数学建模 第四篇 典型案例分析

1、第四篇第四篇 典型案例分析典型案例分析1 投篮的出手角度投篮的出手角度2 水塔流量估计水塔流量估计3 钢管订购和运输钢管订购和运输1.1 1.1 问题的提出问题的提出v1Q2QL L H0Ph从罚球点投篮示意图从罚球点投篮示意图1 1 投篮的出手角度投篮的出手角度问题问题 不考虑篮球和篮框大小不考虑篮球和篮框大小,讨论球心命中框心的条件讨论球心命中框心的条件 考虑篮球和篮框大小考虑篮球和篮框大小,讨论球心命中框心且入框条件讨论球心命中框心且入框条件 保证球入框保证球入框,出手角度和出手速度允许的最大偏差出手角度和出手速度允许的最大偏差 考虑空气阻力的影响考虑空气阻力的影响 d0 xD1.2 1

2、.2 问题的分析问题的分析0dD篮球入篮球入框框球心偏前球心偏前 不考虑篮球和篮框大小不考虑篮球和篮框大小,讨论球心命中框心的条件讨论球心命中框心的条件 考虑篮球和篮框大小考虑篮球和篮框大小,讨论球心命中框心且入框条件讨论球心命中框心且入框条件 保证球入框保证球入框,出手角度和出手速度允许的最大偏差出手角度和出手速度允许的最大偏差 考虑空气阻力的影响考虑空气阻力的影响 1.3 1.3 基本模型基本模型 不考虑篮球和篮框大小不考虑篮球和篮框大小, ,不考虑空气阻力的影响不考虑空气阻力的影响 222cos2tanvgxxy则球心运动轨迹为抛物线则球心运动轨迹为抛物线 球可视为质点（球心）的斜抛运动

3、，其运动方程球可视为质点（球心）的斜抛运动，其运动方程 以以 代入上式，就得到球心命中代入上式，就得到球心命中框框心的条件心的条件hHyLx,)2(211tan2222vgLhHvggLv且有且有0)2(21222vgLhHvg最小出手速度最小出手速度)(222hHLhHgvtvtxcos)(2sin)(2gttvty 球入篮框时的入射角度球入篮框时的入射角度 计算公式计算公式LhH)(2tantan 考虑篮球和篮框的大小，考虑篮球和篮框的大小，球心命中球心命中框框心且球心且球入入框框的条件为的条件为 Ddsin24.6dcm45.0Dcm代入得代入得 01 .33将将LXdydxtan222

4、cos2tanvgxxy0dD1.4 1.4 出手角度和出手速度最大偏差估计出手角度和出手速度最大偏差估计球入球入框框时球心偏前时球心偏前(偏后偏后)的最大距离的最大距离 sin22dDx0tancos2222hHxvgxhHyxgLvLvgL)tan(cossin22222cos2tanvgxxy因为因为cossin)tan(22vgLgLvLddxLx 出手角度最大偏差估计出手角度最大偏差估计 出手速度最大偏差估计出手速度最大偏差估计xvgLvgLv22cossinv的相对偏差为的相对偏差为 )tan(2gLvvvkevtxkt1cos)(只考虑水平方向的阻力，且阻力与速度成正比只考虑水平

5、方向的阻力，且阻力与速度成正比2coscos)(2tkvtvtx2sin)(2gttvty02coscos2Ltkvtv0)(2sin2hHgttv1.5 1.5 空气阻力的影响空气阻力的影响不考虑篮球和篮不考虑篮球和篮框框大小，确定球心命中大小，确定球心命中框框心的条件心的条件水平方向运动水平方向运动解得解得cos)0(,0)0(,0vxxxkx h(m)v(m/s)(度度)1.87.678952.60121.97.598552.01812.07.518651.42902.17.439250.83441.6 1.6 算法实现和计算结果算法实现和计算结果 对不同出手高度的最小出手速度和相应的出

6、手角度对不同出手高度的最小出手速度和相应的出手角度0)(222minhHLhHgv)2(211tan2222vgLhHvggLvgLv20tanv（m/s）h (m) (度度) (度度) (度度) (度度)8.02.162.4099 42.7925 53.8763 20.921363.1147 40.9188 55.8206 20143163.7281 39.1300 57.4941 19.647864.2670 37.4017 5809615 19.3692.02.167.6975 37.5049 62.1726 12.625068.0288 36.00

