上海市高考压轴卷数学文试题

1、学习必备欢迎下载上海市 2013 届高三下学期高考压轴卷数学文试题考生注意：1. 答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、考试号填写清楚，并在规定的区域贴上条形码2. 本试卷共有 23 道题，满分 150 分，考试时间 120 分钟.一.填空题（本大题满分 56 分）本大题共有 14 题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接 填写结果，每个空格填对得4 分，否则一律得零分.1. 函数y = lOg2（X-1）的定义域为_ ._2. 复数z满足z（1 i） =2（其中i为虚单位），则z =.3. 已知心|=1,|b|=2,向量；与b的夹角为60，则|a _._4. 直线x - y =0被圆x2，4x，y

2、2=0截得的弦长为 _ .5. 在等差数列an中，若a1=1，前 5 项的和S5=25，则a2013二6. 若函数f（x）二lOg2X,X 0是奇函数，则g（-8）=lg（x）, xc07. 已知某算法的流程图如图所示，则程序运行结束时输出的结果为_ ._x 28.不等式组y _0_表示的平面区域的面积是.匸=2cos-）,过直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值是 _ ._410. 若直线x-y，1 =0与圆（x-a）2 y2=2有公共点，则实数a取值范围是_ ._11. 在=ABC中，若a = 2, _ B = 60 , b =、7，则 c =_._12. 设（x 2）（2x 3）10二a

3、。a1（x 2）*2（x 2）2务心2）11，则a。y a?+ an的值为_开始结束9.直线丨的参数方程是X二-t2辽 -y t 4、22（其中t为参数），圆C的极坐标方程为X = 3 J学习必备欢迎下载13._ 平行四边形ABCD中，E为CD的中点.若在平行四边形ABCD内部随机取一点M则点M取自ABE内部的概率为.学习必备欢迎下载114.给出定义：若m x2作x，即x二m.在此基础上给出下列关于函数f(x)二x_x的四个命题：1 1y = f (x)的定义域是R，值域是(_?,；点(k,0)是y = f (x)的图像的对称中13心其中k Z；函数-f(x)的最小正周期为1；函数“f(x)在

4、二2上是增函数则上述命题中真命题的序号是 _ .二.选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题，每题有且只有一个正确答案，考生应在 答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5 分，否则一律得零分.15.已知函数f(X)=x,Sinx-csx，则下面结论中正确的是(cosx,sin x cosx,A.f (x)是奇函数B.f (x)的值域是_1,1三.解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的 规定区域内写出必要的步骤 .19.(本题满分 12 分)本题共 2 小题，第(I)小题 6 分，第(II)小题 6 分.某同学在一次研究性学习中发

5、现，以下五个式子的值都等于同一个常数a.sin 13 cos 17 -sin13 cos17；sin 15 cos 15 -sin15 cos15；n*9*n*9*sin 18 cos 12 -sin18 cos12；sin (T8) cos 48 -sin(T8)cos48；2o9osin ( -25 ) cos 55 -sin(吃5 )cos55.(I)试从上述五个式子中选择一个，求出常数a；1.x -1 . 0得x . 1.1 i22(1 i),.1 ix+y = 0的距离d =5答案】40252 2(x 2) y=4，圆心坐标为(-2,0)，半径为2，圆心到直线二、2，所以弦长2._2

6、2-(：2)2=2-. 2.5x 4【解析】在等差数列中，& = 25 = 5印d = 5 10d,解得d = 2,所以292013 - 3-16.答案】2012d -1 2012 2 =4025.-3【解析】 因为函数f(x)为奇函 数，所以f (-8) = g(-8) =-f(8)=-log28 = 3,即g(-8)3。7.答案】3解析】第一次循环有第三次循环有n =6,x = 27, y=6-3=3;此时满足条件，输出log18答案】12解析】不等式组表示的区域为三角形BCD,由题意知C(1,0), D(2,0), B(2,1), 所以 平面区 域的面111sBCD= CD BD=泊1

