随机微分方程数值解的几乎必然稳定区域

1、第23卷第1期2010年3月纺织高校基础科学学报BASICSCIENCESJOURNALOFTEXTILEUNIVERSITIESVo.l23,No.1 March,2010 文章编号:1006 8341(2010)01 0054 05随机微分方程数值解的几乎必然稳定区域郭海山,胡良剑(东华大学应用数学系,上海200051)摘要:从研究SDE数值解入手,证明了线性标量SDE的Euler Maruyama方法数值解的几乎必然指数稳定的几个条件,并且找出了Euler Maruyama方法数值解几乎必然指数稳定区域;通过与Saito和Mitsui研究的Euler Maruyama方法数值解的均方稳定

2、区域做比较,可以发现得到的几乎必然指数稳定区域更大,因此也是更有价值的.关键词:随机微分方程;Euler Maruyama方法;数值解;几乎必然指数稳定中图分类号:O211.63 文献标识码:A近年来,随着金融工程的发展,随机微分方程(SDE)数值方法的研究引起了越来越广泛的关注1,数值稳定性是数值方法非常重要的一个性质,不稳定的数值方法往往会造成舍入误差的恶性增长并导致数值解的失真,从而研究SDE数值稳定性就显得非常重要,也是非常有价值的.文献2分析了线性标量SDE渐近稳定区域有界性问题;文献3研究了一类简单SDE随机 方法数值解的均方稳定性,给出了这类简单SDE随机 方法数值解的渐近稳定的

3、充要条件,还介绍了弱随机 方法数值解的均方稳定和渐近稳定;文献4给出了Stratonovich型SDE的随机数值稳定和渐近数值稳定的定义,并且举了几个例子说明Stratonovich型SDE的随机数值稳定和渐近数值稳定;文献5举例说明了Euler法的渐近均方稳定和指数稳定的区别,并进一步证明当Euler法用于线性检验方程时均方稳定和指数稳定是完全一致的;文献6通过数值例子说明Euler法求解随机微分方程解的二阶矩时插值法的必要性,且研究了Euler法用于均方稳定的线性检验方程时,2种插值方法的均方稳定和指数稳定性.通过数值例子比较了2种插值的不同,并分析了导致差异的原因;文献7介绍了多种SDE

4、数值解方法,研究了各种数值解方法的均方稳定区域,并通过作出它们的稳定区域比较得出向后Euler方法的稳定区域最大.本文考虑SDE数值解的Lyapunov几乎必然指数稳定性问题,证明了Euler Maruyama方法数值解的几乎必然指数稳定的条件,并且找出了数值解的几乎必然指数稳定区域;最后通过一个例子说明Euler Maruyama方法数值解的几乎必然稳定区域的意义.1 基本概念设( ,F,Ftt 0,P)是一个完备的概率空间,Ftt 0是单调上升左连续的流,F0包含所有的P 零集,设B(t)是定义在概率空间上的1维标准布朗运动.考虑1维非线性It 随机微分方程dx(t)=f(x(t)dt+g

5、(x(t)dB(t),t 0.8(1)假设f,g:R R满足局部Lipschitz条件,因此SDE(1)在0,!)上有惟一解.令Xkx(k t),X0=x(0),则Xk+1=Xk+ tf(Xk)+g(Xk) Bk.这里 t>0是步长, Bk:=B(k+1) t).B(k t)是布朗运动的增量,服从N(0, t),这就是著名的Euler Maruyama方法.如果取 # 收稿日期:2009 10 15通讯作者:胡良剑(1965 ),男,安徽省泾县人,东华大学教授.E mai:lljhu第1期 随机微分方程数值解的几乎必然稳定区域550,1有下列更为一般的随机 方法Xk+1=Xk+ t(1-

6、 )f(Xk)+ f(Xk+1)+g(Xk) Bk.当 =0时,就是Euler Maruyama方法,当 =1时,就得到了向后欧拉方法(BE)Xk+1=Xk+ tf(Xk+1)+g(Xk) Bk.考虑线性标量SDEdx(t)=!x(t)dt+x(t)dB(t),0x(0)#R,这里!,#R.8SDE(2)的解的Lyapunov指数limt !和Lyapunovp阶矩指数p2logE(|X(t)|)=p!+p(p-1),(4)t2这里p>0.因此,当且仅当!-(1/2)<0时,SDE(2)的零解是几乎必然指数稳定的,简记a.s.稳定.当且仅当!+(1/2)(p-1)<0时,SD

