集合与简易逻辑

1、第一章 集合与简易逻辑§1.1 集合的概念及其基本运算基础自测1.（2008· 山东理，1）满足M,且M的集合M的个数是 （ ）A.1 B.2 C.3 D.4 答案 B2.（2009·成都市第一次诊断性检测）设集合A=，集合B=，则AB等于 （ ） A. B. C. D. 答案 B3.设全集U=，集合M=MU，UM=，则a的值为 （ ）A.2或-8 B.-8或-2 C.-2或8 D.2或8答案 D4.(2008·四川理，1)设集合U=AB则U（AB）等于 （ ） A. B. C. D. 答案 B5.设U为全集，非空集合A、B满足AB，则下列集合为空集的是

2、 （ ） A.AB B.AUB） C.BUA） D.（UA）（UB） 答案 B例1 若a,bR,集合求b-a的值.解 由可知a0，则只能a+b=0，则有以下对应关系：或由得符合题意；无解.所以b-a=2.例2 已知集合A=，集合B=(1)若AB，求实数a的取值范围；(2)若BA，求实数a的取值范围；(3)A、B能否相等？若能，求出a的值；若不能，试说明理由.解 A中不等式的解集应分三种情况讨论：若a=0，则A=R;若a0，则A=若a0，则A=(1)当a=0时，若AB，此种情况不存在.当a0时，若AB，如图，则a-8.当a0时，若AB，如图，则a2.综上知，此时a的取值范围是a-8或a2.(2)

3、当a=0时，显然BA；当a0时,若BA，如图，则-a0;当a0，若BA，如图，则0a2.综上知，当BA时，-（3）当且仅当A、B两个集合互相包含时，A=B.由（1）、（2）知，a=2.例3（12分）设集合A=B（1）若AB求实数a的值；（2）若AB=A，求实数a的取值范围；（3）若U=R，A（UB）=A.求实数a的取值范围.解 由x2-3x+2=0得x=1或x=2,故集合A= （1）AB2B，代入B中的方程，得a2+4a+3=0,a=-1或a=-3; 1分当a=-1时，B=满足条件；当a=-3时，B=满足条件；综上，a的值为-1或-3. 3分（2）对于集合B，=4（a+1）2-4(a2-5)=

4、8(a+3).AB=A，BA,当0,即a-3时，B=，满足条件；当=0，即a=-3时，B=，满足条件；当0，即a-3时，B=A=才能满足条件， 5分则由根与系数的关系得即矛盾；综上，a的取值范围是a-3. 7分（3）A（UB）=A，AUB，A 8分若B=，则0适合；若B，则a=-3时，B=，AB，不合题意；a-3，此时需1B且2将2代入B的方程得a=-1或a=-3（舍去）；将1代入B的方程得a2+2a-2=0a-1且a-3且a-1 11分综上，a的取值范围是a-3或-3a-1-或-1-a-1或-1a-1+或a-1+. 12分例4 若集合A1、A2满足A1A2=A，则称（A1，A2）为集合A的一

5、种分拆，并规定：当且仅当A1=A2时，（A1，A2）与（A2，A1）为集合A的同一种分拆，则集合A=的不同分拆种数是 （ ）A.27 B.26 C.9 D.8答案 A1.设含有三个实数的集合可表示为也可表示为其中a,d,qR,求常数q.解 依元素的互异性可知，a0,d0，q0,q.由两集合相等，有（1）或（2）由（1）得a+2a（q-1）=aq2,a0, q2-2q+1=0,q=1(舍去).由（2）得a+2a(q2-1)=aq,a0,2q2-q-1=0,q=1或q=-q1, q=-综上所述,q=-2.（1）若集合P= S 且SP,求a的可取值组成的集合；（2）若集合A=B且B，求由m的可取值组

6、成的集合.解 （1）P=当a=0时，S=，满足SP；当a0时，方程ax+1=0的解为x=-为满足SP,可使或即a=或a=-故所求集合为（2）当m+12m-1，即m2时，B=，满足BA；若B，且满足BA，如图所示，则即2m3.综上所述，m的取值范围为m2或2m3,即所求集合为3.已知集合A=B，试问是否存在实数a，使得AB 若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由. 解 方法一 假设存在实数a满足条件AB则有 （1）当A时，由ABB，知集合A中的元素为非正数， 设方程x2+(2+a)x+1=0的两根为x1,x2,则由根与系数的关系，得 （2）当A=时，则有=(2+a)2-40，解得-4a0. 综

