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1、第三章第三章 非稳态导热非稳态导热3-1 非稳态导热的根本概念非稳态导热的根本概念1 非稳态导热的根本特点非稳态导热的根本特点1在导热微分方程式中在导热微分方程式中 ，这意味着导热体内的，这意味着导热体内的 温度场随着时间而变化。温度场随着时间而变化。2在垂直于热量方向上，每一截面上热流量不相等。在垂直于热量方向上，每一截面上热流量不相等。3非稳态导热可以分为周期性和非周期性两种类型。非稳态导热可以分为周期性和非周期性两种类型。4当当为常数时，直角坐标系下的控制方程为：为常数时，直角坐标系下的控制方程为： 求解非稳态导热问题的本质便是在给定的初始条件和求解非稳态导热问题的本质便是在给定的初始条

2、件和边境条件下获得导热体的瞬间温度分布和一定时间间隔边境条件下获得导热体的瞬间温度分布和一定时间间隔内所传导的热量。本章只讨论第三类边境条件内所传导的热量。本章只讨论第三类边境条件0t3-1 3 3 温度分布：温度分布：Dt1t0HCBAEFG周期性非稳态导热：物体的温度随时间而作周期性的变化周期性非稳态导热：物体的温度随时间而作周期性的变化 瞬态非稳态导热：物体的温度随时间的推移逐渐趋近于恒定的值瞬态非稳态导热：物体的温度随时间的推移逐渐趋近于恒定的值2 2 非稳态导热的分类非稳态导热的分类 非正规情况阶段非正规情况阶段( (右侧面不参与换热右侧面不参与换热 ) )：温度分布显：温度分布显现

3、出部分为非稳态导热规律控制区和部分为初始温度区的现出部分为非稳态导热规律控制区和部分为初始温度区的混合分布，即：在此阶段物体温度分布受混合分布，即：在此阶段物体温度分布受 初始温度初始温度toto分布分布的影响较大的影响较大 正规情况阶段正规情况阶段( (右侧面参与换热右侧面参与换热 ) )：当右侧面：当右侧面参与换热以后，物体中的温度分布不受参与换热以后，物体中的温度分布不受 to to 影响，影响，主要取决于边境条件及物性，此时，非稳态导热主要取决于边境条件及物性，此时，非稳态导热过程进入到正规情况阶段。过程进入到正规情况阶段。 非正规情况阶段起始阶段、正规情况阶非正规情况阶段起始阶段、正

4、规情况阶段、新的稳态段、新的稳态导热过程的三个阶段导热过程的三个阶段二类非稳态导热的区别：前者存在着有区二类非稳态导热的区别：前者存在着有区别的两个不同阶段，而后者周期性不别的两个不同阶段，而后者周期性不存在。存在。 求解方法：求解方法：分析解法、近似分析法、数值解法分析解法、近似分析法、数值解法分析解法：分别变量法、积分变换、拉普分析解法：分别变量法、积分变换、拉普拉斯变换拉斯变换近似分析法：近似分析法： 集中参数法、积分法集中参数法、积分法数值解法：有限差分法、蒙特卡洛法、有数值解法：有限差分法、蒙特卡洛法、有限元法、分子动力学模拟、边境元法限元法、分子动力学模拟、边境元法 3-2 零维问

5、题的分析法零维问题的分析法-集中参数法集中参数法1.方法本质方法本质1集中参数法运用的条件：当物体内部的导热热阻远小于其外表的换热热阻时，集中参数法运用的条件：当物体内部的导热热阻远小于其外表的换热热阻时， 0 ,物物体在同一瞬间均处于同一温度下，所求的温度仅是时间的函数而与坐标无关。就好似把物体原来延续分布体在同一瞬间均处于同一温度下，所求的温度仅是时间的函数而与坐标无关。就好似把物体原来延续分布的质量与热容量均集中到一点上一样，即的质量与热容量均集中到一点上一样，即 t=f。这种忽略物体内部导热热阻的简化分析方法称为集中。这种忽略物体内部导热热阻的简化分析方法称为集中参数法。参数法。2引入

