《点集拓扑学》§Urysohn引理和Tietze扩张定理

1、§5.3 Urysohn引理和Tietze扩张定理本节重点：掌握Urysohn引理的内容(证明不要求)； 掌握定理632的证明方法.定理6.3.1 Urysohn引理设X是一个拓扑空间，a, b是一个闭区间.则 X是一个正规空间当且仅当对于 X中任意两个无交的闭集 A和B，存在一个连 续映射f:X a, b使得当X A时f(x)=a和当x B时f(x)=b .文档来自于网络搜索证明：由于闭区间同胚于0,1,因此我们只需对闭区间0,1的情形给以证明. 充分性:设A, B是X中的两个闭集，f : X T 叩是一个连续映射使得当X- A1 10 -)(_ 1时，f(x)=0,xB时fW.由

2、于集合2'2'是0,1中两个不相交的开集，因此 .文档来自于网络搜索U = f -1(0,-)和V=f池1)是X中两个不相交的开集，并且AQU, B匸V ,2 2因此X是一个正规空间.必要性.设X是一个正规空间，A,B是X中两个不相交的闭集，证明的主要思 想是首先利用X的正规性在X中构造一个以0,1中的有理数为指标集的一个 开集族,然后利用这个开集族定义连续映射f:XT 0,1,使得涉A 日寸，f(X)= 0 , X B日寸f(X)= 1.文档来自于网络搜索第一步，设Qi是0,1 中的全体有理数集合,对r - Qi我们将定义一个与它相对应的开集Ur,使得当r,q-Qi, req

3、时，AG Ur匸Ur匸U q匸X - B ,这样，开集族Ur 1 r - Qi在包含关系下是一个有序集，而且随着开集U r的指标r的增大所对应的开集也就越大.文档来自于网络搜索由于Q1是可数集合，我们应用归纳的方式来定义开集族 U r | r - Q1.先将Q1 排列成一个无限序列，即建立一一映射 g:Z+TQ1,为了方便，不失一般性，设 g(1)=1和g(2)=0是这个序列的前两个元素.首先，A9X-B,令U1 = x- B.又由 于X是一个正规空间，由定理6.4.2可知存在开集V使得A匸V匸V g X - B .记 U0 =V ,假设对于n >2,集族U1,U 0 ,U g (3)

4、，,Ug(n)已有定义，而且当g(i) <g(j)时 A匸Ug匸Ug匸Ug(j)匸X-B ,对 于 9( "+1严Q1,由 于集合g(i)|1Wi< n, g(i)<g( n+1)是一个有限集，而且有 g(2) =0忘g(i) |1 <i < n,g(i)<g(n+1),故这个集合必有最大元，设文档来自于网络搜索P =max g(i)| 1 <i < n, g(i) vg( n+1)，又集合g(i)|1 勻 < n, g(i) > g( n+1)是 一个有限集合，而且g(1) =1可g(i) |1勺兰n, g(i) Ag(n

5、+1)，令q =ming(i)|1 <i < n, g(i) >g(n+1).由归纳假设知一定有 Acu pUp匸UqCX-B.由于Up匸Uq,由定理6.4.2知存在 X 中开集V 使得Up匸V匸V匸Uq .令Ug(T=V ,贝U集族 U g(1) ,U g(2),U g(n), Ug(n44)也满 足：当 g(i)<g(j)时， AcUg(i)cUg匸Ug(j)匸X-B.这是因为对 g(i) cg(j): 若i, j “1,2,，n时,由归纳假设知包含关系成立. 若 i =n+1 时，由于 g(n +1)cg(j),则必有 g(j)>q.即g(j) >mi

6、 ng(i)|1 <i < n, g(n +1) <g(i)，因此由g(n+1)的定义及归纳假设有 AcUg(n =VCVcUg(j)cX-B. 若 j=n+1 ,贝U g(i)vg(n+1),贝U 必有 g(i)< p ,即 g(i) <max g(i) |1 <i < n, g(i) c g(n +1).因此由 g(n +1)定义及归纳假设有 ACUg匸U； CV=Ug(n书 CX-B.因此由归纳原理我们构造了集族Ur |r迂Q1满足条件：对p,q - Q1, AGU pCUp匸Uq匸X - B,而且随着指标r的增加，Ur也随着增大 (在包含关系的

