题3、会运用三角公式进行简单三角函数式化简、求值和恒等式证明与解决有关实际 问题，会运用三角方法、袋鼠方法和解析方法求三角函数的最值，会由已知三 件函数值求角重点、难点1、三角函数值域及最值的求法2、三角函数与向量、函数、不等式的综合问题及生产生活中的实际问题考点及考试要求高考对正余弦定理的考查主要涉及三角形的边角转化。三角形形状的判

2、断、三角形内角的三角函数求值及三角恒等式的证明、立体几何中的空间角及解析几何中有关角等问题。今后的命题中仍会以正余弦定理为框架，以三角形为主要依托，来综合考查二角形知识，题型一般是选择题和填空题，也后可能是中档难度的解答题，关注利用正余弦定理解决实际问题三角函数的综合应用在高考中地位显著，可以综合考查对三角函数知识的掌握情况。分析近几年高考，主要有以下几种类型：1、可转化为y Asin( x )的形式，然后研究性质2、可转化为y asin2 x bsin x c的形式，然后借助于二次函数求闭区间上的最值3、与向量、三角形知识结合的综合题4、用三角函数知识解决生产生活中的实际问题教学内容探究一：

3、在直角三角形中，你能发现三边和三边所对角的正弦的关系吗?直角三角形中的正弦定理：sin A =a sin B =b sin C=1即c=a探究二：能否推广到斜三角形?（先研究锐角三角形,当 ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是sin A sin B sin C再探究钝角三角形）CD根据三角函数的定义，有 CD asinBbsin A,则sin A sin B.同理,sin A sinCc （思考如何作局？）sin A sin B sin C探究三：你能用其他方法证明吗？1.证明一：（等积法）在任意斜 ABC1中c 1,11,$ abc= _absin C _acsinB _bcsinA.两边

4、同除以21abc即得:22 abcsin A sin B sin C2.证明二:（外接圆法）如图所示，/ A= Z D,sin A sin DCD 2R,一一 bc同理_b_=2R, =2Rsin B sin C3.证明三：（向量法）过 A作单位向量垂直于日，由"AC +CB = AB边同乘以单位向量j得.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即sin A sin Bsi： C =2R理解定理1公式的变形:(1)a 2Rsin A,b2Rsin B,c 2Rsin C(2)sinAabc ,sin B ,sinC , 2R 2R 2R(3)a : b : c sin

5、 A : sin B : sin C(4)sin Ab asin B sin AcsinCsin C sin B2.正弦定理的基本作用为:已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边,bsin Asin B '已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sin Aa . sin B。 b般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形3.利用正弦定理解三角形使，经常用到： A B C sin(A B) sin C,cos(A B) sinC Sabc1 . 八 absin C2教学例题:例 1 已知在 ABC 中，c 10, A 450,C 300，求 a,b

6、 和 B.分析已知条件讨论如何利用边角关系小范格式小结：已知两角一边解:例 2 ABC 中，c 烬,A 450,a 2,求 b和 B,C解：例3在ABC中，bJ3, B 600,c 1,求a和A,C课后作业1 .在 ABC 中，-a- sin AA2R BR2 .在ABC中，已知角b csin B sin CC4Rk,则k为（）1DR（R为AB3卜接圆半径）245 , c 272,bA. 15 B. 75 C. 105 D. 75 或 153、在 ABC 中，若 A 30 ,B 60,则 a:b:c _4、在 ABC 中，若 B 60 , b 7V6, a 14,则 A=5、在 ABC中，已知

7、a J3, b V2,B 45 ,解三角形。探究一.在 ABC中，已知a,b,A,讨论三角形解的情况b sin A分析：先由sin B -可进一步求出B；则 C 1800 (A B)，从而 c1.当A为钝角或直角时，必须 aasin Csin Ab才能有且只有一解；否则无解。2 .当A为锐角时，如果a > b,那么只有一解;3 .如果a b ,那么可以分下面三种情况来讨论：(1)若a bsin A,则有两解；(2)若a bsin A,则只有一解；(3)若a bsin A,则无解。评述：注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当 bsin A a b时，有两解；其它情况时则只

