浅析高中数学教学中类比思想方法的应用

1、浅析高中数学教学中类比思想方法的应用刘晓娜摘要：所谓类比思想就是以两个对象之间某些相同或相似的属性，并且其中一个对象还有另外的某些属性作为前提，推出另一个对象也有这些相同或相似属性的思维形式。它是数学思想方法中富于创造的一种，它可以跨越各个种类进行不同类事物的类比，可以比较本质的特征，也可以比较非本质的特征，因而具有较强的探索和预测作用。教学中恰当地应用类比思想，不仅能突出问题的本质，提高教学质量，而且有助于培养创造能力等思维品质。高中数学教学中类比思想方法的应用，大量采用的类比形式主要可归结为以下几种类型。 一、相对概念的类比。二、新旧知识的类比。三、同类事物的类比。四、数形结合的类比。类比

2、是一种猜测，必须通过严谨论证才能成立，它有一定的局限性，应该注意它可能产生的负迁移。教学中，可通过易混概念、易混性质的类比，正与反的类比等，纠正学生错误，从而使学生科学地掌握运用类比思想方法，帮助理解和掌握新知识，提高解题能力，促进创造性思维的培养。关键词：数学 教学 类比 应用普通高中数学课程标准指出，高中数学课程应注重提高学生的数学思维能力，这是数学教育的基本目标之一。数学思想方法的运用是数学思维能力的具体体现。这是因为，数学思想方法是数学的精髓，是知识转化为能力的桥梁。在高中数学中蕴涵着丰富的数学思想方法，运用这些数学思想方法，既能使我们加深对数学基础知识的理解和掌握，又能开拓我们的思路

3、，提高数学思维能力；同时还可以沟通知识间的联系，完善认知结构。在各种逻辑推理方法中，类比思想方法是富于创造的一种方法。所谓类比思想就是以两个对象之间某些相同或相似的属性，并且其中一个对象还有另外的某些属性作为前提，推出另一个对象也有这些相同或相似属性的思维形式。它可以跨越各个种类进行不同类事物的类比，可以比较本质的特征，也可以比较非本质的特征，因而具有较强的探索和预测作用，是一种科学发现和发明、系统掌握新知识、巩固旧知识的有效方法。根据高中生的抽象逻辑思维从经验型向理论型急剧转化的心理特点和高中教材的特点，教学中恰当地应用类比思想方法，不仅能突出问题的本质，提高教学质量，而且有助于提高学生的思

4、维能力、认识问题和解决问题的能力，培养创造能力等思维品质。高中数学教学中类比思想方法的应用，大量采用的类比形式主要归结为以下几种类型。一、相对概念的类比。把两个数学对象进行比较，找出它们相同或相似的地方，从而推出这两个数学对象的其它一些属性也有类似的地方，这是在关于概念、性质的教学中最常用的方法。例如：高中立体几何中“二面角的定义”，从模型引入二面角后可以从平面几何角的概念类比概括二面角的定义，见下表。名 称角二面角图形边 A顶点 O 边 B 面 棱 面 a 定义从平面内一点出发的两条射线所组成的图形从空间的一条直线出发的两个半平面所组成的图形构成射线点（顶点）射线半平面线（棱）半平面表示法A

5、OB二面角-通过角的概念，由“平面 空间”、“点 线”、“线 面”进行类比得出二面角的定义，减少二面角的教学难度。二、新旧知识的类比。 这是教材中安排得最多的类比内容，在讲授新知识的同时，经常联系旧知识，创造条件进行类比，拓展学生思路，养成学生进行类比推理的习惯。我们知道，平面几何基本元素是点和直线，而立体几何中的基本元素是点、直线和平面，如果建立如下对应关系：平面内的点对应空间中的点或直线，平面内的直线对应到空间中的直线或平面，那么把平面几何某些定理中的点换作直线，或把线换作平面，就可以帮助学生“发现”一类相似的立体几何定理如下表。平面上（平面几何）空间中（立体几何）1、若直线ab,bc则a

6、c1、若平面, r,则r.2、若两平行直线被第三条直线所截,则同位角相等。2、若两平行平面与第三个平面都相交,则同位二面角相等。3、任何三角形都有一个外接圆和一个内切圆。3、任何四面体都有一个外接球和一个内切球。又例如: 在数列这一章中，等差数列和等比数列是两种重要的数学模型，它们的定义、通项公式、前n项和公式及性质都是平行的。等比数列是在等差数列之后介绍，为了弄清这两种数列模型之间的区别和联系，又能准确、灵活地运用知识解决问题，在教学上类比等差数列的相关知识，创造条件引导学生提出、研究有关等比数列的相应问题，类比概括结论。又如：在“椭圆”这一节之后学习“双曲线”这一节时，可类比椭圆的相关知识