7、意义下).下面,我们令Q1,0,1,112112341来说明上面的归纳定义集族3 3 4 5 5 5 5Ur |MQl的过程.在定义了 U1=X-B,叽匸Ui匸Ui匸Ui,再定义u22义U3U0之后，定义U1于U0,U1之间使之满足 于U0,U1之间，使之满足U。匸U1匸U1匸U1.接着定 "23"3"2 1m a0于U1,U1之间使之满足U丄匸5匸4匸U1，对于r=-,由于223341 112 < -< m in,-,-,1,定乂 U0匸U丄GU丄匸U丄，至第九步我们定乂 U ,由于4323443丐25 / 4£ 1 1 12=13 2、_

8、5max0,；,：,；<mit,；j，因此使 U2满足 UUUU1,.如图54352433巳6.3.1.文档来自于网络搜索UX-3丿图 bsl 4第二步，将第一步定义的集族Ur 1 r - Q1中的指标集扩张成实数空间 R中的 有理数Q,具体作法是令Up=F P*0这样,易验证开集族Ur|r-Q满足：当IX p>1pcq日寸，U p匸Up cUq .文档来自于网络搜索第三步对X壬X,定义Q(x) =r | X忘Ur,即Q(x)由所有包含x的开集Ur的下 标构成则对任意飞Q(x)必有r >0,(这是因为r c。时,Ur =0，因此是U,且对 于r >1,必有rQ(x),(

9、因为r >1时,Ur =X，因此x壬U,因此Q(x)有下界，从而 Q(x)有下确界，且下确界必属于0,1,定义：文当来自于网络搜索f(X)= infQ(x) = inf r | x 亡 U r第四步，验证第三步中定义的映射f就是满足要求的映射.(1) 设X忘A,则对r忘Q, r >0,均有x忘A匸5 ,因此Q(x)=r |r >0,从而 f(X)=i nfQ(x) =0.设xB,由定义有U1 =X-B,且r<1时,Ur匸U1,因此对于任意rQ若xUr必有 Ur =X,因此必有 r >1,因此 Q(x) =r | r >1，从而 f (x) = infQ(x)

10、 = 1.(2) 先证下面两个结论：(a )x 亡 Ur = f(x) <r,(b)x 壬 Ur 二 f(x)3r.如果X壬Ur ,由集族Ur|r迂q定义有对任意SAr , XUs ,因此 Q(x) = p | X Up ； s | s > r，从而f(X)=infQ(x) <inf s| s > = r如果X勿r,则对任意scr, X壬Us,因此Q(x)珂p|xU pCs|s>r,从而f(X)=inf Q(x) >inf s| s >r = r(3) 证明f : X T 0,1是一个连续映射.设X0-X,(c,d)是一个含有f(X0)的R中的开区间，

11、我们只需证明存在X0的 邻域U使得f(U)匸(c,d).为此，取有理数P "c, f(X0), q"f(X0),d).令 U =Uq -Up,(见图 6.3.2). U是一个开集，这是因为U =Uq -U p=Uq "Up. x U ,这是因为f(X0)vq,且f(X0)>q,由第三步易见 怡引q,怡壬U p,因此 冷"-Up. f(U(C,d),这是因为对 Uq-U p,则 UUq,因此 f(x) <q，又 xU,因此 xU p,从而 f(x) > p,从而 f (x p,q匸(c,d)(见 图6.3.2)，从而由习题§ 3

12、.2.1可知f是一个连续映射.图亦.2Urysohn引理说明对于正规空间中的任何两个不相交的闭集，存在连续映射f： XT 0,1使得f(A) =0, f (B) =1，也就是说A,B可用一个连续函数分离，回想一下正则空间的定义6.4.1和定理6.4.1,我们会有这样一个思考:Urysohn引理可 推广到正则空间中去吗？即就是说对于正则空间中的点x及其中不包含x的闭集F，是否一定存在连续映射f :XT 0,1使得f(X)= 0, f (F) = 1.由定理6.4.1我们 可取5 =X -F,U 0为满足X W匚V匸X -F的开集V ,这和Urysohn定理的证明是一 致的，但要U1(或对于除0,1之外的一个有理数p)满足条件U0匸U0匸U1匸U7匸U1,2 -2 2只有X的正则性显然是不可能的.为此，将正则空间中的点与不含此点的闭集F要用连续映射分离，我们有下面的分离公理：文档来自于网络搜索定义6.5.1设X是一个拓扑空间，如果对于X中任意点X - X和X中任何一 个不包含点x的闭集F，存在一个连续映射f :Xt 0,1使得f(X)=0,以及对于任 意y壬F, f(y)=1,则称拓扑空间X是一个完全正则空间.文档来自于网络搜索定理632 2空间中任何一个连通子集如果包含着多于一个点，则它一定 是一个不可数集.证明 设C