高考中数学不等式经典题型

1、高考不等式经典题型研学总结研学背景： 作为一名高中生高考是我们必经的阶段，也是人生的重要一步。我们有必要为此作准备。由于我们对数学的不等式比较有兴趣，因此确定了这样的研究性学习专题。研学目的： 我们想通过这次的研学，接触更多的高考不等式题型，学习更多有关不等式的知识。提高我们的数学水平，分析未来高考不等式的命题趋势，为将来的高考打好基础。研学小组成员：指导老师：杨志明 组员：马是哲 刘思源 俞泽坤 吴逸飞 李业铿 1、 高考与不等式纵观近年来的高考试题，有关不等式的试题占的分值相当大，约占总分的12%，已经成为高考必考的热点内容，不仅考查不等式的基本知识，基本技能，而且注重考查学生的运算能力，

2、逻辑思维能力，以及分析问题和解决问题的能力选择题和填空题主要考查不等式的性质、比较大小和解简单不等式，有时还可能与函数、方程等内容相结合的小综合解答题主要是解不等式或证明不等式或以其他知识为载体的综合题。单独考不等式的考题占分不多，但涉及不等式的知识、方法、技巧的问题往往占有较大的比例，其中不等式常常与下列知识相结合考查：不等式的性质的考查常与指数函数、对数函数、三角函数的性质的考查相结合，一般多以选择题的形式出现，有时也与充要条件、函数单调性等知识结合，且试题难度不大；解不等式的试题主要在解答中出现，常常是解含参不等式较多，且多与二次函数、指数、对数、可能还会出现导数相结合命题；证明不等式是

3、理科考查的重点，经常同一次函数、二次函数、数列、解析几何，甚至还可能与平面向量等结合起来考查2、 命题趋势及典型例题解释 （1）不等式的性质考查会与函数性质相结合起来，一般多以选择题出现，填空题出现，也有可能与充要条件、逻辑知识结合起来例1：设命题甲：x和y满足，命题乙：x和y满足 ，那么 甲是乙的（）A  充分但不必要条件  B  必要但不充分条件C 充要条件  D 既不充分也不必要条件 思路根据同向不等式的可加性，从乙甲和甲乙两个方面进行推导，再结合充要条件相关概念进行分析。破解易知即乙甲；但当时，显

4、然满足不满足故甲乙 不成立。从而甲是乙的必要但不充分条件 。故选B收获本题将不等式的可加性与充要条件的相关概念进行了有机结合。做题时不要将充分不必要条件与必要不充分条件混淆起来。例2：已知.设函数在R上单调递减.不等式的解集为R.如果和有且仅有一个正确，求的取值范围.思路 此题虽是一道在老教材之下的高考试题，但揭示了“解不等式”一类高考试题的命题方向.在新教材中，绝对值不等式的解法和二次不等式的解法与集合运算、命题判断都有一定联系，属于对于学生提出的基本要求内容的范畴，本题将这几部分知识内容有机地结合在一起，在考查学生基础知识、基本方法掌握的同时，考查了学生命题转换，分类讨论等能力，

5、在不同的方法下有不同的运算量，较好地体现出了“多考一点想，少考一点算”的命题原则.破解:函数在R上单调递减，不等式的解集为R函数在R上恒大于1，函数在R上的最小值为，不等式的解集为R，即，若正确，且不正确，则；若正确，且不正确，则；所以的取值范围为.收获“解不等式”一类的命题可以有形式上的更新和内容上的变化.结合简易逻辑的概念和集合的语言来命题，借助集合的运算性质和四个命题的关系来作答，是这个命题的基本特征，在求解时则主要以化归思想为破解切入点.复习中对于此类问题要引起足够的重视.（2）解不等式的题常以填空题和解答题的形式出现，此类题主要以一元二次不等式，分式不等式，含绝对值不等式为主，在解答

6、题中含字母参数的不等式较多，需要对字母进行分类讨论例3：解关于的不等式。 分析 本例涉及了两个讨论点：二次项系数和判别式的符号 解 (1)当时：若，则，不等式解集为；若，则，解集为.(2)当时：不等式为，解集为(3)当时：若，则，解集为. 若，不等式为，解集为且. 若，则，解集为 点拨 由于分类的原因有两个，为了避免逻辑混乱，本例采取了“二级分类”方法：第一级以二次项系数的符号作为划分的依据；第二级依判别式的符号进行划分例4：若不等式|4|+|3|<的解集为空集，求的取值范围。思路此不等式左边含有两个绝对值符号，可考虑采用零点分段法，即令每一项都等于0，得到的值作为讨论的分区点，然后再分