7、E(2)的零解是p阶矩指数稳定的,特别地p=2时称为均方稳定,简记m.s.稳定.limt !112log|X(t)|=!- a.s.t2(3)(2)2 SDE数值解稳定性对于SDE(2), t,Euler Maruyama方法的数值解是几乎必然指数稳定和p阶矩指数稳定的.2*定理1 如果线性标量SDE(2)的解是m.s.稳定的,即!+(1/2)<0,那么 t< t,其中 t22=(-(1/2)-!)/(1/2)!)#(0,1),Euler Maruyama方法的数值解存在性质1limlog|Xk|<0 a.s.,(5)k !k t即数值解是a.s.稳定的.证明 Euler M

8、aruyama方法:Xk+1=Xk+ tf(Xk)+g(Xk) Bk,代入方程(2)得到Xk+1=Xk(1+! t+ Bk).由式(7)知道Xk=x0%(1+! t+ Bj),所以有log|Xk|=log|X0|+j=0k-1(6)(7)&k-1j=0log|1+! t+ Bj|.等式的两边同时除以k t,且令k !,由经典强大数定理得limlog|XE(log|1+! t+ tZ|) a.s.,ZN(0,1).k|=k !k t因此log|1+! t+|=(1/2)log(1+! t+)= tZ+! t+tZ).(8)(1/2)log(1+2! t+由泰勒展式知log(1+u)u,u

9、 -1,所以得到log|1+! t+|(1/2)(2! t+! t+).2n2n-1由于性质E(Z)=(2n-)!和E(Z)=0,对于n=1,2,3,(,可以计算得到E! t+E(! t+于是得到E(log|1+! t+tZ|)E(!t+tZ=! t,tZ)=! t+ t.tZ+(1/2)! t+(9)tZ)=! t+(1/2)!2 t+(1/2) t=(!+(1/2) t+(1/2)! t.令C1=C1(!,)=!/2,因此得到E(log|1+! t+Z|)(!+(1/2) t+C1 t,(10)56 纺 织 高 校 基 础 科 学 学 报 第23卷*2*这里C1>0是与 t相互独立的

10、常数.取 t=(-(1/2)-!)/C1, t#(1/2)-!),因此 t< t.将式(10)代入式(8),limlog|XElog|1+! t+ tZ|k|=k !k t t2*(0,1),所以C1 t*(-(!+(1/2)+C1 t<!+(1/2)-(!+(1/2)=0.定理2 如果线性标量SDE(2)的解是a.s.稳定的,即!-(1/2)<1,且 t满足!-(1/2)+C <0时,则Euler Maruyama方法的数值解存在性质limlog|Xk|<0 a.s.,k !k t其中232243222454C =-! t+! t+! t+! t+! t+ t+

11、! t+23424323421655424152456210! t+15! t+! t+! t+! t+! t.6222证明 Euler Maruyama方法:22222(11)Xk+1=Xk+ tf(Xk)+g(Xk) Bk,代入方程(2)得到Xk+1=Xk(1+! t+ Bk).由式(13)知道Xk=x0%(1+! t+ Bj),所以有log|Xk|=log|X0|+j=0k-1(12)(13)&k-1log|1+! t+ Bj|.j=0等式的两边同时除以k t,且令k !,由经典强大数定理得11limlog|XE(log|1+! t+|) a.s.,ZN(0,1).k|=k !k

12、 t因此log|1+! t+|=(1/2)log(1+! t+(1/2)log(1+2! t+2(14)tZ)=+! t+22).2由泰勒展式log(1+u)u-(1/2)u+(1/3)u,u -1,所以得到log|1+! t+|(1/2)(2! t+(1/2)(2! t+(1/3)(2! t+! t+(1/3)! t+5+! t+ tZ+! t+ tZ+! t+- tZ)+ tZ)=22322-(1/2)! t+tZ+64tZ+(7/4)! t+! t+ tZ+(1/6)! t+ tZ.2n2n-1由于性质E(Z)=(2n-1)!和E(Z)=0,对于n=1,2,3,(,可以计算得到E! t+

13、E(! t+E(! t+E(! t+E(! t+E(! t+于是得到E(log|1+! t+tZ|)E(! t+tZ-(1/2)! t+5tZ=! t,tZ)=! t+ t,)=! t+3! t,)=! t+6! t+3 t, tZ)=! t+10! t+15! t,tZ)=! t+15! t+45! t+15! t.tZ+tZ+64266642524465552444442242222222(15)(1/3)! t+ tZ+(7/4)! t+! t+ tZ+(1/6)! t+ tZ)=第1期 随机微分方程数值解的几乎必然稳定区域! t-(1/2)! t-(1/2) t+(1/3)! t+!