7、75 63.1884 12.775368.3367 34.5214 64.1179 13.024068.6244 33.0444 64.9279 13.35839.02.171.0697 34.1327 67.1426 7.655071.2749 3207614 67.7974 8.1663 71.4700 31.3881 68.4098 8.732171.6561 30.0127 68.9840 9.34721212对不同出手速度和出手高度的出手角度和入射角度对不同出手速度和出手高度的出手角度和入射角度)2(211tan2222vgLhHvggLvLhH)(2tantanh

8、(m) (度度) v(m/s)1.862.4099 8.067.6975 8.571.0697 9.0-0.7562 0.0528-0.5603 0.0694-0.4570 0.08031.2261 0.65970.8276 0.81670.6431 0.89252.063.7281 8.068.3367 8.571.4700 9.0-0.7100 0.0601-0.5411 0.0734-0.4463 0.08321.1140 0.75110.7918 0.86400.6244 0.9243 出手角度和出手速度最大偏差出手角度和出手速度最大偏差vvvxgLvLvgL)tan(cossin22

9、xvgLvgLv22cossin 空气阻力的影响空气阻力的影响1度2度v(m/s）h (m)8.02.160.7869 43.5424 61.6100 41.569362.3017 39.715662.9012 37.943362.4099 42.7925 63.1147 40.9188 63.7281 39.1300 64.2670 37.4017 2.02.166.5719 37.790566.9244 36.287067.2505 34.798267.5541 33.320967.6975 37.5049 68.0288 36.0075 68.3367

10、 34.5214 68.6244 33.0444 9.02.170.1198 34.273670.3328 32.908770.5352 31.542870.7279 30.175671.0697 34.1327 71.2749 3207614 71.4700 31.3881 71.6561 30.0127 1度2度对不同出手速度和出手高度的出手角度和入射角度对不同出手速度和出手高度的出手角度和入射角度1.7 1.7 结果分析结果分析1最小出手速度和出手角度（表最小出手速度和出手角度（表4-1-1）2出手速度和出手高度对出手角度的影响（表出手速度和出手高度对出手角度的影响（表

11、4-1-2）3出手角度和出手速度的允许偏差（表出手角度和出手速度的允许偏差（表4-1-3）4空气阻力的影响空气阻力的影响思考思考 若出手高度和角度固定，考察阻力对出手速若出手高度和角度固定，考察阻力对出手速度的影响。度的影响。2 2 水塔流量估计水塔流量估计2.1 2.1 问题的提出问题的提出时刻（时刻（h）水位水位(cm) 0 0.92 1.84 2.95 3.87 4.98 5.90 7.01 7.93 8.97968 948 931 913 898 881 869 852 839 822时刻（时刻（h）水位水位(cm)9.98 10.92 10.95 12.03 12.95 13.88

12、14.98 15.90 16.83 / / 1082 1050 1021 994 965 941 918时刻（时刻（h）水位水位(cm)17.93 19.04 19.96 20.84 22.014 22.96 23.88 24.99 25.91 892 866 843 822 / / 1059 1035 1018已知一天水位测量记录已知一天水位测量记录.圆柱形水塔圆柱形水塔 :高高12.2、直径、直径17.4米米 水位降至约水位降至约8.2米升到约米升到约10.8米时米时, ,水泵工作水泵工作. .水泵每天供水一两次，每次约两小时水泵每天供水一两次，每次约两小时. . 估计任何时刻流水量、一天

13、总用水量估计任何时刻流水量、一天总用水量. . 2.2 2.2 问题的分析问题的分析流量是单位时间流出的水的体积流量是单位时间流出的水的体积.(2)拟合水位拟合水位时间函数、求导数，得连续时间流量时间函数、求导数，得连续时间流量.水泵不工作时段流量计算：水位对时间的变化率水泵不工作时段流量计算：水位对时间的变化率.水泵供水时段的流量计算水泵供水时段的流量计算：(1) 数值微分、拟合数值微分、拟合;模型检验：模型检验：t=0-8.97,水位下降水位下降968-822=146,这一时段用水量这一时段用水量=146*水塔的截面积水塔的截面积.2.3 2.3 模型假设模型假设1流量只取决于水位差，与水

