轨道角动量与自旋角动量的耦合

1、轨道角动量与自旋角动量的耦合崔纪琨摘要：电子自旋是一种相对论效应。 在非相对论极限下,Hamilton量中将出现一项自旋轨道耦合作用。在中心力场中的电子,当计及自旋轨道耦合作用后, 轨道角动量l和自旋s分别都不是守恒量.但可以证明,它们之和,即总角动量j是守恒量。关键词：电子自旋 自旋轨道耦合作用 总角动量电子自旋是一种相对论效应。可以证明,在中心力场V(r)中运动的电子的相对论性波动方程,在非相对论极限下,Hamilton量中将出现一项自旋轨道耦合作用(r)s·l,而(r)= ， （1）为电子质量,c为真空中光速.在处理正常Zeeman效应时,由于外磁场较强,自旋轨道耦合作用相对说

2、来是很小的,可以忽略.但当外磁场很弱,或没有外场的情况,原子中的电子所受到的自旋轨道耦合作用对能级和光谱带来的影响(精细结构),就不应忽略.碱金属原子光谱的双线结构和反常Zeeman效应都与此有关.在中心力场中的电子,当计及自旋轨道耦合作用后,由于l，s·l0，s，s·l0,轨道角动量l和自旋s分别都不是守恒量.但可以证明,它们之和,即总角动量j是守恒量,j=l+s, （2）j,s·l=0。 （3）证明式(3)时只需考虑l与s属于不同自由度,彼此对易,即 , =0, ,=x,y,z. (4)利用此式,还可以证明,与l和s相似,j的三个分量满足下列对易关系（5）令(

3、6)还可以证明 a=x,y,z (7)应当提到,在计及自旋轨道耦合后,虽然l不是守恒量,但 仍然是守恒量,因为 (8)因此,中心力场中电子的能量本征态可以选为守恒量完全集(H, 的共同 本征态,而空间角度部分与自旋部分的波函数则可取为( 的共同本征态，此共同本征态可在(, )表象中表示为（9）首先要求是 本征态，即=C （C为常数）亦即所以，1与2都应是 的本征态,并且对应的本征值相同.其次,要求为 的本征态即因此，所以1与2都应是 的本征态,但相应的本征值相差。因此,式(9)可以取为(10)这样就可以保证它是 与 的共同本征态，本征值分别为 和此外，我们还要求为 的本征态，利用(11)其中，

4、把式（11）代入 的本征方程（无量纲) （12）利用可得出上两式分别乘 ，对(,)积分后，得（13）这是确定a、b的线性齐次方程组,它们有非平庸解的条件为（14）解之,得的两个根 =(l+1/2)(l+3/2) =(l-1/2)(l+1/2) （15）或表示成=j(j+1)， j=l±1/2 (16)把j=l+1/2根代入方程(13)中任何一式,可得a/b= (17)类似,把j=l-1/2根代入式(13)中任何一式,得a/b= (18)把式(17)、(18)分别代入式(10),利用归一化条件,并取适当相位,可得出( 的共同本征函数如下:对于j=l+1/2情况,（19）对于j=l-1/

5、2(l0)情况,（20）式（19）和式（20）是( 的共同本征态，相应的本征值分别为l(l+1) j(j+1) 和 ，式中，j=l+1/2，l-1/2(l0情况)。式（19）中，j=l+1/2。从 来考虑， ，从 来考虑， 所以，m可能取值为l，l-1，0，-(l+1)而 =m+1/2相应的取值可能为l+1/2，l-1/2，1/2，-(l+1/2)即 ， ，1/2，-j，共（2j+1）个可能取值。式(20)中，j=l-1/2（l0）。从 来考虑， （当 时，=0）。从 来考虑， （当m=l时，=0）。所以m的可能取值为L-1，l-2，-l+1，-l而 相应的取值可能为l-1/2，l-3/2，-l+3/2，-l+1/2即 ， ，-j+1，-j共(2j+1)个可能取值。概括起来，( 的共同本征值可记为 。j=l+1/2情况，（ ）（20）j=l-1/2(l0)情况，（ ）（21）参考文