14、t+(7/4)! t+(21/2)! t+(21/4) t+! t+10! t+15! t+(1/6)! t+(5/2)! t+(15/2)! t+(5/2) t.425244633244366442234255222332257令C =C (!,)=-323232243222454! t+! t+! t+! t+! t+ t+! t+2342442454242436210! t+15! t+(1/6)! t+(5/2)! t+(15/2)! t+(5/2) t.2又因为!-(1/2)+C2<0,所以112limlog|XE(log|1+! t+|)(!-(1/2)+C2<0.k|

15、=k !k t2* 推论1 假设线性标量SDE(2)的解是a.s.稳定的,如果!-(1/2)+C2<0,取 t=1;如果!-(1/2)+C2>0,取 t=(1/2)-!)/C2,则 t< t,Euler Maruyama方法的数值解存在性质1limlog|Xk|<0 a.s.,(16)k !k t23242245其中 C2=-(1/2)!+(1/3)|!|+|!|+(7/4)!+(21/2)!+(21/4)+|!|+10|!|+15|!|+(1/6)!+(5/2)!+(15/2)!+(5/2).证明 由定理2的证明可以得到E(log|1+! t+|)E! t+! t+4

16、43246422462*2*-(1/2)! t+3+ tZ+632242(1/3)! t+522 tZ+(7/4)! t+233 tZ+(1/6)! t+22 tZ=4255! t-(1/2)! t-(1/2) t+(1/3)! t+! t+(7/4)! t+(21/2)! t+(21/4) t+! t+10! t+15! t+(1/6)! t+(5/2)! t+(15/2)! t+(5/2) t(!-(1/2) t-(1/2)! t+(1/3)|!| t+|!| t+(7/4)! t+(21/2)! t+(21/4) t+|!| t+10|!| t+15|!| t+(1/6)! t+(5/2

17、)! t+(15/2)! t+(5/2) t(!-(1/2) t+(-(1/2)!+(1/3)|!|+|!|+(7/4)!+(21/2)!+(21/4)+|!|+10|!|+15|!|+(1/6)!+(5/2)!+(15/2)!+(4/2) t.令23242245C2=C2(!,)=-(1/2)!+(1/3)|!|+|!|+(7/4)!+(21/2)!+(21/4)+|!|+10|!|+15|!|+(1/6)!+(5/2)!+(15/2)!+(5/2),2*当!-(1/2)+C20时,取 t=1, t< t,log|XE(log|1+! t+ tZ|)<0.limk|=k !k t

18、 t2*2*当!-(1/2)+C2>0,取 t=(1/2)-!)/C2, t< t,11limlog|XE(log|1+! t+ tZ|)k|=k !k t(!-(1/2)+C2 t<!-(1/2)-(!-(1/2)=0.222324642246464224622245322232442524463324436644223425522233224252446332443663 实 例根据Saito和Mitsui的研究7,对于线性标量SDE(2),只要R(h,k)=|1+h|+|kh|<1,这里h=258 纺 织 高 校 基 础 科 学 学 报 第23卷图1 m.s.与a

19、.s.稳定域的比较(=2) 图2 m.s.与a.s.稳定域的比较(=4)2 t!,k=-/!,则Euler Maruyama方法数值解均方稳定.对于线性标量SDE(2),令=2,4,分别做图1和图2,图中m.s.线是根据文献7得到的Euler Maruyama方法数值解均方稳定边界值 t随!的变化,则m.s.线下方是Euler Maruyama方法数值解的均方稳定区域,a.s.线是根据定理1和定理2作出的Euler Maruyama方法数值解几乎必然指数稳定边界值 t随!的变化,相应地a.s.线下方是本文研究的Euler Maruyama方法数值解的几乎必然指数稳定区域,由图1,2清楚地看出几

20、乎必然指数稳定区域要更大一些.特别地,当=2,!=-2时, t,数值解都不是m.s.稳定的,但从a.s.稳定的角度, t的范围并没有明显变化,他仍然有相当大的a.s.稳定裕度.参考文献:1 HIGHAMDJ,KLOEDENPE.NumericalmethodsfornonlinearstochasticdifferentialequationswithjumpsJ.NumerMath,2005,101:101 119.2 BRYDENA,HIGHAMDJ.Ontheboundednessofasymptoticstabilityregionsforthestochasticthetametho

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