14、位本身无关流量只取决于水位差，与水位本身无关.2水泵第水泵第1次供水：次供水：t=9-11; 第第2次供水次供水:t=20.8-23.3水泵工作时单位时间的供水量大致为常数水泵工作时单位时间的供水量大致为常数.4流量是时间的连续函数流量是时间的连续函数.5流量与水泵是否工作无关流量与水泵是否工作无关.6流量流量:单位时间流出的水的高度单位时间流出的水的高度*水塔截面积水塔截面积.1拟合水位拟合水位时间函数时间函数.2.4 2.4 流量估计流量估计3一天总用水量的估计一天总用水量的估计.2确定流量确定流量时间函数时间函数.2.5 2.5 算法设计与编程算法设计与编程1拟合第拟合第1、2时段的水位

15、，并导出流量时段的水位，并导出流量.2拟合供水时段的流量拟合供水时段的流量.3一天总用水量的估计一天总用水量的估计.4流量及总用水量的检验流量及总用水量的检验.Watertower.m051015202514161820222426283032051015202514161820222426283032n=(3,4) 的拟合流量曲线的拟合流量曲线n=(5,6)的拟合流量曲线的拟合流量曲线2.6 2.6 计算结果计算结果各时段和一天总用水量各时段和一天总用水量 及两个供水时段水泵的功率及两个供水时段水泵的功率(n1,n2) y1 y2 y12 y3 y p1 p2 (3,4)146.18 258

16、.10 48.50 78.501263.4154.25 143.59 (5,6)146.52 257.76 46.13 76.301252.5153.06 142.672.7 2.7 分析及改进分析及改进数据拟合、数值积分精度足够数据拟合、数值积分精度足够.流量曲线与原始记录基本上相吻合，零点到十点钟流流量曲线与原始记录基本上相吻合，零点到十点钟流量很低，十点到下午三点是用水高峰量很低，十点到下午三点是用水高峰.)(106 .125501. 08 .23724223L供水时段用供水时段用3次曲线拟合次曲线拟合4点不够好点不够好.全天平均流量全天平均流量22(cm/h).一天总用水量：一天总用水

17、量：3 3 钢管订购和运输钢管订购和运输要铺设一条要铺设一条1521AAA721,SSS3.1 3.1 问题的提出问题的提出 经筛选后可以生产这种主管道钢管的钢厂有经筛选后可以生产这种主管道钢管的钢厂有的输送天然气的主管道的输送天然气的主管道, 如如图一图一所示。所示。A1325801010312012427010881070627030202030450104301750606194205201680480300220210420500600306195202720690520170690462160320160110290115011001200A2A3A4A5A6A7A8A9A10A11

18、A12A13A14A15S1S2S3S4S5S6S7图一图一铁路铁路钢管厂钢管厂 公路公路铁路铁路钢管厂钢管厂 公路公路天然气管道天然气管道火车站火车站里程（单位里程（单位km）1 12 23 34 45 56 67 780800 080800 010100 00 020200 00 020200 00 020200 00 030300 00 016160 015155 515155 516160 015155 515150 016160 01km主管道钢管称为主管道钢管称为1单位钢管单位钢管.iisip一钢厂如果承担制造这种钢管一钢厂如果承担制造这种钢管,至少生产至少生产500个单位个单位.

19、钢厂钢厂 在指定期限内能生产该钢管最大数量为在指定期限内能生产该钢管最大数量为 个单位个单位.iSis钢管出厂销价钢管出厂销价1单位钢管为单位钢管为 万元万元.ip1 1单位钢管的铁路运价如表：单位钢管的铁路运价如表：里程里程(km)(km)300300301301350350 351351400400 401401450450 451451500500运价运价( (万元万元) )20202323262629293232里程里程(km)(km)501501600600 601601700700 701701800800 80180190090090190110001000运价运价( (万万元元

20、) )373744445050555560601000km1000km以上每增加以上每增加1 1至至100km100km运价增加运价增加5 5万元万元. . 公路运输费用为公路运输费用为1 1单位钢管每公里单位钢管每公里0.10.1万元（不足整公万元（不足整公里部分按整公里计算）里部分按整公里计算）. . 钢管可由铁路、公路运往铺设地点钢管可由铁路、公路运往铺设地点 和和管道全线管道全线. .,1521AAA (1)(1)请制定一个主管道钢管的订购和运输计请制定一个主管道钢管的订购和运输计划，使总费用最小（给出总费用划，使总费用最小（给出总费用).). (2)(2)请就请就(1)(1)的模型分