7、1 -。2229答案】2,6解析】 匸二、2COSJ-、2si nr ,.炉=；2 ：、cosr -、2 ：、si nr , .圆C 的直角坐标方程为 x2 y2-2x 2y = 0 , 即(x-)2(y -)2=1,圆心直角坐标为(一22 2 2.直线 I 的普通方程为 x-y4.2=0,|#+半+4问圆心C到直线 I距离是22=5,V2直线I上的点向圆C引的切线长的最小值是.52-1210.答案】-3,1解析】 圆(x -a)2 y2=2的圆心C(a,0)到直线x -y 1 =0的距离为d汀 2=1 31|n二2,x=3, y=2-1 =1；第二次循环有n二4, x=9, y=4-1 =

8、3；yX =log327 =3.= 2.6|a 1|二|a 1|冬2二-3$4/-2-x积d，则学习必备欢迎下载学习必备欢迎下载11. 【答案】3【解析】由余弦定理得=a?亠c?- 2accos60,c - 2c 3 = 0,解得c = 3。12. 【答案】1【解析】令X =1,则有1=a0aia2-ai113.1【答案】2【解析】，根据几何概型可知点M取自ABE内部的概率1SnAB h1为PABE，其中h为平行四边形底面的高。SABCDAB h214. 【答案】111 1【解析】中，令x=m+a，aE(-2，?，所以 心曲-冈勺珂-？,？。所以正确。f (2k x)=2k x -2 k x

9、= (x) - x = f (x)式f (x)，所以点(k,0)不是函数f(x)的图象的对称中心，所以错误。f (x 1)=x1-x1= x-x二f(X)，所以1 111 1 1周期为 1，正确。令 乂一丫口一1，则 口一2)=2，令x =2,m =0，则f(2)=2，111 3所以f(_2)= f(2)，所以函数y=f (x)在2上是增函数错误。，所以正确的为二选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5 分，否则一律得零分.15. 【答案】D【解析】在坐标系中，做出函数f(x)的图_审_.象如图，由

10、图象可知选 D.16. 【答案】D132132【解析】* f(x) x -x ax在区间T,2上有反函数. f(x) x- x ax在区33间-1,2上是单调函数，则有f(x) = x2-2x a岂0在区间-1,2上恒成立，即f(1)乞0= a乞-3.故选 D.17. 【答案】Dtan(A B)tanAtanA1【解析】tanB二tan(A B)A21+tan(A+B)tanA 1+2tan A tanA+2即7 = 4 c2- 2 2c1整理得2学习必备欢迎下载ta nA又tan A 0，则tan A222则tanB =.2y24【注】直接按和角公式展开也可18.【答案】Dx2y231的渐近

11、线方程为y，由e可得a二2b,椭圆方程为2222 2二I-=1,而渐近线与椭圆的四个交点为顶点的四边形为正方形4b2b2、222222形边长为m，则m =4= m=2，从而点（2,2 ）在椭圆上，即：22=1 b 5.4b b2 2于是b2=5,a2=20.椭圆方程为 y1，答案应选Do205三解答题（本大题满分 74 分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的 规定区域内写出必要的步骤 19.（本题满分 12 分）本题共 2 小题，第（I）小题 6 分，第（II）小题 6 分.2213解：(I)选择式计算：a=sin 15 cos 15 -sin15 cos 15 =1- s

12、in30.43(n)猜想的三角恒等式为：sin2二 cos2(3 _：“-sin二cos(30-).4证明：sin2二cos2(30 -：)-sin：cos(30 -：)= sin工(cos30 cos亠sin30 si n：) -sin :(cos30 cos二”sin30 si n：).2323.1 .23.1 .2=sin仆cos：亠sin : cos -sin ：sin：cos-、 一sin :424223.2323sin：cos.44420.(本题满分 14 分)本题共 2 小题，第(I)小题 6 分，第(I)小题 8 分.如图，在长方体ABCDABGD1中，AD = AA =1,A

