正方体的展开图

1、无为县襄安中学 李向林 如图，一只蚂蚁，在正方体箱子的一个顶点如图，一只蚂蚁，在正方体箱子的一个顶点A，它发现相距它最远的另一个顶点它发现相距它最远的另一个顶点B处有它感兴趣处有它感兴趣的食物，这只蚂蚁想尽快得到食物，哪条路径最的食物，这只蚂蚁想尽快得到食物，哪条路径最短？试在图中将路线画出来。短？试在图中将路线画出来。 .一只蚂蚁一只蚂蚁在点在点A处处AB在点在点B发现食物发现食物情境导入，引发思考情境导入，引发思考 BAABBAv这样的路径有几条？这样的路径有几条？B1BA.C 为了显示展开图与原正方体的六个面之间的关系，我们按正方体的方向上、下、前、后、左、右分别标为s，x，q，h，z，

2、y.(汉语的第一个字母）如下图：s sx x q qh hz zy y 问题1：上述蚂蚁行走路径最短问题，实际是讨论正方体的展开图问题，那么一个正方体的展开图是怎样的一个平面图形呢？ 同学们分两组讨论， 小组一：将正方体沿棱剪开，（剪开时保证每两个正方形有一条公共边）得到平面图 ，再将这个平面图形折叠，围成正方体。 小组二：首先在方格上画出可能存在的正方体的展开图形，然后将画好的展开图形剪下，将剪下的展开图形按照方格线折叠，看能不能围成正方体。师生互动，验证猜想师生互动，验证猜想 1.先想象正方体的展开图还有什么样子，再用先想象正方体的展开图还有什么样子，再用6 6个正方形摆出来，然后试一试你

3、所摆的这个平个正方形摆出来，然后试一试你所摆的这个平面图形能不能折成正方体？面图形能不能折成正方体？比一比哪个组在规比一比哪个组在规定时间内拼摆的正方体展开图最多？定时间内拼摆的正方体展开图最多？ 2.2.把能折成正方体的展开图贴到黑板上。注把能折成正方体的展开图贴到黑板上。注意：贴之前先观察一下黑板，如果你的展开图意：贴之前先观察一下黑板，如果你的展开图与黑板上的展开图重复了，就不要再贴了。与黑板上的展开图重复了，就不要再贴了。 动手操作：动手操作：摆一摆摆一摆小组讨论：小组讨论：1.先自己观察黑板上的先自己观察黑板上的11种正方体展开种正方体展开图有什么规律？图有什么规律？2.小组讨论这些

4、展开图可以分为几类？小组讨论这些展开图可以分为几类？哪几号展开图可以分为一类？为什么？哪几号展开图可以分为一类？为什么？分一分分一分汇报交流：汇报交流： 先说出你们小组把这些正方体展开先说出你们小组把这些正方体展开图分为几类？每一类分别有哪几号展开图分为几类？每一类分别有哪几号展开图？再说出规律是什么？图？再说出规律是什么？第一种：“141”结构，即：第一行放6个正方形， 第二行放4个正方形， 第三行放1个正方形。如图所示：此种结构有6种展开图： s y q h z x (1) x z h q y s (2) x z h q y s (3) x z h q y s (4) s y q h z

5、x (5) x z h q y s (6)第二种：“132”结构即第一行放1个正方形，第二行放3个正方形，第三行放2个正方形,如图所示，此种结构有3种展开图 (9) h q s y z x h x q y s q s x z h y z (7) (8)第三种：“33”结构即每一行放2个正方形，如图所示：此种结构只有一种展开图 x z h q y s (10)第四种：“222”结构即每一行放2个正方形，如图所示：此种结构只有一种展开图s sy yh hx xz zq q11 以上是一个正方体的11种平面展开图。从上面这些图中，我们基本可以看出它的规律。 1、一个立方体的表面展开图必定6个正方形连

6、接组成，缺一不可，展开图折叠后，必须覆盖立方体的6个表面。 2、相对的面不相连 3.最长两边走，田凹不能有。蓝蓝黄黄红红巧记正方体的展开图口诀巧记正方体的展开图口诀 :“一四一一四一”“”“一三二一三二”，“一一”在同层可任意在同层可任意,“二二二二二二”成阶梯成阶梯,“三三三三”“”“日日”相连相连,异层必有异层必有“日日”，“凹凹”“”“田田”不能有，不能有，掌握此规律，运用定自如。掌握此规律，运用定自如。如何记忆？想一想想一想：下列图形都是正方体的展开图吗？下列图形都是正方体的展开图吗？(5)(2)(6)(3)(1)(4)()()()()()()你你太太棒棒了了！们们考考你考考你KEY:

7、如果如果“你你”在前面，那么谁在后面？在前面，那么谁在后面？ 比划比划：比划比划：已知正方体的表面展开图已知正方体的表面展开图 （11种） 探究：探究：将一个正方将一个正方体的表面沿某些体的表面沿某些棱剪开，展成一棱剪开，展成一个平面图形，需个平面图形，需要剪要剪 ？ 条棱条棱分析：正方体的六个分析：正方体的六个面需要有五条棱来连面需要有五条棱来连接展成一个平面图形，接展成一个平面图形，需要剪需要剪 12-5=7条棱条棱 规律：正方体展开图，外周长必须是小正方形边长的14倍，简称14个单位，因为正方体剪开必须剪7刀，1刀两边，由此得出14。练习练习1、从边长为、从边长为10的正方体的一顶点的正

8、方体的一顶点处挖去一个边长为处挖去一个边长为1的小正方体，则剩的小正方体，则剩下图形的表面积为（）下图形的表面积为（）A.600B.599C.598D.597合作交流，巩固提高合作交流，巩固提高 A 练习2.下图为棱长是1的正方体的表面展开图，在原正方体中，给出下列三个命题： 点M到AB的距离为 三棱锥CDNE的体积是 1/6 AB与EF所成角是 其中正确命题的序号是 . D C B E N A M F222 . 练习3.用一张正方形的包装纸把一个棱长为a的立方体完全包住，不能将正方形纸撕开，所需包装纸的最小面积为( ). A. B. C. D.29a28a27a26aB合作交流，巩固提高合作

9、交流，巩固提高 课堂小结，主动反思课堂小结，主动反思 师：同学们，通过本课的学习，你们有什么收获？两种思考解决问题的方法：空间问题平面化未知转化为已知一种认识实践是检验真理的唯一标准回味无穷，深化提高回味无穷，深化提高 课后探究： 你觉得所有的立体图形都有展开图吗？若把引入中的正方体变成长方体、三棱锥、圆柱、圆锥等，你认为蚂蚁行走的最短路径又如何求？ 问题问题1、如图，长方体ABCD-A1B1C1D1的三条棱长AB=a,AD=b,AA1=c,0cba,蚂蚁从点A1爬到C，它按怎样的路线爬行，才使其行迹最短. 问题问题2、如图，课桌上放着一个正三棱锥S-ABC，SA=1,ASB=30, 蚂蚁从点A沿三棱锥的侧面爬行（必须经过三棱锥的三个侧面）再回到A，它按怎样的路