6、集中参数法的益处：正是由于物体温度与空间坐标无关，因此，也称为零维问题引入集中参数法的益处：正是由于物体温度与空间坐标无关，因此，也称为零维问题;因此集中参数法尤因此集中参数法尤其易于处置外形规那么的物体。其易于处置外形规那么的物体。 外部热阻内部热阻hBiV/1/2.2.方法要点方法要点 设有一任不测形的固体，其体积为设有一任不测形的固体，其体积为V V，外表积为，外表积为A A，并具，并具有均匀的初始温度有均匀的初始温度t0t0。在初始时辰，忽然将它置于温度恒为。在初始时辰，忽然将它置于温度恒为tt的流体中，设的流体中，设t0 t0 t t。固体与流体间的外表传热系数。固体与流体间的外表传

7、热系数h h及固及固体的物性参数均坚持常数。体的物性参数均坚持常数。 非稳态导热问题的普通式为非稳态导热问题的普通式为: : 如下图，任不测形的物体，参数均为知。如下图，任不测形的物体，参数均为知。00tt 时，t将其忽然置于温度恒为将其忽然置于温度恒为 的流体中。的流体中。 由于物体的内部热阻可以忽略，温度与坐标无关，于是上式简化成为: 界面上交换的热量折算成整个物体的体积热源,由于物体被冷却所以热源为负值。 于是有 a b3-3 引入过余温度 = t-t，那么 初始条件为 下面在初始条件为式(d)的情况下对导热微分方程式(c)求解。将式(c)分别变量得 c d e00dVchAdVchA

8、ln0dVchAdVchAetttt00其中的指数：其中的指数：vvFoBiAVaAVhcVAAhVcVhA222)()( V/A具有长度的量纲，记为L；hL/即为称为毕渥数，记为BiV 。 a/L2称为傅里叶数，记为FoV，这里下角码V特别用以表示毕渥数与傅里叶数中的特征长度为VA。这样，上式又可表示为2233Wm1m KkgJkgm KmhAwVcJs 方程中指数的量纲：方程中指数的量纲：vvFoBiVchAee0物体中的温度物体中的温度呈指数分布呈指数分布图3-2 用集总参数法分析时物体过余温度的变化曲线 称为时间常数，记为 c。当时间 c时，物体的过余温度曾经到达了初始过余温度值的36

9、.8%。 求出瞬时热流量 从 0到时辰之间所交换的总热量为3-73-83.3.毕渥数毕渥数BiVBiV及傅里叶数及傅里叶数FoVFoV的物理意义的物理意义 BiVBiV越小，意味着内热阻越小或外热阻越大，这越小，意味着内热阻越小或外热阻越大，这时采用集总参数法分析的结果就越接近实践情况。时采用集总参数法分析的结果就越接近实践情况。 FoVFoV越大，物体内各点的温度越接近周围介质的越大，物体内各点的温度越接近周围介质的温度。温度。外部热阻内部热阻hBiV/1/alFoV/2从边境上开场发生热扰动的时辰到时辰止的时间热扰动分散到 2 的面积上所需的时间l 采用此判据时，物体中各点过余温度的差别小

10、于采用此判据时，物体中各点过余温度的差别小于5%5%M1 . 0)AV(hBiv对厚为对厚为22的的无限大平板无限大平板对半径为对半径为R R的无的无限长圆柱限长圆柱对半径为对半径为R R的的 球球31M21M1M3BB3RR4R34AV2BB2RR2RAVBBAAAViiv23iiv2iiv4 4 集总参数法的运用条件集总参数法的运用条件是与物体几何外形是与物体几何外形有关的无量纲常数有关的无量纲常数例例3-1 3-1 不断径为不断径为5cm5cm的钢球，初始温度为的钢球，初始温度为4500c4500c，忽然被置于温，忽然被置于温 度为度为300c300c的空气中。设钢球外表与周围环境间的外