21、析：哪个钢厂钢管的销的模型分析：哪个钢厂钢管的销价的变化对购运计划和总费用影响最大，哪个价的变化对购运计划和总费用影响最大，哪个钢厂钢管的产量的上限的变化对购运计划和总钢厂钢管的产量的上限的变化对购运计划和总费用的影响最大，并给出相应的数字结果费用的影响最大，并给出相应的数字结果. . (3)(3)如果要铺设的管道不是一条线，而是一如果要铺设的管道不是一条线，而是一个树形图，铁路、公路和管道构成网络，请就个树形图，铁路、公路和管道构成网络，请就这种更一般的情形给出一种解决办法，并对这种更一般的情形给出一种解决办法，并对图图二二按按(1)(1)的要求给出模型和结果的要求给出模型和结果. . 问题

22、问题 A13258010103120124270108810706270302020450104301750606194205201680480300220210420500600306195202720690520170690462160320160110290115011001200A19130190260100A2A3A4A5A6A7A8A9A10A11A12A13A14A15S1S2S3S4S5S6S7A16A17A18A20(A21)图二图二303.2.1 3.2.1 模型的假设模型的假设3.2 3.2 模型的假设与符号约定模型的假设与符号约定铺设钢管各线段运输费以铺设钢管各线段运输

23、费以1 1公里为单位公里为单位(1(1公里内不计公里内不计).). 钢管的铺设情况以从某一头向另一头铺设为准钢管的铺设情况以从某一头向另一头铺设为准. .承担生产任务的钢管厂，供应量至少为承担生产任务的钢管厂，供应量至少为500500个单位个单位. .3.2.2 3.2.2 符号约定符号约定)14, 2 , 1(ili第第i 段长度段长度. .)14,2, 1(idi第第i 段内的运费段内的运费. . i 段用段用j 厂单位钢管最小费用厂单位钢管最小费用. .)7 , 1;14, 1(jiaij)7 , 1;14, 1(jiyiji 段用段用j工厂钢管的数量工厂钢管的数量. .)7, 2 ,

24、1(jpj)7 , 2 , 1(jsjj工厂单位钢管生产价格工厂单位钢管生产价格. .j工厂生产钢管的上限工厂生产钢管的上限. . (3)(3)要铺设一个树形管道网络图要铺设一个树形管道网络图, ,解决办法解决办法. . (1)(1)制定钢管的订购和运输计划，使总费用最小制定钢管的订购和运输计划，使总费用最小. .铺设钢管的总费用包括三部分铺设钢管的总费用包括三部分 3.3 3.3 问题的分析问题的分析 ？ ？ ？ ？ ？钢管生产成本钢管生产成本 运到各段的费用运到各段的费用 铺设时的运输费用铺设时的运输费用 问题：求各厂单位钢管运到各段的最小费用、最优运量问题：求各厂单位钢管运到各段的最小费

25、用、最优运量 (2)(2)哪个厂销价的变化（产量上限的变化）对购运哪个厂销价的变化（产量上限的变化）对购运计划和总费用影响最大计划和总费用影响最大. .处理问题的方法与问题处理问题的方法与问题(1)(1)类似类似. .将各厂的最大生产上限和生产价格逐一进行变动，在将各厂的最大生产上限和生产价格逐一进行变动，在一厂变动时，其他厂不变一厂变动时，其他厂不变. .1w2w21www111 . 0ilkikd3.4 3.4 模型的建立与处理模型的建立与处理1412iidw目标函数是总费用目标函数是总费用: :从工厂到各段的运费及其材料费之和从工厂到各段的运费及其材料费之和: :铺设时的运费铺设时的运费

26、0.10.1为单位钢管的每公里运费为单位钢管的每公里运费其中其中为一定值为一定值设单位生产价格与单位运费相加之和为单位运费设单位生产价格与单位运费相加之和为单位运费ija则则141711ijijijyaw141141711 . 0iiijijijdyaw)14, 1(71ilyijij)7 , 1(500141jsyjiij目标函数的限定条件目标函数的限定条件1)1)各厂运往各段的钢管量之和为此段铺设钢管的总各厂运往各段的钢管量之和为此段铺设钢管的总量量. .2)2)各路段所需各厂的钢管量之和应小于此厂的最大各路段所需各厂的钢管量之和应小于此厂的最大生产量，大于其最小生产量生产量，大于其最小生