13、B = 2,点E在棱AB上.(I)求异面直线D1E与AD所成的角；(I)若二面角D - EC - D的大小为45,求点B到平面D1EC的距离.解法一 :(1)连结AD1.由AA1D1D是正方形知AD1丄AD. AB丄平面AA1D1D, AD1是D1E在平面AADQ内的射影.根据三垂线定理得AD D1E,则异面直线0E与AD所成的角为90.(I)作DF _ CE,垂足为F,连结D1F,则CE _ D1F.所以DFD1为二面角D1-EC-D的平面角， DFD 45.于是DF =DD1=1QF二2,tan A【解析】 双曲线,设在一象限的小正方学习必备欢迎下载易得Rt BCE二Rt CDF,所以CE

14、 =CD =2,又BC =1,所以BE = 3.设点B到平面D1EC的距离为h,则由于VBED广VD_BCE,即1 11 1CE D1F hBE BC DD1,3 23 2学习必备欢迎下载2-x 4x 100：x _4y二T 2x-2lg x 20 x 42当0：x乞4时，10-x 4x 114，显然符合题意当x 4时，通过计算器由-2x-2lg x 20一4解得：4：x乞7综上0：x _ 7,所以该药剂达到 有效时，一共可持续 7 小时.m2(x2) 7m 0：x E4f x=2-mx - mlg x 10m x 4可知在区间0,4上有，即5mjy）7m, 在区间4,8 J上单调递减，即-8

15、m-mlg8 10m _ y： ：-4m - mlg 4 10m,为使y 34恒成立，只要5m H4且-8mmlg8 +10m色444即m且m，求得：m丄4.52 -3lg 2答：为了使在 8 小时之内达到 有效，投放的药剂剂量m的最小值为422. （本题满分 16 分）本题共 3 小题，第（I）小题 4 分，第（n）小题 6 分，第（川）小 题 6 分.解：（I）依题意可得A -1,0,B 1,0：双曲线的焦距为2.5,c=c2-a2=5-1 =42双曲线C的方程为x2-114(n)证明：设点P x),y1、T x2,y2(xi0,i =1,2),直线AP的斜率为k(k 0),则直线AP的方

16、程为y =k x，1/6因此有CE DiF h二BE BC DDi,即2 2h二3,Ah 4解法二：如图，分别以DA,DC，DD1为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系.（I）由A（1,0,1）,得DA =（1,0,1）,设E（1,a,0)，.又D1(0,0,1),则=(1,a.-1).DA, D1E = 1 0 1 = 0ADA _ D1E,则异面直线D1E与A,D所成的角为90.(n)m二(0,0,1)为面DEC的法向量，设n = (x, y, z)为面CED1的法向量，则|z|2cos45 =z2| m n |n= (x, y,z) | cos：m, n | =I m | nx2y2AZ

17、2=X2y2.，由C(0,2,0)，得DQ =(0,2,-1),则n _ D1C由、，可取n=（ 3,1,2）,又CB =（1,0,0）,所以点B到平面D1EC的距离d=|CB n 13|n|2J2本题共 2 小题，第（I）小题 6 分，第（n）小题 8 分.21.（本题满分 14 分）,即nDQ = 0, /.2y_z = 0解: (I)m=2时,学习必备欢迎下载y = k(x+1 )联立方程组y整理，得4 k2x2 2k2x k2- 4二0-6x2=1I 4.x1x2二1为一定值（川）设点为，、T X2，y（xi0,则PA 12；点P在双曲线上，则xj -=1,4又：点P是双曲线在第一象限

18、内的一点,2 2 2所以X1- 4X1-4乞16， 即X14所以1 捲二22 2 212 2 2 2 2S,-S2= y2y1= 4-4X2iI人-1 =5-x1-4x2412由(2)知，x1x2=1，即x2，设t = X1,则1：t _ 4,XSj- S2 =5-t，* t在1,2 1上单调递减，在1-2,4 1上单调递增t t2 2当t-4，即x1=2时，S1 -S2 min=f 4-0当t = 2，即X 2时，S| - S2f 2=1max-sj -S22的取值范围为1.0,1123.（本题满分 18 分）本题共 3 小题，第（I）小题 4 分，第（H）小题 题 8分.2解: （I）由题意得，2Sn=an an，当n = 1时，231-31 a1，解得- 1,当n一2时，有2Sn4二a；4，2 2式减去式得，2an二an- an4 an- an4因为an an 40，所以an-an4=1,所以数列On f是首项为1，公差为1的等差