第十章 其他方法

1、第十章其他方法1、什么是数学中的分类方法？答分类是基本的逻辑方法之一。数学中的分类是，按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的一种思想方法。2、分类应遵循哪些原则？答分类应遵循下列原则：不重复；无遗漏；按同一标准分类；按层次逐步分类。3、简述数学教学中引起“分类讨论”的原因。答数学教学中引起“分类讨论”的原因有：数学中的许多概念的定义是分类给出的，因此涉及到这些概念时要分类讨论。数学中有些运算性质、运算法则是分类给出的，进行这类运算时要分类讨论。有些几何问题，根据题设不能只用一个图形表达，必须全面考虑各种不同的位置关系，需要分类讨论。许多数学问题中含有字母参数，随着参数取值不同

2、，会使问题出现不同的结果。因此需要对字母参数的取值情况进行讨论。4、判断下列命题的正误：(1)有理数可分为有限小数和无限小数。( )(2)有限小数必为有理数。( )(3)有理数必为有限小数。( )(4)整数可以分为正整数、负整数。( )答(1)错误。因为无限小数包含无限循环小数与无限不循环小数，而无限不循环小数是无理数，所以因分类标准不当导致错误。(2)正确。(3)错误。有理数中应包括无限循环小数。(4)错误。遗漏了非正非负整数零，不符合分类必须“无遗漏”的原则。5、什么是数形结合方法？答数形结合方法，是在研究数学问题时由数思形、见形思数、数形结合考虑问题的一种思想方法。6、为什么数形结合方法

3、在数学中有着非常广泛的应用？答因为数学研究的是现实世界的数量关系和空间形式，而现实世界本身是同时兼备数与形两种属性的，既不存在有数无形的客观对象，也不存在有形无数的客观对象。因此，在数学发展的进程中，数和形常常结合在一起，在内容上互相联系，在方法上互相渗透，在一定条件下互相转化。充分运用数形结合方法解决数学问题，对于沟通代数、三角、几何各分支之间的联系，提高分析问题、解决问题的能力具有重要作用。正是数与形之间的内在联系，决定了数形结合方法在数学中有着非常广泛的应用。7、叙述特殊化的含义，并举例说明。答所谓特殊化是指在研究问题时，从对象的一个给定集合出发，进而考虑某个包含于该集合的较小集合的思想

4、方法。举例略。8、描述用特殊化解决问题的过程。答可用框图表示。见教材中图10-3-1。9、特殊化方法在数学教学中有哪些应用？答特殊化方法在数学教学中的应用大致有如下几个方面：利用特殊值(图形)解选择题；利用特殊化探求问题结论；利用特例检验一般结果；利用特殊化探索解题思路。10、已知AOB及点P，连接OP，若P点不在OB边上，且BOP表示以OB为始边、按逆时针方向旋转到OP的角，试比较AOB与BOP的大小。提示：分P点在AOB内部，在OA边上，在AOB外部三种情况分别进行讨论。11、解方程的最大整数。解先从的定义入手估计的取值范围，然后划分成若干小区间求解。根据的定义，由原方程得；即。解不等式得

5、。由于原方程的解包含在的解中，因此可将划分为四个小区间来求解：(1)当时，原方程为。(2)当时，原方程为(3)当时，原方程为(4)当时，显然满足原方程。所以，原方程的解为。12、一个由父亲、母亲、叔叔以及个小孩组成的家庭，欲去某地旅游。甲旅行社的收费标准是：如果买四张全票，则其余人按半票优惠。乙旅行社的收费标准是：家庭旅游算团体票，按原价的优惠。这两家旅行社的原价均为每人元。试比较随着孩子人数的变化，哪家旅行社的收费总额更优惠？解根据题意，甲旅行社的收费总额为乙旅行社的收费总额为在同一直角坐标系中画出的图像。如图10-1所示，由图可知：当孩子数时，乙旅行社收费优惠；当孩子数时，两个旅行社收费相

6、同；当孩子数时，甲旅行社收费优惠。13、如图10-2中的十字形是由五个边长为的正方形组成，问如何把它剪拼成两个相等的正方形。解我们可将原来的问题转化为：使剪出的小块拼成一个矩形，并且矩形的长是宽的两倍。适当进行代数计算会使几何图形的拼接变得比较容易。设所求矩形的长为，因为十字形的面积为，于是有若将上述方程变形为，不难发现，恰好是图中的AB或CD的长。这就启发我们，第一刀应当沿AB(或CD)剪开，将十字形剪成两块。由于十字图形具有对称性，可以证明AB和CD互相垂直平分，再沿CO剪一刀，其中O为AB与CD的交点，然后将剪得的块1和块2放到1和2的位置，就正好拼接成一个矩形AEFB，并且长是宽的两倍。 14、已知两个瓶子所装酒精溶液重量相同，在一个瓶子中酒精与水的重量之比是p:1，在另一个瓶子中是q:1，若把两瓶溶液混合在一起，则混合液中酒精与水的重量之比是 ( ) (A) (B) (C) (D) 解取特殊值p=1，q=2，这时混合液中酒精与水的重量之比是。将p=1，q=2分别代入(A)、(B)、(C)、(D)，只有(B)为7:5，故选(B)。 15、设三角形的三边长分别为，试求此三角形的最大角。解(1)要求三角形的最大角，需要先判定哪一边最大。不妨用特殊值进行试探。令m