8、有一解或无解。探究二 你能画出图来表示上面各种情形下的三角形的解吗？A为锐角且例1.根据下列条件，判断解三角形的情况(1) a =20, b=28, A= 120° .无解(2) a=28, b=20, A= 45° ; 一解(3) c=54, b=39, C= 115° ; 一解(4) b = 11, a=20, B= 30° ;两解随堂练习1(1)在 ABC中，已知a 80, b 100, A 45°,试判断此三角形的解的情况。(2)在 ABC中，若a 1，c 1， C 400,则符合题意的b的值有个。(3)在 ABC中，a xcm, b

9、2cm,B 450 ,如果利用正弦定理解三角形有两解，求x的取值范围。(答案：(1)有两解；(2) 0; (3) 2 x 2近)ab c例2.在ABC中，已知，判断 ABC的形状.cos A cosBcosC随堂练习21 . ABC43, sin2 A sin2 B sin2C ,则4 ABCj ( A )A.直角三角形B.等腰直角三角形C.等边三角形D. 等腰三角形2 .已知 ABC满足条件acosA bcosB,判断 ABC的类型。答案：ABC是等腰或直角三角形1 .根据下列条件，判断解三角形的情况(1)、a 14,b 16 , A 45 (2)、a 12 , c 15 , A 120(3

10、)、a 8,b16 , A 30 (4)、b 18 ,c 20 , B 602 .在 ABC 中，a=15, b=10,A=60° ,则 cosB：a=1 ,b= 33 , A+C =2B,则 sinC=A 逑B芷C 叵D逅 33333 .已知a,b,c分别是 ABC的三个内角A,B,C所对的边，若4根据条件解三角形：(1) c10 , A45 ,C30，求边 a,b.(2) A30 , B 120 ,b12，求边 a,c.(3)a 16 , b 16 J3, A 30 ,求角 B , C 和边 c.(4)b 13 , a26 , B 30，解这个三角形。(5) b40 ,c 20

11、,C45,解这个三角形(6)c1, bV3", B60,求 a,A, C。5.设锐角 ABC的内角 A B、C的对边分别为 a、b、c, a=2bsinA . (1)求B的大小；(2)求cosA+sinC的取值 范围.同步分层能力测试题(一)一.填空题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1 .在4AB/，若 a=石,b= JT5,A=30°，则边 c=，2 .在 A ABC,已知 A=450, B=600 , c =1 ,贝U a= .3 .在A ABC,已知a=5,b=12,c=13.最大内角为度。4 .在 A ABC,已知 b=4,c=8,B=30 0 .则 a=

12、。5 . a,b,c是 AABC 的三边，且 B=1200，贝 U a2+ac+c2-b2 的值为.6 .在 AB/，若 a=50, b=25 , A=45。贝U B=a b c7 .在 ABC中，有等式： asinA=bsinB ; asinB=bsinA ; acosB=bcosA; . 其中怛成立的等式序万为 sin A sin B sinC .8 .在 ABC中，a, b, c分别为三个内角A b、c所对的边，设向量:a c,b , q b a,c a ,若向量2/g,则角c的大小为。二.解答题(本大题共4小题，共54分)9 .在 ABC中，a=3, c=3 召，A=3C°,

13、贝U角 C 及 b.ABC形状;10 .在 ABC中， 已知：acosB=bcosA ,试判断cos2A cos2B求证：22a b(1)在锐角三角形中，边 a、b是方程x2 2* x+2=0的两根，角A、B满足2sin(A+B) -3 =0 ,求角C的度数，边c的长度.,，一 一312.在4ABC中，已知角 A、B、C对应的边分别为 a、b、c,.且C=2A. cos A=4(1)求cosC和cosB的值； 27当BA? BC 时，求a、b、c的值.2余弦定理a2=b2+c22bc cosA, b2= c2+a22ca cos B, c2= a2+b2 2ab cosC.(4)余弦定理的变式