11、表传热的空气中。设钢球外表与周围环境间的外表传热 系数为系数为24w/(m2.k)24w/(m2.k)，试计算钢球冷却到，试计算钢球冷却到3000c3000c所需的时间。所需的时间。 知钢球的知钢球的c=0.48kJ/(kg.k), =7753kg/m3,=33w/(m.k)c=0.48kJ/(kg.k), =7753kg/m3,=33w/(m.k)。1.无限大的平板的分析解无限大的平板的分析解=const=const a=const a=consth=consth=const因两边对称，因两边对称，( (可以只研讨半块平壁可以只研讨半块平壁导热微分方程导热微分方程初始条件初始条件边境条件边境

12、条件xtat22)0,x0(0tt00 x0 xtx)tt (hxt( (对称性对称性) )令令t), x( t), x(xhx0 x0 x00,x0 xa022上式化为：上式化为：用分别变量法可得其分析解为：用分别变量法可得其分析解为：此处此处BnBn为离散面为离散面( (特征值特征值) )假设令假设令那么上式可改写为：那么上式可改写为：eannnnnnnxx210)cos()sin()cos()sin(2),(e22nan1nnnnn0)xcos(cossinsin2), x(nn*nn为下面超越方程的根为下面超越方程的根为毕渥准那么数，用符号为毕渥准那么数，用符号 Bi Bi 表表示示书

13、上书上P73P73表表3-13-1给出了部分给出了部分BiBi数下的数下的11值值hctgnnheannnnnnnxx210)cos()sin()cos()sin(2),(eannnnnnnxx22)(10)cos()sin()cos()sin(2),(因此因此是是F0, Bi F0, Bi 和和 函数，即函数，即0),x(x)x,B,F(f),x(i00留意：特征值留意：特征值 特征数准那么数特征数准那么数 区别n2. 非稳态导热的正规情况非稳态导热的正规情况 对无限大平板 当 取级数的首项，板中心温度， 误差小于1% 20aF2 . 0F0eFxx021)cos(cossinsin2),(

14、111110eFm021111100cossinsin2)(),0(eFxx021)cos(cossinsin2),(111110eFm021111100cossinsin2)(), 0()cos()(),(1xxm假设令Q为 内所传送热量-时辰z的平均过余温度)(00ttcVQ00001)(),(ttcVdVxttcQQVe11021sin)F(11110vcossinsin2dvv1,0调查热量的传送调查热量的传送Q0 -Q0 -非稳态导热所能传送的最大热量非稳态导热所能传送的最大热量i021010210B)Fexp(A)y(f)Fexp(A0无限大平板长圆柱体及球此处此处此处的此处的A，

15、B及函数及函数 见见P74表表3-220i20iRazFhRBRxyazFhBxy1()fy近似拟合公式近似拟合公式 可利用下面等近似计算公式计算无限大平板、无限长圆柱、可利用下面等近似计算公式计算无限大平板、无限长圆柱、球的非稳态导热，即球的非稳态导热，即 其中其中为无量纲几何位置，对平板为无量纲几何位置，对平板 x/ ，对校体及球体，对校体及球体rR， R为外外表半径。系数为外外表半径。系数A、B及函数及函数 f(1)的表达式取的表达式取决于几何外形，如表决于几何外形，如表3-1所示。所示。3-263-25表3-1 系数A、B及函数 f(1)的表达式 1、A、B和J0(x)也可采用近似公式