7、上（1）、（2），知存在满足条件AB的实数a,其取值范围是（-4，+）.方法二 假设存在实数a满足条件AB，则方程x2+(2+a)x+1=0的两实数根x1，x2至少有一个为正，因为x1·x2=10，所以两根x1,x2均为正数.则由根与系数的关系，得解得又集合的补集为存在满足条件AB=的实数a,其取值范围是（-4，+）.4.设集合S=，在S上定义运算为：AiAj=Ak,其中k为i+j被4除的余数，i,j=0，1，2，3,则满足关系式（xx）A2=A0的x(xS)的个数为 （ ）A.1 B.2 C.3 D.4答案 B一、选择题1.(2008·江西理，2)定义集合运算：A*B=设

8、A=B则集合A*B 的所有元素之和为 （ ）A.0 B.2 C.3 D.6答案 D2.（2009· 武汉武昌区调研测试）设集合则 （ ） A. B. C. D. 答案 A3.设全集U=R,集合M=x|x1或x3,集合P=，且UMP，则实数k的取值 范围是 （ ）A.k0或k3 B.1k2 C.0k3 D.-1k3答案 C4.(2008·安徽理，2)集合A=则下列结论中正确的是 （ ） A.AB B.( RA)B-,0） C.AB=(0,+） D.（RA）B 答案 D5. 已知集合P=（x，y）|x|+|y|=1，Q=（x，y）|x2+y21，则 ( ）A.PQ B.P=Q

9、C.PQ D.PQ=Q答案 A6.(2008·长沙模拟) 已知集合A=x|y=,xZ，B=y|y=x2+1,xA,则AB为 （ ）A. B.0，+） C.1 D.（0，1）答案C二、填空题7.集合A=x|x-3|<a,a>0，B=x|x2-3x+2<0，且BA，则实数a的取值范围是 .答案 2，+）8.(2008·福建理，16) 设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a、bP，都有a+b、a-b、ab、P（除数b0）,则称P是一个数域.例如有理数集Q是数域;数集F=a+b|a,bQ也是数域.有下列命题:整数集是数域;若有理数集QM,则数集M必为数域;数

10、域必为无限集;存在无穷多个数域.其中正确的命题的序号是 .(把你认为正确的命题的序号都填上)答案 三、解答题9.已知集合A=x|mx2-2x+3=0，mR.（1）若A是空集，求m的取值范围；（2）若A中只有一个元素，求m的值；（3）若A中至多只有一个元素，求m的取值范围.解 集合A是方程mx2-2x+3=0在实数范围内的解集.(1)A是空集，方程mx2-2x+3=0无解.=4-12m<0,即m>.（2）A中只有一个元素，方程mx2-2x+3=0只有一个解.若m=0，方程为-2x+3=0，只有一解x=;若m0，则=0，即4-12m=0,m=.m=0或m=.(3)A中至多只有一个元素包

11、含A中只有一个元素和A是空集两种含义，根据（1）、（2）的结果，得m=0或m.10.（1）已知A=a+2，（a+1）2，a2+3a+3且1A，求实数a的值；（2）已知M=2，a，b，N=2a，2，b2且M=N，求a，b的值.解（1）由题意知：a+2=1或(a+1)2=1或a2+3a+3=1，a=-1或-2或0，根据元素的互异性排除-1，-2,a=0即为所求.（2）由题意知,或或或根据元素的互异性得或即为所求.11.已知集合A=B= （1）当m=3时，求A（RB）；（2）若AB，求实数m的值.解 由得-1x5,A=.（1）当m=3时，B=，则RB=，A（RB）=.(2)A=有42-2×

12、4-m=0,解得m=8.此时B=,符合题意，故实数m的值为8. 12.设集合A=（x,y）|y=2x-1,xN*,B=(x,y)|y=ax2-ax+a,xN*，问是否存在非零整数a,使AB？若存在，请求出a的值；若不存在，说明理由.解 假设AB，则方程组有正整数解，消去y,得ax2-(a+2)x+a+1=0.由0，有（a+2）2-4a(a+1)0,解得-.因a为非零整数，a=±1，当a=-1时，代入（*），解得x=0或x=-1,而xN*.故a-1.当a=1时，代入（*）,解得x=1或x=2，符合题意.故存在a=1,使得AB,此时AB=（1，1），（2，3）.§1.2 简易逻

