在直角坐标系下二重积分的计算的公式有

1、1 bxaxdf x y ddxf x y dy 21( )( )( , )( , ) dycydf x y ddyf x y dx 21( )( )( , )( , )xod2( )xy 1( )xy yyxyo2( )yx 1( )yx abxd在直角坐标系下二重积分的计算的公式有在直角坐标系下二重积分的计算的公式有dc29.3 二重积分的换元法二重积分的换元法在计算定积分时, 换元法是一种强有力的方法. 在计df x y d ( , )不易计算时, 算二重积分时, 也常用此法. 特别是二重积分( , )( , )xu vyu v 上的二重积分, 以达到简化二重积分的计算.1d那么这两个二

2、重积分有何关系呢？把 xy 平面内区域 d上的二重积分, 变成 uv 平面内区域(x, y)的特点, 用一个适当的变换我们也可根据积分区域d的形状和被积函数3定理定理2 若(x, y)在 xy 平面的闭区域d上连续, 且变换( , )( , )xu vyu v (1) 与 在 uv 平面的闭区域 上具有一阶连续1d(2)它将xy平面上的区域d 一对一地变为uv平面上的区域 ；1dx ydju v 1( , )(3) 0,( , )在区域上的雅可比行列式则在此变换下, 二重积分为偏导数； 1( , )( , ) ( , ),( , )( , )ddx yf x y dxdyfu vu vdudv

3、u v 满足：( , )u v ( , )u v 4注注2 换元法计算二重积分的关键是根据被积函数(jacobix yu,v)1,雅可比行列式为对的偏导数所构成的函数 行列 注式.记为(x, y)的特点和区域 d的形状, 构造变换式.注注3 的实质就是变换前后d与 的伸缩率(或比j1d例系数). 111,;1,ddddjssjss当时当时xyxyuvvuxxx yuvju vyyuv ( , )( , )514jd若雅可比行列式 只在内个别点上或注一条曲线,上为零 而在其他点上为不为零,则换元公式仍然成立 ,212y xy xdedxdydxyxy 计算其中 是由 轴轴和直线例所围成的闭区域.

4、解 区域 d 的图形如右图解得变换式22vuxvuy 令 u = y x, v = y + xxyodx+ y=26则 xy 平面上的闭区域 d 在 uv 平面上的对应区域 du vvuvv 1( , ),02 ,如右图：xxx yuvju vyyuv ( , )( , )且11221122 112y xuyxvddedxdyedudv 故2012uvvvdve du 2101()2eevdv uvo1du= vv=2u=v1ee 12 201()2vuvvvedv 7 dadxdy 解设所求面积为.d所围成闭区域的面积cdab (0,0)二重积分直接化为二次积分较麻烦.现采用换元法. 令,1

5、1vuvxyuu 解得 作出区域 d 的图形如右图,yuvxyx xyc xyd yax ybx ,13由直线例计算 1( , ),du v aub cvd ,如下图xyodx+y=cx+y=dy=axy=bxdcd则 xy 平面上的闭区域 d 在 uv 平面上的对应区域82211(1)( , )( , )1(1)vuux yju vvuuu 且120 ( , )(1)vu vdu dadxdy 故12(1)dvdudvu 2(1)bdacduvdvu 22()()2(1)(1)ba dcab 211() ()12bdacvu ocdabuv1d则 xy 平面上的闭区域 d 在 uv 平面上的对应区域921().xyxy dxdy 计算例14解 作出区域 d 的图形如右图现采用换元法. 令,22解得 uvuvxy ,uxyvxy 1( , )11, 11du vuv ,如右图x yju v 11( , )22( , )1122且xyodx+y =1xy =1x+y = 1x+y =1ouv1111d1 12则 xy 平面上的闭区域 d 在 uv 平面上的对应区域1012211 () )222xy