7、区间讨论绝对值不等式，最后应求出解集的并集，这是按常规去掉绝对值符号的方法求解，运算量较大。若仔细观察不等式左边的结构，利用绝对值的几何意义用数形结合方法或联想到绝对值不等式|+|+|，便把问题简化。破解解法一 (1)当0时，不等式的解集是空集。(2)当>0时，先求不等式|4|+|3|<有解时的取值范围。令4=0得=4，令3=0得=3 当4时，原不等式化为4+3<，即27<解不等式组，>1 当3<<4时，原不等式化为4+3<得>1 当3时，原不等式化为4+3<即72<解不等式，>1综合可知，当>1时，原不等式有解，从

8、而当0<1时，原不等式解集为空集。由(1)(2)知所求取值范围是1解法二：由|4|+|3|的最小值为1得当>1时，|4|+|3|<有解从而当1时，原不等式解集为空集。解法三： >|4|+|3|4+3|=1当>1时，|4|+|3|<有解从而当1时，原不等式解集为空集。收获1）一题有多法，破解时需学会寻找最优解法。2）有解；解集为空集；这两者互补。恒成立。有解；解集为空集；这两者互补。恒成立。有解；解集为空集；这两者互补。恒成立。有解；解集为空集；这两者互补。恒成立。（3）证明不等式一般同函数知识相结合，综合性较强，灵活性较大，具有较好的区分度例5：若二次函数的

9、图象经过原点，且，求的范围思路要求的取值范围，只需找到含的不等式(组)由于是二次函数，所以应先将的表达形式写出来即可求得的表达式，然后依题设条件列出含有的不等式(组)，即可求解破解因为的图象经过原点，所以可设于是解法一(利用基本不等式的性质)不等式组(1)变形得其中等号分别在与时成立，且与也满足（1）所以的取值范围是解法二(数形结合)建立直角坐标系，作出不等式组(1)所表示的区域，如图中的阴影部分因为，所以表示斜率为2的直线系如图6，当直线过点，时，分别取得的最小值6，最大值10即的取值范围是：解法三(利用方程的思想)因为所以又，而， 所以+得即。收获1)在解不等式时，要求作同解变形要避免出现

10、以下一种错解：将不等式组（1）变形得，而，所以 2)对这类问题的求解关键一步是，找到的数学结构，然后依其数学结构特征，揭示其代数的、几何的本质，利用不等式的基本性质、数形结合、方程等数学思想方法，从不同角度去解决同一问题若长期这样思考问题，数学的素养一定会迅速提高3）本题灵活地考查了同向不等式的可加性，但要注意的数学结构。3、 我们的收获 通过这次的研究性学习，我们懂得了很多有关不等式的知识，并得出以下心得。(1)重视数学思想方法的复习从命题趋向来看，我们应该加强对数学思想方法的复习在复习不等式的解法时，加强等价转化思想的训练力度，由于解不等式的过程实质就是一个等价转化的过程，通过等价转化可以

11、简化不等式（组），以快速、准确求解加强分类讨论思想的复习在解不等式或证不等式的过程中，如含有参数等问题，这时可能要对参数进行分类讨论其中在讨论的过程中，要明白引起讨论的原因，同时要合理分类，要做到不重不漏加强函数与方程思想在不等式中的应用训练，不等式、函数、方程三者密不可分，相互联系，互相转化，如求参数的取值范围问题，函数与方程思想是解决这类问题的重要方法在不等式的证明中，要加强化归思想的复习，证明不等式的过程是一个把已知条件向要证结论的一个转化过程，这既可考查学生的基础知识，又可考查学生分析问题和解决问题的能力，正因为证明不等式是高考考查学生代数推理能力的重要素材，所以在复习中应特别加以关注（2）强化不等式的应用由于不等式单独命题较少，常在函数、数列、立几、解几和实际应用问题的试题中涉及不等式的知识，加强不等式应用能力，是提高解综合问题能力的关键，因此，在复习时应加强这方面知识和能力的