13、辑基础自测1.下列语句中是命题的是 （ ） A.|x+a| B. C.元素与集合 D.真子集 答案 B2.（2008·湖北理，2）若非空集合A、B、C满足AB=C，且B不是A的子集，则 （ ）A.“xC”是“xA”的充分条件但不是必要条件B.“xC”是“xA”的必要条件但不是充分条件 C.“xC”是“xA”的充要条件 D.“xC”既不是“xA”的充分条件也不是“xA”的必要条件答案B3. 若命题p的否命题为r，命题r的逆命题为s，则s是p的逆命题t的 （ ） A.逆否命题 B.逆命题 C.否命题 D.原命题答案C4.已知命题p:33;q:3>4,则下列选项正确的是 （ ） A.

14、pq为假，pq为假，p为真 B. pq为真，pq为假，p为真C. pq为假，pq为假，p为假 D. pq为真，pq为假，p为假答案 D5.(2008· 广东理，6)已知命题p:所有有理数都是实数；命题q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是 （ ）A.（p ）q B. pq C. （p ）（q） D. （p ）（q）答案 D例1 把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题、逆否命题.（1）正三角形的三内角相等；（2）全等三角形的面积相等；（3）已知a，b，c，d是实数，若a=b,c=d,则a+c=b+d.解 （1）原命题:若一个三角形是正三角形，则它的三

15、个内角相等.逆命题：若一个三角形的三个内角相等，则这个三角形是正三角形（或写成：三个内角相等的三角形是正三角形）.否命题：若一个三角形不是正三角形，则它的三个内角不全相等.逆否命题：若一个三角形的三个内角不全相等，那么这个三角形不是正三角形（或写成：三个内角不全相等的三角形不是正三角形）.(2)原命题:若两个三角形全等，则它们的面积相等.逆命题：若两个三角形面积相等，则这两个三角形全等（或写成：面积相等的三角形全等）.否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形面积不相等（或写成：不全等的三角形面积不相等）.逆否命题：若两个三角形面积不相等，则这两个三角形不全等.（3）原命题:已知a,b,c,d

16、是实数，若a=b,c=d，则a+c=b+d.逆命题：已知a,b,c,d是实数，若a+c=b+d，则a与b，c与d都相等.否命题：已知a,b,c,d是实数，若a与b,c与d不都相等，则a+cb+d.逆否命题：已知a,b,c,d是实数，若a+cb+d,则a与b,c与d不都相等.例2 指出下列命题中，p是q的什么条件（在“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”中选出一种作答）.（1）在ABC中，p：A=B，q：sinA=sinB；（2）对于实数x、y，p：x+y8,q:x2或y6;（3）非空集合A、B中，p：xAB，q：xB；（4）已知x、yR，p：（x-1）2

17、+（y-2）2=0，q：（x-1）（y-2）=0.解 （1）在ABC中，A=BsinA=sinB，反之，若sinA=sinB，因为A与B不可能互补（因为三角形三个内角和为180°),所以只有A=B.故p是q的充要条件.(2)易知: p:x+y=8, q:x=2且y=6,显然qp.但pq,即q 是p 的充分不必要条件,根据原命题和逆否命题的等价性知,p是q的充分不必要条件.(3)显然xAB不一定有xB,但xB一定有xAB,所以p是q的必要不充分条件.(4)条件p:x=1且y=2,条件q:x=1或y=2,所以pq但qp,故p是q的充分不必要条件.例3 已知ab0，求证：a+b=1的充要条

18、件是a3+b3+ab-a2-b2=0.证明（必要性）a+b=1，a+b-1=0， a3+b3+ab-a2-b2=（a+b）（a2-ab+b2）-（a2-ab+b2） =（a+b-1）（a2-ab+b2）=0. （充分性）a3+b3+ab-a2-b2=0,即（a+b-1）（a2-ab+b2）=0， 又ab0,a0且b0,a2-ab+b2=（a-b2>0,a+b-1=0,即a+b=1, 综上可知,当ab0时,a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0. 例4（12分）已知两个命题r(x):sinx+cosx>m,s(x):x2+mx+1>0.如果对xR,r(x)与s(