7、点，让学生自己得出一些类似的结论，形成新的知识结构，如下表。椭圆双曲线定义|MF1|+|MF2|=2(2|F1F2|)y|MF1|-|MF2|=±2(2|F1F2|）图形yx0.0F1F2x 标准方程+=1（b）-=1(, b)范围|，|y|b(, y都有限)|，yR(, y都无限)对称性关于轴、y轴、原点都对称关于轴、y轴、原点都对称顶点（± ,），（ ，±b）（± ,）离心率e=1e=1渐近线无y =±又例如：（人教A版必修第116页第6题）已知2+y-2O,-2y+4O, 当, y取何值时，2+y 2取得最大值、最小值？最大值、3-y-3

8、O. 最小值各是多少？分析：目标函数不是线性函数，而是距离型的目标函数，我们可以类比线性规划，灵活地运用两点间的距离公式和点到直线的距离公式巧妙求解。解：作出可行域如图所示（阴影部分），则2+ y 2是可行域内的点到原点距离的平方。以原点为圆心作圆，当圆过点A时，圆的半径最大；当圆与直线2+y-2=相切（切点为B）时，圆的半径最小。 3-y-3=,解方程组 得，A点坐标为（2，3） -2y+4=,故（2+y 2）max=|OA|2 =13；（2+y 2）min= d2=2= x2+y 2=解方程组 得，B点坐标为（,） 2x+y-2=, 当=2, y=3时,即为A点时, 2+y 2有最大值13

9、. 当=, y=时,即为点时，2+y 2有最小值这样通过新旧知识的联系进行类比，既有利于理解和掌握新知识，还能使旧知识得到巩固，同时拓宽视野，调动学生学习积极性，提高逻辑思维能力和解决问题的能力。三、同类事物的类比。所谓的同类事物是指这类对象具有相同的条件、结论、问题的形式、数学方法等。同类事物的类比能使学生从感性材料出发，认识事物的数学特征，形成积极要求探索的心理状态，引导探索一般结论，掌握从特殊到一般的认识规律，达到寻根探源的目的。例如：基本不等式：如果O, bO, 那么,当且仅当=b时等号成立。这一节讲完之后可类比基本不等式的形式猜想、推证：如果 O, bO, cO,那么，当且仅当=b=

10、c时等号成立。然后引导学生认清以上两个不等式相似的特征，继续联想类比推出结论：如果O,O,O时，那么 ,当且仅当=时等号成立。又例如：在讲解“空间向量与立体几何”这一章中的空间向量的坐标表示时，可类比平面向量的坐标运算。推证：设, 则 , ， dAB = 等之后，可引导学生认清各等式的结构特点，顺此继续联想类比推出对于n维向量，也可定义向量的加法运算，减法运算、数乘运算、两个向量的数量积，向量的长度（模），两点间的“距离”等， 即设， ,则 ±=.， 也成立。当然，类似只是一种猜测，必须通过严谨的论证，才能成立。四、数形结合的类比。就是中学数学中常见的数式与构造的相关图形、函数与图象

11、、代数与解析几何等的类比。例：求函数+的最小值分析：从+的结构可知，由两点间的距离公式得本题的几何意义为点P（, ）到点A（1，2）与点B（2，3）的距离之和的最小值，如图所示可得： y A(1,2) B(2,3)|PA|+|PB|的最小值为点A关于x轴 对称点A（1，-2）与点B的距离 O P x 即ymin=|AB|= A这就是本题的结果，通过这样类比转化求解，从而简化解题过程。又例如，在教学二次函数的性质时可在同一直角坐标系中作出二次项系数相同的若干函数图象，进行类比分析，从而推知二次函数的某些性质和图象间的平移规律。类比是一种猜测，必须通过严谨论证才能成立，它有一定的局限性，应该注意它

12、可能产生的负迁移，也就是要克服一些错误的类比，如易混概念的类比，易混性质的类比。明确类比的可行性，从而准确地掌握概念和性质的本质，有区别地认识具有某种相似性的概念与性质。例如：求函数y=的最小值。错解：y=+2 ymin=2这里受结论xO时，x+2形式的影响而产生的负迁移，忽视了条件：一正、二定、三相等，三者缺一不可。这里没有考虑“”成立的条件是否具备，而由=即（）2=1即x2+2=1,即x2=-1,方程无实数解，所以“”不能成立。故上述解法是错的。正解：（略）又例如：由 (b+c)= b+c 类比出：sin(A+B)=sinA+sinB这是错误的。又如，对于三个均不为O的数,b,c,有（b）c=(bc),类比出：对于向量，有是不成立。又如，三角形与平行四边形都为平面图形。学生错误类比出：四边形为平面图形。这时，若借助教具演示给出反例：将平行四边形沿对角线翻折成空间四边形，是不是平面图形？（不是），纠正学生的错误，掌握问题的本质。教学中通过这些易混概念、易混性质的类比，正与反的类