27、产量. .3.4.1 3.4.1 问题一问题一1412iidw2 .1223872w2w的计算：的计算：1w的计算：的计算：ija的计算方法：观察法、枚举法和动态规划法的计算方法：观察法、枚举法和动态规划法 采用观察法和枚举法采用观察法和枚举法, ,比较得出工厂到各路段的单比较得出工厂到各路段的单位产品的最优费用位产品的最优费用714)(ijaA1621612282432683332881861612 .2262 .2362 .2612 .3262 .2812 .198176206221246311266216195188211236301256226201188211232297252237

28、2122122222 .1982 .2692 .2242 .2592 .2342 .2342 .2242 .1982 .2262 .1812 .2911 .2712 .2662 .2762 .2362 .2261 .1633012812761 .2932462411 .1635 .3105 .2905 .2955 .2905 .2555 .2505 .1803263063013162712661986 .3866 .3666 .3616 .3766 .3316 .3266 .2582 .4052 .3852 .3802 .3952 .3502 .3452 .3003 .4353 .4053 .

29、4003 .4103 .3703 .3603 .320A单位单位供应量供应量 800 800 1000 500 854 717 500ijy)7 , 2 , 1( , 0isi1 .11755441w1s2s3s4s5s6s7s利用利用MATLABMATLAB解线性规划，得解线性规划，得考虑各厂均供应考虑各厂均供应各厂供应量各厂供应量得得7s由于由于生产量全部供应给了生产量全部供应给了1514AA为使全局更优为使全局更优07s计算可得计算可得1 .11750441w各厂供应量各厂供应量单位单位供应量供应量 800 800 1000 500 767 1304 01s2s3s4s5s6s7s4s同

30、样可知同样可知 供应给了供应给了10965,AAAA然而然而 的材料价格运输情况相对的材料价格运输情况相对 更高更高5s4s即使使用即使使用 代替代替 其供应量不会有影响其供应量不会有影响5s4s04s为使全局最优再次考虑为使全局最优再次考虑1 .11706261w计算可得计算可得各厂供应量各厂供应量单位单位供应量供应量800 800 1000 0 1201 1370 01s2s3s4s5s6s7s各厂供应量（即各厂供应量（即 （ ） 代表路段，代表路段， 代表供应厂）分配如下：代表供应厂）分配如下：ijy7, 2 , 1;14, 2 , 1jiij供应厂供应厂路段路段A1-A2 0 104

31、0 0 0 0 0A2-A3 0 125.7778 67.4444 0 107.7778 0 0A3-A4 272.5 184.6111 126.2778 0 166.6111 0 0A4-A5 128.5 184.6111 126.2778 0 166.6111 0 0A5-A6 194 0 0 0 0 0 0A6-A7 205 0 0 0 0 0 0A7-A8 0 201 0 0 0 0 0A8-A9 0 0 680 0 0 0 0A9-A10 0 0 0 0 240 240 0A10-A11 0 0 0 0 300 0 0A11-A12 0 0 0 0 220 0 0A12-A13 0

32、0 0 0 0 210 0A13-A14 0 0 0 0 0 420 0A14-A15 0 0 0 0 0 500 01S2S3S4S5S6S7S 分别将各厂的生产价格与生产上分别将各厂的生产价格与生产上限变化一个单位，看他们对总费用的影响。限变化一个单位，看他们对总费用的影响。S变化为变化为1时时10335300000P变化为变化为1时时80080010005008547175001s2s3s4s5s6s7sw1p2p3p4p5p6p7pw厂的销价变化对总费用的影响大厂的销价变化对总费用的影响大 3s3.4.2 3.4.2 问题二问题二1s厂的产量上限变化对购运计划总费用影响最大厂的产量上限变化对购运计划总费用影响最大评注评注程序计算可得：程序计算可得： 2171141711 . 0minminwwdyaiiijijij=1170626.1+122387.2=1293013.3=1170626.1+122387.2=1293013.3 对于更一般的情况，如树形图，考虑情况可对于更一般的情况，如树形图，考虑情况可与与（1 1）类似。）类似。 在厂的取舍过程中亦同。具体模型在厂的取舍过程中亦同。具体模型与求解与求解 的最佳方案一致，从而再次重复的最佳方案一