14、222222222cosA=，a ; cos B= cL ; cosC= 一c .2bc '2ca '2ab正余弦定理考点考点一：利用正、余弦定理解三角形在ABCf,若b=q2, c=1, B= 45。，求a及C的值;(2)若八=60° , a=7, b=5,求边 c.知识概括、方法总结与易错点分析1 .已知两边和一边的对角解三角形时，可有两解、一解、无解三种情况，应根据已知条件判断解的情况，主要 是根据图形或由“大边对大角”作出判断.2 .应熟练掌握余弦定理及其推论.解三角形时，有时可用正弦定理，也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更 方便、简捷.3 .三角形中常见的

15、结论(1)A +B+ C=兀.(2)在三角形中大边对大角，反之亦然.(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.针对性练习在ABC43,已知a=7, b= 3, c=5,求最大角和 sin C考点二：利用正、余弦定理判断三角形形状典型例题 ABC 中，已知 acosA=bcosB,则 ABC为()A.等腰三角形B .直角三角形 C .等腰三角形或直角三角形 D .等腰直角三角形知识概括、方法总结与易错点分析依据已知条件中的边角关系判断时，主要有如下两种方法：1 .利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形 的形状；2 .利用正、余弦

16、定理把已知条件转化为内角的三角函数间关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从 而判断出三角形的形状，此时要注意应用A+ B+上兀这个结论.针对性练习：一 sn ,_ sin A+ sin B 、已知 ABC, sin C»试判断 ABC勺形状.cosA+ cos B.2cos1i-1=0/.cos (A+B )二口 /A+B=1.即C叁. “ABC是直角三角形.证明：:在上ABC中 f sinC- sin+siriB co&A+cosB2与i*第xcos与反/.sin (A+B )二-'22sin2包鼠鸟2cos2考点三：三角形面积公式的应用典型例题已知 ABC

17、3, cosA=乎，a, b, c分别是角 A、B、C的对边.求 tan2A; (2)若 sin( y+B) =232, c=2，2,求ABC勺面积.知识概括、方法总结与易错点分析3 .三角形面积公式的选取取决于三角形中的哪个角可求，或三角形的哪个角的正弦值可求. _ 1_ 114 .在解决二角形问题中，面积公式S= 2absinC= 2bcsin A= 2acsin B取常用，因为公式中既有边也有角，谷易和正弦定理、余弦定理联系起来.针对性练习：在AB8, a, b, c 分别是 A, B, C的对边，且满足(2a-c)cos B= bcosC求角B的大小；(2)若 b=<7, a+c

18、=4,求ABC勺面积.考点四：正、余弦定理的综合应用 典型例题：在ABC43,A、B为锐角，角 AB、C所对的分别为a、b、c,且cos2A=sinB=噂.(1)求A+ B的值；(2)若 a-b= 2J2- 1,求 a、b、c 的值.知识概括、方法总结与易错点分析(1)正弦定理和余弦定理并不是孤立的，解题时要根据具体题目合理运用，有时还需要交替使用.(2)条件中出现平方关系多考虑余弦定理，出现一次式，一般要考虑正弦定理.针对性练习：1、在 ABC4角A, B, C所对的边分别为 a, b, c,且满足cosA=曜,AB- Ag= 3. 25(1)求ABC勺面积；(2)若b+ c=6,求a的值.

19、2、设 ABO锐角三角形，a, b, c分别是内角 A, B, C所对边长，并且sin 2A= sin(B)sin(E) + sin 2B.331)求角A的值；2) (2)若AB- AC= 12, a=2亚 求 b, c(其中 b<c).巩固作业L 2 K .1. (2010 北乐局考)在 ABC中，若 b=1, c = V3, C=-则 a =.32. (2010 广东高考)已知a,b, c分别是ABC勺三个内角 A B,C所对的边.若a=1,b=A+ C=2B,贝U sin C=.3. (2010 江苏高考)在锐角 ABC,角A B、C的对边分别为a、b、c,若'+(= 6cosC,则震C+饕C的 a btan a tan B值是.34. 在 ABC43, a, b, c 分别为角 A, B, C的对边，已知：b=2, c= 4, cosA=4.求边a的值；(2)求 cos( A B)的值.5. (2010 辽宁高考)在ABC43 ,a,b,c 分别为内角 A B, C的对边，且 2asin A= (2b+c)sin B+ (2c+b)sin C(