16、：3-27a3-27b3-27c3-27d式3-27a3-27d中的常数列于表3-2、3-3中。表3-2 式3-27a3-27d中的常数表3-3 计算J0(x)的常数3海斯勒图计算图线 为便于计算，工程技术界曾广泛采用按分析解的级数第一项而绘制的一些图线(诺谟图)，其中用以确定温度分布的图线称为海斯勒(Heisler)图。以无限大平板为例，它首先据式(3-21)给出m/0随Fo及Bi变化的曲线(此时x/0)，随后再据式(3-22)确定 /m之值，于是平板中恣意一点的/0值便为 同样，对于初始时辰到时辰物体与环境间所交换的热量，可以利用式(3-23) 作出QQ0 f(Fo，Bi)的图线。作为例如

17、，无限大平板的m/0、 /m及QQ0的计算图线示于图3-4、3-5及3-6中。3-28图3-4 无限大平板中心温度的诺谟图图3-5 无限大平板的 /m曲线图3-6 无限大平板的Q/Q0曲线 值得指出，诺模图虽然有简捷方便的优点。似其计算的准确度遭到有限的图线的影响。随着近代计算技术的迅速开展，直接运用分析解或其简化拟合式来计算的方法将日益遭到注重。4.分析解运用范围的推行和讨论 上述分析解的运用范围可以作三点推行。 (1)对无限大平板问题的分析是以平板被加热的情况为例的，但不难证明，上述结果对物体被冷却的情况同样适用； (2)从无限大平板问题的数学描画式(3-14)(3-17)可以看出，分析解

18、式(3-18)也适用于一侧绝热、另一侧为第三类边境条件的厚为的平板情形； (3)当固体外表与流体间的外表传热系数趋于无穷大时，固体的外表温度就趋近于流体温度，因此Bi时的上述分析解就是物体外表温度发生一忽然变化然后坚持不变时的解，即第一类边境条件的解。 下面讨论Fo数及Bi数对温度场的影响。 (1)分析解式(3-18)、(3-21)及诺漠图清楚地阐明，物体中各点的过余温度随时间的添加而减小。由于Fo数与成正比，所以物体中各点的过余温度亦随Fo数的添加而减小。 (2)Bi数的影响那么可以从两个方面来阐明。 一方面，从图3-4可以看出，在一样的Fo数的条件下，Bi数越大(即1Bi越小)， m/0的

19、值越小。由于Bi数越大，意味着外表上的换热条件越强，导致物体的中心温度越迅速地接近周围介质的温度。在极限情况下，Bi ，这相当于在过程开场瞬间物体外表就到达了周围介质的温度，物体中心温度的变化当然也最迅速。所以，诺谟图中1/Bi=0的线本质上就代表壁温坚持恒定的第一类边境条件的解。 另一方面，Bi数的大小还决议物体中温度的扯平程度。例如对于平板，从诺谟图3-5中可以看到，当1Bi10(即Bi0.1)时，截面上的过余温度差值已小于5。假设采用忽略物体内部热阻的简化分析，即前面已引见过的集总参数法做计算，误差也不大。在海斯勒图上，为得到更高的计算准确度，Bi数的下限不断推到0.01，这时分析解与集

20、总参数法的解相差极微。由此可见：介质温度恒定的第三类边境条件下的分析解，在Bi的极限情况下转化为第一类边境条件下的解，而在Bi0的极限情况下那么与集中参数法的解一样。3-4 二维及三维非稳态导热问题的求解 在二维及三维非稳态导热问题中，几个重要的典型几何外形物体的非稳态导热问题的分析解，可以利用维非稳态导热问题分桥解的组合求得。无限长方柱体、短圆柱体及短方柱体就是这类典型几何外形的例子。 下面以无限长方柱体(即其截面为长方形的柱体)的非稳态导热问题为例来作分析。这是一个二维问题。截面尺寸为21 22的方柱体可以看成是两块厚度分别为21及22的无限大平板垂直相交所截出的物体。讨论的目的是要找出这个二维温度场与两块无限大平板的温度场的关系。 方柱体的截面如图3-7所示。设方柱体的初始温度为t0，过程开场时被置于温度为的t度的流体中，外表与流体间的外表传热系数为h。试求其温度场。 图3-7 分析方柱体