19、x)有且仅有一个是真命题.求实数m的取值范围.解 sinx+cosx=sin(x+当r(x)是真命题时,m<-， 2分又对xR，s(x)为真命题，即x2+mx+1>0恒成立，有=m2-4<0,-2<m<2, 4分当r(x)为真，s(x)为假时，m-,同时m-2或m2，即m-2 ; 6分 当r(x)为假，s(x)为真时，m-且-2<m<2,即-m<2. 8分综上，实数m的取值范围是m-2或-m<2. 12分1. 写出下列命题的否命题，并判断原命题及否命题的真假：（1）如果一个三角形的三条边都相等，那么这个三角形的三个角都相等；（2）矩形的对角

20、线互相平分且相等；（3）相似三角形一定是全等三角形.解 （1）否命题是：“如果一个三角形的三条边不都相等，那么这个三角形的三个角也不都相等”.原命题为真命题，否命题也为真命题.（2）否命题是：“如果四边形不是矩形，那么对角线不互相平分或不相等”原命题是真命题，否命题是假命题.（3）否命题是：“不相似的三角形一定不是全等三角形”.原命题是假命题，否命题是真命题.2.（2008·湖南理，2）“|x-1|<2成立”是“x(x-3)<0成立”的 （ ）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件答案B3. 证明一元二次方程ax2+bx+c=0有

21、一正根和一负根的充要条件是ac<0.证明 充分性：若ac<0,则b2-4ac>0,且<0,方程ax2+bx+c=0有两个相异实根，且两根异号，即方程有一正根和一负根. 必要性：若一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根，则=b2-4ac>0,x1x2=<0,ac<0. 综上所述，一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.4.已知a>0,设命题p:函数y=ax在R上单调递减，q：不等式x+|x-2a|>1的解集为R,若p和q中有且只有一个命题为真命题，求a的取值范围. 解 由函数y=ax在R上单调递减

22、知0<a<1，所以命题p为真命题时a的取值范围是0<a<1,令y=x+|x-2a|, 则y=不等式x+|x-2a|>1的解集为R，只要ymin>1即可，而函数y在R上的最小值为2a，所以2a>1，即a>即q真a>若p真q假,则0<a若p假q真，则a1,所以命题p和q有且只有一个命题正确时a的取值范围是0<a或a1.一、选择题1.下列命题：5>4或4>5；93；命题“若a>b,则a+c>b+c”的否命题；命题“矩形的两条对角线相等”的逆命题.其中假命题的个数为 （ ）A.0 B.1 C.2 D.3答案 B2

23、.（2008·重庆理，2）设m，n是整数，则“m，n均为偶数”是“m+n是偶数”的 （ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案A3.“x>1”是“x2>x”的 （ ）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案A4.若命题p:x则是 （ ）A BC D答案 B 5.若p、q是两个简单命题，且“pq”的否定是真命题，则必有 （ ）A.p真q真 B.p假q假 C.p真q假 D.p假q真 答案 B6.（2008·安徽理，7）“a<0”是“方程ax2+2x+1=0至少有一个

24、负数根”的 （ ）A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件答案B二、填空题7.设集合A=则集合= .答案 8.(2008·全国理，16)平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行.类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件. 充要条件 ；充要条件 .(写出你认为正确的两个充要条件)答案 两组相对侧面分别平行；一组相对侧面平行且全等；对角线交于一点；底面是平行四边形等.(答案不唯一)三、解答题9. 求关于x的方程x2-mx+3m-2=0的两根均大于1的充要条件.解 设方程的两根分别为x1、x2，则原方程有两

25、个大于1的根的充要条件是即又x1+x2=m,x1x2=3m-2,故所求的充要条件为m6+2.10. 已知x,yR.求证：|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy0.证明（充分性）若xy0,则x,y至少有一个为0或同号.|x+y|=|x|+|y|一定成立.（必要性）若|x+y|=|x|+|y|,则(x+y)2=(|x|+|y|)2,x2+2xy+y2=x2+2|xy|+y2,xy=|xy|,xy0.综上，命题得证.11.已知命题p:方程x2+mx+1=0有两个不等的负实数根；命题q:方程4x2+4（m-2）x+1=0无实数根.若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求m的取值范围. 解

