不定积分的换元积分法

1、不定积分的换元积分法 二二 、第二类换元积分法、第二类换元积分法一、第一类换元积分法（凑积分法）一、第一类换元积分法（凑积分法） 三三 、基本积分表（、基本积分表（ ）第23讲 第第4章章 一、第一类换元积分法一、第一类换元积分法1. 引例引例 xbaxnd）（求求联想公式：联想公式：cnuuunn 1d1 xbaxnd）（xbaxnd ）（u du ?）（ baxa1( a 0, n为自然数）为自然数）)d()(1baxbaxan ）（令（令baxu uuand1cnuan 1.11)(代入代入baxu cnabaxn )1(1）（解解验证：验证： )1()(1nabaxnnbax)( 凑微

2、分法凑微分法2. 定理定理1(第一换元积分法第一换元积分法),)(具有原函数具有原函数设设uf,)(可导可导xu 则则 xxxfd)()( uufd)()(xu )(d)(xxf xxxfd)()( 换元公式换元公式换元思想换元思想:设变换设变换),(xu 化积分为易于求解的形式化积分为易于求解的形式.)(xu 令令即即关键：关键：如何选择如何选择 u= (x) ?例例1 ucosud31 ）（原式原式23d)23cos(31 xx23 xucu sin31.23sin31cx ）（解解cuuu sindcos联想公式联想公式23 xu xxd)23cos(例例2cu ln21xxd231）（

3、原式xx23d23121xu23duu121解解xu23cx 23ln21联想公式：联想公式：xxxd12uud21 21xu cu 2332.21.131232cx ）（21xu cuxu 1d1)1d(122xx 21 解解原式原式例例3例例4xxexd2 2d212xex ueud21cex 221ceueuu d联想公式：联想公式：2xu 解解 xxexd2例例52)(1)( d1axaxa原式22dxax 21duucu arctancaxa )arctan(1axu )d(loglnxaa例例6(1)xxxadlog xalogxaxa ln1)(logcaxa ln2)(log2

4、 xxxd)ln1(1)2(2 2ln1d）（xcx ln11xx1)ln1( xualog xuln1 )ln1(x 常见的选常见的选 u= (x) 规律规律 xbaxfd)( baxuuufad)(1(1)(2) xxxfd)(1 ) 1,(1 xu(3) xxxfd)(ln)ln(xu (4) xxxfdsin)(cos)cos(xu (5) xxxfdcos)(sin)sin(xu (6) xxxfd1)(arcsin2)arcsin(xu (7) xxxfd1)(arctan2)arctan(xu (8) xxxfdsec)(tan2)tan(xu (9) xxxxfdtansec)

5、(sec)sec(xu 例例7 xxxdcossin)1(23 xxxdsincos2)cos1(2x 求下列不定积分：求下列不定积分： xxxfdsin)(cos)cos(xu )d(cos)cos(cos42xxx.cos51cos3153cxx x2cos）（x2cos1 )d(cos x（降次）（降次） xxd)22cos1(2 x83 x2sin41 x4sin321 c xxxdcossin322）（ xxd2sin412 xxd24cos141.)4sin41(81cxx xxdcos24 ）（常见的选常见的选 u= (x) 规律规律(续续1)时时，特特别别地地，当当nm xxx

6、nmdcossin)10(奇奇数数，或或:)(nm均均为为偶偶数数，nm,)sin(cosxuxu 或或设设用用倍倍角角公公式式xu2sin 设设例例8xxxdcossin原式 xxcoscosdcx coslnxxdtan xxxfdsin)(cos)cos(xu xxdcotcx sinln类似地，有类似地，有例例9xxsin11sin11 xxxdcoscos2 xx2sin1sindxsind21 xsin1ln21 cx sin1lncxx sin1sin1ln21解解 xxdsec xxdsec类似有类似有 xxdcsc xxdsin1 xxxdsinsin12xxxdsincos

7、112 )cos(xu uud112cuu 11ln21 uuud)1111(21.cos1cos1ln21cxx xxxfdsin)(cos)cos(xu )d(cosx 例例10 xxxdsectan162）（ xxtandtan222tan1）（x xxxdsectan235）（ xsecdxx24sectanxxxsecdsec1sec222 ）（ xxxfdsec)(tan2)tan(xu xxxxdsec)tan1(tan2222)sec(xu xxxxfdtansec)(sec常见的选常见的选 u= (x) 规律规律(续续2) xxxnmdsectan)12( xxxnmdcsc

8、cot xuntan:偶数，设偶数，设xumsec: 奇数，设奇数，设例例11 求求解解.d2cos3cos xxx),cos()cos(21coscosbababa ),5cos(cos212cos3cosxxxx xxxxxxd)5cos(cos21d2cos3cos.5sin101sin21cxx 分析分析,sinsin,cossinbxaxbxax当当被被积积函函数数为为的的形形式式时时，或或bxax coscos常常用用积积化化和和差差 . 再再积积分分公公式式将将被被积积函函数数化化简简后后常见的选常见的选 u= (x) 规律规律(续续3) xnxmxdcossin)11( xnx

9、mxdcoscos xnxmxdsinsin时时，用用倍倍角角公公式式；当当nm .时时，用用积积化化和和差差公公式式当当nm 例例12caxaxa ln21 22daxx a21 axxaxxdd a21 axax)(d a21 ax lnax ln c axax)(dcuuu lnd解解原式原式= )(daxaxx分解分解3.基本积分公式的补充基本积分公式的补充 xxdtan)9( xxdcot xxdsec)10( xxdcsc，cx coslncx sinlncxx tanseclncxx cotcscln xxad1)11(22 xxad1)13(22 xaxd1)12(22caxa

10、 arctan1caxaxa ln21cax arcsin例例13)0(d22axax2)(1)(daxax原式cax arcsin 21duucu arcsinxxxd414 )2d()2(1141222xxcx )2arcsin(412 24d41121xx例例14内容小结内容小结（常用简化技巧）（常用简化技巧）(1) 分项积分分项积分 (2) 降低幂次降低幂次 (3) 统一函数统一函数 利用三角公式利用三角公式 ; 配元方法配元方法(4) 巧妙换元巧妙换元或配元或配元等等xx22cossin1 ;)2cos1(sin212xx ;)2cos1(cos212xx 万能凑幂法万能凑幂法 xxxfnnd)(1nnnxxfd)(1 xxxfnd1)(nxnnxxfnd)(11 利用积化和差利用积化和差, 分式分项分式分项;利用倍角公式利用倍角公式 , 如如例例3-1xxxdln1 求求解解xxxdln1 xxlndln cx2ln2 xxexd3xexd23 )3d(32