26、由p得：则m>2. 由q知：=16 (m-2)2-16=16(m2-4m+3)<0,则1<m<3.“p或q”为真，“p且q”为假，p为真，q为假，或p为假,q为真.则或解得m3或1<m2.12.(1)是否存在实数p,使“4x+p<0”是“x2-x-2>0”的充分条件？如果存在，求出p的取值范围；（2）是否存在实数p，使“4x+p<0”是“x2-x-2>0”的必要条件？如果存在，求出p的取值范围.解 （1）当x>2或x<-1时，x2-x-2>0,由4x+p<0,得x<-故-1时，“x<-”“x<-1”

27、“x2-x-2>0”. p4时，“4x+p<0”是“x2-x-2>0”的充分条件.（2）不存在实数p满足题设要求.章末检测一一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.(2008·北京理，1) 已知全集U=R,集合A=x|-2x3,B=x|x<-1或x>4,那么集合A(uB)等于 （ ） A. B.C. D.答案 D2.已知p是r的充分不必要条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，那么p是q成立的 ( ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案A 3.（2009·合肥模拟）已知条件p：（x

28、+1）2>4，条件q:x>a,且的充分而不必要条件，则a的取值范围是 （ ） A.a1 B.a1 C.a-3 D.a-3 答案A4.“a=2”是“直线ax+2y=0平行于直线x+y=1”的 ( )A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件答案C5.设集合M=x|x>2，P=x|x<3,那么“xM或xP”是“xMP”的 （ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案B6.在下列电路图中，表示开关A闭合是灯泡B亮的必要但不充分条件的线路图是 （ ）答案B7.(2008·浙江理，

29、3)已知a,b都是实数，那么“a2>b2”是“a>b”的 （ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 D8.(2008·天津理，6)设集合S=x|x-2|>3,T=x|a<x<a+8，ST=R，则a的取值范围是 （ ）A.-3<a<-1 B.-3a-1 C.a-3或a-1 D.a<-3或a>-1答案A 9.（2008·北京海淀模拟）若集合A=1，m2，集合B=2，4，则“m=2”是“AB=4”的 （ ）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既

30、不充分也不必要条件答案A10.若数列an满足=p（p为正常数，nN*），则称an为“等方比数列”.甲：数列an是等方比数列；乙：数列an是等比数列，则 ( ）A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件答案B 11.（2008·浙江理，2）已知U=R，A=x|x>0,B=x|x-1，则（AUB）（BUA）等于 （ ） A. B.x|x0 C.x|x>-1 D.x|x>0或x-1答案D12.命题p:若a、b R,则|a|+|b|>1是|a+b|>1的充分而不必要条件

31、.命题q:函数y=的定义域是，则 （ ）A“p或q”为假 B“p且q”为真Cp真q假 Dp假q真答案 D 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13.设集合A=5,log2（a+3），集合B=a，b，若AB=2，则AB= .答案 1，2，514.已知条件p：|x+1|>2,条件q:5x-6>x2，则非p是非q的 条件.答案 充分不必要15.不等式|x|<a的一个充分条件为0<x<1,则a的取值范围为 .答案 a116.已知下列四个命题： a是正数；b是负数；a+b是负数；ab是非正数. 选择其中两个作为题设，一个作为结论，写出一个逆否命题是真命题的复合

32、命题 . 答案 若则（或若则或若则）三、解答题（本大题共6小题，共74分）17.（12分）设命题p：（4x-3）21;命题q:x2-(2a+1)x+a(a+1)0,若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围.解 设A=x|(4x-3)21,B=x|x2-(2a+1)x+a(a+1)0,易知A=x|x1,B=x|axa+1.由p是q的必要不充分条件，从而p是q的充分不必要条件，即AB，故所求实数a的取值范围是0，.18.（12分）已知集合U=R,UA=，B=x|x2+3（a+1）x+a2-1=0，且AB=A，求实数a的取值范围解 A=0，-6，AB=A，BA.（1）当B=A时，由得a=1,（2）当BA时，若B=，则方程x2+3(a+1)x+a2-1=0无实根.即<0,得9(a+1)2-4(a2-1)<0,解得-<a<-1.若B，则方程x2+3(a+1)x+a2-1=0有相等的实根，即=0,即a=-1或a=-.由a=-1得B=0,有BA；由a=-,得B=不满足BA，舍去，综上可知，-<a-1或a=1.19.（12分）已知p：|1-|2，q：x2-2x